(共28张PPT)
空间向量与立体几何
1.4.2利用空间向量解决线线角、线面角、面面角
复习回顾
1.空间两点之间的距离
2. 点到直线的距离
两条平行直线的距离
复习回顾
3. 点到平面的距离
A
P
Q
l
直线与平行平面的距离
两平行平面的距离
l
复习回顾
1.空间两点之间的距离
2. 点到直线的距离
两条平行直线的距离
复习回顾
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（化为向量问题）
（回到图形）
新知导入
向量（立体几何）的问题中主要解决的四个量：
与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量．
下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角．
教学目标
一
二
三
教学目标
会用向量法解决线线角、线面角、面面角
会区分向量角与线线角、线面角、面面角的关系
能用向量夹角公式解决立体几何中角度的度量问题！
重点
难点
重点
新知探究
问题1 向量的夹角有哪些公式可以用？
探究一：立体几何中线线角问题！
课堂练习
例1 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中， M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
C
A
B
D
M
N
化向量
代公式
新知讲解
化为向量问题
进行向量运算
新知讲解
回到图形问题
代公式
概念生成
概念生成
新知探究
探究二：立体几何中线面角问题！
问题2 我们在例1用向量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗？
法向量
再利用向量与向量的公式
新知讲解
A
B
C
课堂总结
例1 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中， M, N分别为BC, AD的中点，求直线AB与平面BCD所成的角．
C
A
B
D
M
N
取向量（基底法）
求法向量
代公式
概念生成
若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
基底
新知探究
探究二：立体几何中面面角（二面角）问题！
问题3 图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？
概念生成
二面角的大小判断:肉眼观察法
课堂练习
A
B
C
C1
A1
B1
x
y
z
P
Q
R
大家小组可以探究一下:
（1）解答出结果
（2）总结步骤
化为向量问题：建系
进行向量运算
分别算法向量
套公式
回归图像
练习小结
课堂总结
二面角范围：
肉眼观察法
课堂总结
课堂总结
实质：线面距
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空间向量与立体几何
1.4.2用空间向量解决立体几何问题（应用）
复习回顾
知识回顾
二面角范围：
肉眼观察法
新知导入
下面先看一道生活中的实际问题，思考如何转化为数学问题来进行解决.
课堂练习
例1 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)．
新知讲解
课堂练习
例2：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
A
B
C
D
E
F
G
P
分析:本题涉及的问题包括:直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角. 这些问题都可以利用向量方法解决.
由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题．
概念生成
证明：（1）连接AC交BD于点G，再连接EG，由正方形ABCD可得：AG=GC
又因为E是PC的中点，
所以PA EG ，
又因为PA， EG
所以PA平面EDB
法一
法二
概念生成
A
B
C
D
E
F
G
P
x
新知讲解
A
B
C
D
E
F
G
P
x
A
B
C
D
E
F
G
P
x
课堂总结
用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素
进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系
把运算结果“翻译”成相应的几何意义
解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法．
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空间向量与立体几何
1.4.2用空间向量研究距离问题（第一课时）
复习回顾
直线
平面
法向量
方向向量
回忆下：我们中学学习几何主要是研究它的哪些量？
新知导入
教学目标
一
二
三
教学目标
理解点到直线、点到平面的距离公式及其推导
了解利用空间向量求点到直线、点到平面、两平行直线、直线到平面、两平行平面的距离的思想
能利用距离公式解决相关的距离问题，归纳总结解决立体几何问题的“三部曲
重点
难点
重点
新知讲解
问题1 空间中距离包括哪些具体的内容？
我们该如何用空间向量解决这些距离？
接下来我们一起探究这些距离公式及推导
新知探究
探究一 利用向量的方法求直线l外的一点P到直线l的距离。
追问：我们该如何用向量研究距离？
向量的模
空间向量的模
空间中还有其他的向量长度吗？
向量的投影
新知讲解
问题2 已知直线的单位方向向量为,A是直线上的定点,P是直线外一点,如何利用这些条件求点P到直线l的距离
如图，向量在直线上的投影向量为,则△APQ是直角三角形,因为A、P都是定点,所以||,与的夹角∠PAQ是确定的于是可求||,再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ。
A
P
Q
概念生成
A
P
Q
直线的单位方向向量为
点线距
新知讲解
问题3 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
请大家思考一下，它的思路是怎样的？
在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．
A
P
Q
新知探究
探究二 利用向量的方法求平面外的一点P到平面的距离。
新知讲解
概念生成
用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
新知讲解
(1)如何求直线到平面的距离？
(2)如何求平面到平面的距离？
(3)如何求两条异面直线的距离？
点到平面的距离
在直线（平面）上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为直线到平面的距离、平面到平面的距离、两条异面直线的距离！
点面距
新知讲解
新知探究
探究3 利用公式在立体图形中求对应的距离
课堂练习
z
A
C
B
D
y
x
A1
B1
C1
D1
E
F
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
课堂练习
建系
设点
取向量
套公式
课堂练习
求法向量
套公式
习题小结
点线距
解题小结
课堂习题
如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.
(1)求点A1到直线B1F的距离；
(2)求直线FC1到直线AE的距离；
(3)求点A1到平面AB1E的距离；
(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.
课堂总结
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
课堂总结
课堂总结
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