人教A版2019选择性必修第三册 专题强化二 概率与统计的综合应用 学案（Word版含答案）

专题强化二　概率与统计的综合应用
概率与统计内容在考试考查中逐步呈现出综合性、应用性和创新性等特点，该题目的设置常常以社会、经济、科技发展为背景，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生统计图表的识别，应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
统计图表与正态分布
1．为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》（简称《标准》），要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，并依据学生学年总分评定等级.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（满分100分），从中随机抽取了200名学生的测试成绩，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）估计这200名学生测试成绩的平均数和方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）由频率分布直方图知，该市高三学生的健康指数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①求；
②已知该市高三学生约有10000名，记测试成绩在区间的人数为，求.
附：参考数据.若随机变量服从正态分布，则，，.
统计图表与统计分析
2．2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福攮灾、饮食和娛乐活动的狂欢式展示．为调查某地从外地工作回来过年的市民（以下称为“返赣人员”）人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄（单位：岁）分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在内的人数为10．
(1)请根据样本数据补充完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关；
返赣人员 本地人员 合计
男 15
女 10 40
合计
(2)据了解，该地区今年返赣人员占．现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中今年是返赣人员的人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
三、概率统计中的决策问题
3．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
等级 珍品 特级 优级 一级
箱数 40 30 10 20
(1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.
等级 珍品 特级 优级 一级
价格/（元∕kg） 36 30 24 18
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值.
四、概率统计中的最值问题
4．在中国共产党的正确领导下，我国顺利实现了第一个百年奋斗目标——全面建成小康社会.某地为了巩固扶贫成果，决定继续对甲、乙两家乡镇企业进行指导.指导方式有两种，一种是精准指导，一种是综合指导.已知对甲企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.2，增加200万元收入的概率为0.8，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.6，增加400万收入的概率为0.4；对乙企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.3，增加200万元收入的概率为0.7，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.7，增加400万元收入的概率为0.3.指导结果在两家企业之间互不影响.
(1)若决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导，设两家企业增加的总收入为万元，求的分布列；
(2)若有150万元无息贷款可供甲、乙两家企业使用，对两家企业应分别进行哪种指导总收入最高？请说明理由.
【过关训练】
1．科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：，，，，（单位：）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36及以上的为“大果”.
（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；
采用实验方案 未采用实验方案 合计
大果
非大果
合计 100 100 200
（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径服从正态分布，其中近似为样本平均数，，请估计对照园中果径落在区间内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
附：①；
②若服从正态分布，则，，.
2．中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）求；
（ii）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.
参考数据：若，则，，，，，.
3．2019年某地区初中升学体育考试规定：考生必须参加长跑、掷实心球、1分钟跳绳三项测试.某学校在九年级上学期开始，就为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，抽取了100名学生进行测试，得到下面的频率分布直方图.
(1)规定学生1分钟跳绳个数大于等于185为优秀.若在抽取的100名学生中，女生共有50人，男生1分钟跳绳个数大于等于185的有28人.根据已知条件完成下面的2×2列联表，并根据这100名学生的测试成绩，判断能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关.
(2)根据往年经验，该校九年级学生经过训练，正式测试时每人1分钟跳绳个数都有明显进步.假设正式测试时每人1分钟跳绳个数都比九年级上学期开始时增加10个，全年级恰有2000名学生，若所有学生的1分钟跳绳个数X服从正态分布，用样本数据的平均值和标准差估计和，各组数据用中点值代替，估计正式测试时1分钟跳绳个数大于183的人数（结果四舍五入到整数）.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
若随机变量X服从正态分布，则，，..
4．浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径（单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，每年的和都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.
(1)用频率分布直方图估计样本的平均数近似代替，标准差s近似代替，已知.根据以往经验，把果径与的差的绝对值在内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）
(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，（为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润
参考数据：；；；；；.
5．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品：当时，产品为三级品.现用两种新工艺（分别称为A工艺和B工艺）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面实验结果：（以下均视频率为概率）.
A工艺的频数分布表：
指标值分组
频数 10 30 40 20
B工艺的频数分布表：
指标值分组
频数 5 10 15 40 30
(1)若从B工艺产品中有放回地随机抽取4件，记“抽出的B工艺产品中至多有2件二级品”为事件C，求事件C的概率；
(2)若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足如下关系：（其中）.应用统计知识，请说明最好投资哪种工艺？
6．某企业发明了一种新产品，其质量指标值为，其质量指标等级如下表：
质量指标值m
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；
(2)若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求的件数X的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：万元）的关系如下表（）：
质量指标值m
利润y（元） 4t 9t 4t 2t
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大.
7．某校高三年级举行元宵喜乐会，两人一组猜灯谜，每轮游戏中，每小组两人各猜灯谜两次，猜对灯谜的次数之和不少于3次就可以获得“最佳拍档”称号.甲乙两人同一小组，甲和乙猜对灯谜的概率分别为，.
(1)若，，求在第一轮游戏中他俩就获得“最佳拍档”称号的概率；
(2)若，且在前n轮游戏中甲乙两人的小组获得“最佳拍档”称号的次数的期望为16次，则n的最小值是多少？并求此时的，的值.
8．某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20 ℃，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高 气温 (℃) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的均值取得最大值？
【答案详解】
1．【详解】
（1）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：
成绩区间
频数 5 15 40 75 45 20
∴，
.
（2）①由（1）知服从正态分布，且，
∴.
②依题意，知，
则.
2．【详解】(1)由频率分布直方图可知年龄在上的占比为，
根据已知人数为10计算可得总人数为80，列联表如下：
返赣人员 本地人员 合计
男 25 15 40
女 10 30 40
合计 35 45 80
∴，
所以有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关．
(2)X的取值可为0，1，2，3，
，，
，．
故分布列为：
X 0 1 2 3
P
于是.
3．【详解】(1)设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A，则，
现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为，则，
所以恰好有2箱是一级品的概率为.
(2)设方案二中每千克橙子的价格为元，
则，
因为，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一.
(3)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，
再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数X服从超几何分布，其中，，，
，，，.
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
4．【详解】(1)由题意知可能取值为300，400，500，600，
则，，
，，
∴当决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导时，两家企业增加的总收入的分布列为
300 400 500 600
0.14 0.56 0.06 0.24
(2)指导方案1：对甲、乙两家企业均进行精准指导.设两家企业增加的总收入为万元，则可能取值为200，300，400，
且，，
，(万元)；
指导方案2：对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导.
由(1)得(万元)；
指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导.
设两家企业增加的总收入为，则的可能取值为300，400，500，600，
且，，
，，
(万元).
∵，
∴指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高.
【过关训练】
1．【详解】（1）由频率分布直方图可得：
采用实验方案大果的数量为个，
则非大果数量为个，
未采用实验方案大果的数量为个，
则非大果数量为个，
列联表如下：
采用实验方案 未采用实验方案 合计
大果
非大果
合计
，所以有的把握认为两者有关；
（2）由题中数据，，
则，
则.
2．【详解】（1）由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，
则平均数；
方差
.
（2）（i）由（1）得，，故学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，
则
.
（ii），
故随机抽取一名学生，测试分数在90.8分以上的概率为0.0228.
设“这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上”为事件，
则，
故这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上的概率为0.13.
3．【详解】(1)由频率分布直方图得样本中1分钟跳绳个数大于等于185的人数为
.
补充完整的2×2列联表如下表所示：
由公式可得.
因为，所以没有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关.
(2)由题知，训练后学生1分钟平均跳绳数比训练前学生1分钟平均跳绳数大10，方差不变.
由直方图计算可得训练前学生1分钟跳绳数的平均数为：，
所以.
训练前学生1分钟跳绳数的方差为：
所以
故X服从正态分布.
，.
故估计正式测试时1分钟跳绳个数大于183的人数约为1683.
4．【详解】(1)由题意得：，所以，，则，，所以，设从农场中摘取20颗果，这20颗果恰好有一颗不是“标准果”为事件A，则
(2)由，解得：，所以，采用A款包装盒获得利润的数学期望，
采用B款包装盒获得利润的数学期望，
令，解得：a=，
由于，令，解得：，
令，解得：，
故当时，采用两种包装利润一样，当时，采用B款包装盒，当时，采用A款包装盒.
5．【详解】(1)抽中二级品的概率，没抽中二级品的概率，
所以抽出的工艺产品中至多2件二级品的概率．
(2)的分布列为：
y t
P 0.6 0.4
则，
的分布列为：
y t
P 0.7 0.25 0.05
则，
所以，
由于时，所以，所以从长期来看，投资工艺的产品平均利润率较大，最好投资工艺．
6．【详解】(1)设抽出的产品中至少有1件不是废品为事件的，其概率为，则由频率分布直方图可得，抽出1件产品为废品的概率为，
则，
(2)由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，
，的频率为，
，的频率为，
，的频率为，
利用分层抽样抽取的7件产中，，的有4件，，的有2件，，的有1件，
从这7件产品中，任取3件，质量指标值，的件数的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
的分布列为：
0 1 2
．
(3)解：由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元的关系与表所示，
质量指标值
利润
0.3 0.4 0.15 0.1 0.05
每件产品的利润：
，，令，即，解得，因为，所以，即该产品能盈利；
又，所以当时；
7．【详解】
(1)解：由题意，在“第一轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号”为事件A，
则.
(2)解：他们在第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为
，
由于，，因此，故，
令，则，
当时，可得，
甲乙两人小组前n轮游戏中获得“最佳拍档”称号的次数，
由，知.
所以n的最小值是，此时.
8．【详解】
(1)由已知得，X的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20 ℃为事件A1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A2，最高气温不低于25 ℃为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知
P(X＝200)＝P(A1)＝＝，
P(X＝400)＝P(A2)＝＝，
P(X＝600)＝P(A3)＝＝，
故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为
X 200 400 600
P
(2)由题意得，当n≤200时，E(Y)＝2n≤400；
当200当400E(Y)＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×n×2＝－n＋800∈[560,640)；
当n>600时，
E(Y)＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×[600×2＋(n－600)×(－2)]＝1 760－2n<560.
所以当n＝400时，Y的均值取得最大值640.