【人教版九上数学优质课件】21.1一元二次方程及有关概念 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
一元二次方程及有关概念
1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数.
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.（重、难点）
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
问题1：虽然北京冬奥会已经结束，但冬奥会吉祥物“冰墩墩”依然受到热捧，某“冰墩墩”产品原价100元，经过两次降价，每个“冰墩墩”产品价格为96元，若两次降价的百分率相同，求这个百分率．
解：设两次降价的百分率为x.
根据题意，列方程：
化简，得：
①
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2:某小区有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．如图所示，小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域，求花带的宽度．
解：设花带的宽度为x m,则其余部分的长为（30－2x)m,宽为(20－x)m,
根据题意，列方程：
化简，得
②
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
x
x
x
30-2x
20-x
问题3:2020年夏季奥林匹克运动会女子排球比赛小组赛,该组的每两队之间都要比赛一场,中国队所在小组共进行了5天比赛,每天安排3场比赛,中国队所在小组一共有多少支队参加比赛
解：设中国队所在小组一共有x支队参加比赛.
根据题意，列方程：
化简，得：
③
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
①
②
③
像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化为ax2＋bx＋c＝0的形式，我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
※一元二次方程的概念
※一元二次方程的一般形式
为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当a=0, b≠0，c≠0时,
bx＋ c =0
当a≠0，b=0，c≠0时,
ax2＋ c =0
当a≠0，b≠0，c=0时,
ax2＋bx=0
当a≠0，b=c=0时,
ax2=0
总结：只要满足a≠0，b，c可以为任意实数.
一元一次方程
一元二次方程
一元二次方程
一元二次方程
【点睛】判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【分析】
A.分母中含有未知数是分式方程，不是一元二次方程；
B.当a≠0时，是一元二次方程，当a =0，b≠0时，是一元一次方程；
C.原方程整理得，x2+3x+1是一元二次方程；
D.原方程整理得，-6x+13=0不是一元二次方程．
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(5) x+1=0








(1) x2+ x=36
例2.将方程(3x－2)(x＋1)＝x (2x－1)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2+3x-2x-2=2x2-x.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
x2+2x-2=0.
其中二次项是x2,系数是1；一次项是2x,系数是2；常数项是-2.
【点睛】判定一元二次方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数需要先将方程化为一般形式，再去判断；注意系数和项均包含前面的符号.
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项：
5
-4
-1
4
4
3
0
-81
-25
8
-7
1
例3.k为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)kx2+x=3x2
(2) (k－1)x |k|+1 +3x－5=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(k-2)x2+x=0,所以当k-2≠0，即k≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣k∣+1=2，且k-1≠0知，当k=-1时，原方程是一元二次方程.
【点睛】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
已知关于x的方程(m-1)x2+(m-2) x-2m+1＝0．
(1) m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；
(2) m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
解:(1)若关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-2m+1＝0是一元一次方程，
则m-1＝0且m-2≠0，
解得m＝1．
∴原方程变形为-x-2+1＝0
解得x＝-1．
(2)当m≠1时，关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-2m+1＝0是一元二次方程，
此时该方程的二次项系数为m-1，一次项系数为m-2，常数项为-2m+1．
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点
不同点
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b(a≠0）
ax2+bx+c=0(a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
※一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
【针对练习】下面哪些数是方程x2-x-6=0的解
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解：
3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
例4.已知m是一元二次方程x2-3x+2=0的一个根，则代数式2m2-6m+2022的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【分析】
∵m是一元二次方程x2-3x+2=0的一个根，
∴把x=m代入方程，得m2-3m+2=0，即：m2-3m=-2，
∴2m2-6m+2022=2(m2-3m)+2022=2×(-2)+2022=2018.
【点睛】求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
A
1.下列方程：①x2-1=0；②2x2+3x=(1-2x)(2+x)；③x+=2；④2x2-=0，⑤ax2+bx+c=0．其中是一元二次方程的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2.关于x的方程(a-1)x2+3x-2=0是一元二次方程的条件是( )
a≠0 B. a=1 C. a≠1 D.a为任意实数
3.已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
C
A
4.将方程(x+1)2=2x化成一般形式为_______________.
5.方程2x2=-8化成一般形式后，二次项系数为___，一次项系数为___,常数项为_____.
6.如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为______.
7.关于x的方程(m-4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m______时,是一元二次方程;当m______时，是一元一次方程.
8.如果方程ax2+5=(x+2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a_______.
2
0
8
a≠-2
≠4
=4
≠1
9.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：4x2=25，化成一般形式为4x2-25=0.
解：x(x-2)=100，化成一般形式为x2-2x-100=0.
解：x=(1-x)2，化成一般形式为x2-3x+1=0.
10.若是关于x的一元二次方程ax2-x-b=0的一个根，则2+8a-2b的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
D
11．若关于的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为2022，则方程a(x+1)2+b(x+1)=-5必有根为（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
D
13．已知实数a是一元二次方程x2 2022x+1=0的一实数根，则代数式a2 2021a 的值为_______．
-1
12．已知a2＋4a﹣1＝0，则 的值是______．
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像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化为ax2＋bx＋c＝0的形式，我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
※一元二次方程的概念
※一元二次方程的一般形式
※一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
谢谢
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