【人教版九上数学优质课件】21.2.1 配方法的典型应用 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
配方法的典型应用
1.理解并掌握把一个二次三项式通过配方化成a(x+h)2+k的形式. （重、难点）
2.灵活运用配方法求代数式的最值. （重点）
像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
1.配方法的定义是什么？
2.配方法解方程的基本思路？
把方程通过配方化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
3.方程配方的方法？
4.用配方法解一元二次方程的一般步骤？
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数；
(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根.
解下列方程：
解：移项，得
x2－2x=3,
配方，得
x2－2x+12=3+12 ,
(x－1)2=4
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2+2x=1,
即
x－1=±2
类型一：把二次多项式化为m(x+n)2+p的形式
例1.把下列二次多项式化为m(x+n)2+p的形式：
(1)k2－4k＋5; (2)－x2－x－1.
解：(1)k2－4k＋5=k2－4k＋4-4＋5
=(k－2)2＋1
(2)－x2－x－1=－(x2+x+1)=－(x2+x+－+1)
把下列二次多项式化为m(x+n)2+p的形式：
(1) x2-6x+5； (2)-3x2+5x+1.
解：原式=x2-6x+5
=x2-6x+9-9+5
=(x-3)2 -4
解：原式=-3(x2-x-)
=-3(x2-x+--)
=-3(x-)2-
=-3(x-)2+
类型二：求二次多项式的最值
例2.不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x-12y+7的值（　 ）
A.总大于7 B.总不小于9 C.总不小于-9 D.为任意有理数
C
解：4x2+3y2+8x-12y+7
＝4x2+8x+4＋3y2-12y+3
＝4(x2＋2x＋1)＋3(y2 4y＋1)
＝4(x＋1)2＋3(y2 4y＋4 4＋1)
＝4(x＋1)2＋3(y 2)2 9，
∵(x＋1)2≥0，(y 2)2≥0，
∴4x2+3y2+8x-12y+7≥ 9．
即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x-12y+7的值总不小于 9．
【点睛】将二次多项式配成m(x+n)2+p的形式:①当m<0时，它有最大值p; ②当m>0时,它有最小值p.
2．多项式x2﹣6x+4y2+4y+20的最小值是（ ）
A．20 B．17 C．10 D．0
1．已知m是有理数，则m2﹣2m+4的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
3．已知关于x的多项式 的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
A
C
B
类型三：判断二次多项式的符号(正、负)
【点睛】将二次多项式配成m(x+n)2+p的形式:①当m<0且p<0时,式子的值恒为负;②当m>0且p>0时,式子的值恒为正.
例3.试用配方的方法说明：代数式 的值恒为正数．
解：
∵无论x取何值，总有 ，
∴ ．
即代数式 的值恒为正数．
1．代数式x2-4x+5的值（ ）
A．恒为正 B．恒为负 C．可能为0 D．不能确定
A
2．用配方法证明：二次三项式 的值一定小于0．
解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 的值一定小于0．
类型四：利用配方法求代数式的值
例4.已知 ，求 的值．
解：∵ .
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
如果 ，求 的值．
解：由已知 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
类型五：与二次多项式有关的大小比较问题
例5.已知M=m-4,N=m2-3m,则M与N的大小关系为（ ）
A.M>N B.M=N C.M≤N D.M< N
C
解：M-N=m-4-(m2-3m)=m-4-m2+3m=-m2+4m-4=-(m2-4m+4)=-(m-2)2，
∵(m-2)2≥0，
∴-(m-2)2≤0，
∴M-N≤0，
∴M≤N．
【点睛】比较两个代数式的大小，一般将两式相减,再把差值利用配方法变形，进一步判断差值的正负性，从而得到两个代数式的大小关系.
已知a,b是实数,M=10a2+b2-7a+8，N=a2+b2+5a+1,试比较M ,N的值的大小.
解:∵M-N=10a2+b2-7a+8-(a2+b2+5a+1)=9a2-12a+7=(3a-2)2+3,
∵ (3a-2)2≥0，
∴(3a-2)2+3>0，
∴M>N.
类型六：利用配方法解决阅读理解类问题
例6.阅读下面的用配方法分解因式的过程，然后完成下列问题：
(1)模仿：根据材料运用配方法分解因式 ；
(2)应用：已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足 ，求这个等腰三角形的周长．
解:(1)
(2)原方程可变形为：
①若3为该等腰三角形的腰长，且符合三角形三边关系，所以周长为：3+3+4=10；
②若4为该等腰三角形的腰长，且符合三角形三边关系，所以周长为：4+4+3=11；
综上所述，等腰三角形的周长为10或11．
阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解
① ；
② .
（2）深入研究：说明多项式 的值总是一个正数
（3）拓展运用：已知a、b、c分别是△ABC的三边，且 ，试判断的形状，并说明理由．
解：（1）①
②
（2）
∴多项式 的值总是一个正数．
（3）△ABC为等边三角形．
理由如下：∵
∴
∴
∴
∴
∴ △ABC为等边三角形．
※配方法的应用
类 别 解 题 策 略
1.求最值或证明代数式的值为恒正（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
小结梳理
谢谢
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