【人教版九上数学优质课件】21.2.2 一元二次方程的解法（三）公式法 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
一元二次方程的解法（三）
--公式法
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.（难点）
2.会用公式法解一元二次方程.(重点）
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.（重、难点）
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤？
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数；
(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根.
用配方法解下列方程：
解：移项，得
x2－2x=3,
配方，得
x2－2x+12=3+12 ,
(x－1)2=4
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2+2x=1,
即
x－1=±2
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？
系数化为1，得
解:
移项，得
配方，得
即
接下来能用直接开平方解吗？
①
∵a≠0,4a2>0，
式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ）
（1）b2-4ac＞0时，
这时 ，由①得
①
方程有两个不等的实数根
∵a≠0,4a2>0，
式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ）
①
（2）b2-4ac=0时，
这时 ，由①可知，方程有两个相等的实数根
∵a≠0,4a2>0，
式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ）
①
（3）b2-4ac＜0时，
这时 ，由①可知 ，而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根.
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
Δ＞0 方程有两个不等的实数根；
Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
Δ＜0 方程无实数根.
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
例1.用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4) x2+17=8x
解：(1) a=1，b=-4，c=-7.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0
方程有两个不等的实数根
即
解：(2) a=2，b=-2，c=1.
Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0
方程有两个相等的实数根
例1.用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x
解：(3) 方程化为5x2-4x-1=0.
a=5，b=-4，c=-1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0
方程有两个不等的实数根
即
例1.用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x
解：(4) 方程化为x2-8x+17=0.
a=1，b=-8，c=17.
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0
方程无实数根 .
【点睛】公式法解方程的步骤：一化:化已知方程为一般形式;二定:用a,b,c写出各项系数;三求:b2-4ac的值;四判：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
用公式法解下列方程：
解：(1) a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
即
解：(2) a=1，b=-，c=-.
Δ=b2-4ac=(-)2-4×1×(-)=4＞0
方程有两个不等的实数根
即
(1)x2+x-6=0 (2)x2-x-=0 (3)3x2-6x=2 (4)4x2-6x=0
用公式法解下列方程：
(1)x2+x-6=0 (2)x2-x-=0 (3)3x2-6x=2 (4)4x2-6x=0
解：(3)方程化为3x2-6x-2=0.
a=3，b=-6，c=-2.
Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60＞0
方程有两个不等的实数根
即
解：(4) a=4，b=-，c=0.
Δ=b2-4ac=(-)2-4×4×0=36＞0
方程有两个不等的实数根
即
例2.若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取
值范围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
B
【分析】解：∵一元二次方程 有实数根，
∴ ，得 且
解得 且 ．
【点睛】一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
已知一元二次方程 有实根，a的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【分析】∵一元二次方程ax2-x+2=0有实数根，
∴ ，且a≠0，
解得 且a≠0．
B
例3.已知关于x的一元二次方程 ．求证：
方程一定有两个实数根．
证明：方程 ，
其中a=k，b=k+3，c=3，
∴Δ=b2-4ac
=(k+3)2-4×3k
=k2-6k+9
=(k-3)2，
∴方程有两个相等的实数根或者不相等的两个实数根，
即方程一定有两个实数根．
已知关于x一元二次方程 ．求证：方程总有两个
不相等的实数根．
证明：由 可知a=1，b=k+2，c=k=2，
∴
∵k2≥0
∴k2+12＞0
∴
∴方程总有两个不相等的实数根．
例4.已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．
（1）证明：∵ 中a=1，b=-k，c=k-1
∴
∵
∴
∴无论k取何值，该方程总有实数根.
例4.已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．
（2）若2为等腰三角形的腰，则另一边也为2，即2为方程的一个根
将x=2代入 有
4-2k+k-1=0
解得k=3
则方程为
解得x1=2，x2=1
等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．
例4.已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．
若2为等腰三角形的底，则两根为腰且相等，有
即
解得k=2
则方程为
解得x1=x2=1
等腰三角形三边长为2，1，1，
1+1=2，不符合三角形三边关系，故k=2舍去．综上所述k的值为3．
已知关于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边的长恰好是这个方程的两
个根，求△ABC的周长．
解：（1） ，
判别式 ，
所以，无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）将x=6代入方程，得 ，解得m=7，
即方程为x2-8x+12=0，解得x1=2，x2=6 ，
当2为等腰△ABC的腰时，底边长为6，2+2=4＜6，不满足三角形四边关系，舍去；当6为等腰△ABC的腰时，底边长为，2+6=8＞6，符合三角形三边关系，此时周长为6+6+4=16.
一、求根公式：
二、公式法解方程的步骤：
一化: 化已知方程为一般形式;
二定: 用a,b,c写出各项系数;
三求: b2-4ac的值;
四判：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
（b2-4ac≥0）
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ= b2-4ac.
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
Δ＞0 方程有两个不等的实数根；
Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
Δ＜0 方程无实数根.
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