【人教版九上数学优质课件】21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
一元二次方程的根与系数的关系
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
解下列方程并完成填空：
（1）x2+5x+6=0; (2)x2+3x-4=0; (3)x2+6x+8=0.
2
3
5
6
1
-4
-3
-4
-2
-4
-6
8
三个方程的二次项系数都是1，它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.
从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程
x2-(x1+x2)x+x1x2=0
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
(x1+x2)=-p，x1x2=q
一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
根据求根公式可知，
由此可得
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
(1)不是一般式的，要化成一般式；
(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；
(3)在使用 时，注意“-”不要漏写.
一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2
（1）解：a=1，b=-6，c=-15.
Δ=b2 -4ac=(-6)2-4×1×(-15)=96>0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1,x2,那么
x1+x2=6,x1x2=-15.
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2
（2）解：a=3，b=7，c=-9.
Δ=b2 -4ac=72-4×3×(-9)=157>0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1,x2,那么
x1+x2=-,x1x2=-3.
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2
（3）解：方程化为一般形式为4x2-5x+1=0
a=4，b=-5，c=1.
Δ=b2 -4ac=(-5)2-4×4×1=9>0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1,x2,那么
x1+x2= , x1x2=.
不解方程，求下列方程两根的和与积：
(1)x2-3x=15 (2)3x2+2=1-4x (3)5x2-1=4x2+x (4)2x2-x+2=3x+1
解：
(1)方程化为x2-3x-15=0. x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15.
(2)方程化为3x2+4x+1=0. x1+x2=-，x1x2=.
(3)方程化为x2-x-1=0. x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1.
(4)方程化为2x2-4x+1=0. x1+x2=-=2，x1x2=.
例2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.
所以：x1 x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=－7.
答：方程的另一个根是 ，k=－7.
已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1+x2=1+x2=6，
即：x2=5.
由于x1 x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例3.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2 =0 的两个实数根，且x12+x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ=4(k-1)2-4k2 ≥ 0
即-8k+4≥ 0.
由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1), x1x2=k2.
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.
由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,解得 k1=0 , k2=4 .
经检验,k2 =4 不合题意，舍去.
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：设方程的两个根分别是x1 、x2，根据根与系数的关系可知：
总结常见的求值:
【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
※一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
(1)不是一般式的，要化成一般式；
(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；
(3)在使用 时，注意“-”不要漏写.
1.若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是( )
A.1 B.5 C.-5 D.6
2.以3, -1为根，二次项系数为3的一元二次方程是( )
3x2-2x+3=0 B.3x2+2x-3=0
C.3x2-6x-9=0 D.3x2+6x-9=0
B
C
3.如果关于y的方程y2+2 (m-1)y-9=0的两实数根互为相反数，那么m的值是( )
A.1 B. -1 C.0 D.±1
4.关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为倒数，则p，q应满足的条件为( )
A.q=1 B.q=1且p2-4>0 C.p=1 D.q=1且p2-4≥0
A
D
5.如果关于x的一元二次方程5x2+mx-10=0的一根是-2,那么另一个根是_____,m的值为_____.
6.已知: x1、x2是方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3,x1x2=2，则a= ____，b=_____.
7.关于x的方程2x2+(m2-9)x+m+1=0，当m=_____时,两根互为倒数;当m=_____时，两根互为相反数.
1
5
-
2
1
-3
8．已知x1，x2 是一元二次方程 的两根，则
______．
9．已知m，n是关于的一元二次方程 的两个根，若
，则a的值为________．
4048
-2
10.己知,方程x2=1-2x的两根为x1、x2，不解方程求下列各式的值: (1)x12x2+x1x22; (2)，(3) (x1-x2)2.
解:将方程x2=1-2x,化为x2+4x-2=0，
∴x1+x2=-4， x1x2=- 2
(1)x12x2+x1x22 =x1x2(x1+x2)=-2×(-4)=8
(2)
(3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-4)2-4×(-2)=24
11．已知关于的一元二次方程 ．
(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且 ，求的值．
(1)解：∵一元二次方程 ，
∴无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
11．已知关于的一元二次方程 ．
(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且 ，求的值．
(2)解：依题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
(3a+1)(a-1)=0，
解得 ， .
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin