【人教版九上数学优质课件】21.3.4 实际问题与一元二次方程（四）图形面积问题 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
实际问题与一元二次方程（四）
---图形面积问题
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
1.矩形的长和宽分别为am和bm，则其面积为____m2，周长为_______m.
2.梯形的上、下底分别为acm和bcm，高为hcm，则其面积为__________cm2.
3.圆的半径为rcm，则其面积为____cm2，周长为_______cm.
4.长方体的长、宽、高分别是acm，bcm和ccm，则其体积为_____cm3.
5.直角三角形的两直角边长分别为acm和bcm，斜边长为ccm，则a，b，c之间的数量关系为_________.
ab
2(a+b)
(a+b)h
πr2
2πr
abc
a2+b2=c2
现有长19cm，宽15cm的矩形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的纸盒，要使纸盒的底面积为117cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则盒底的长为(19-2x)cm，
宽为(15-2x)cm，依题意得
(19-2x)(15-2x)=117
整理得 x2-17x+42=0
解得 x1=3，x2=14(不合题意，舍去)
答：剪去的小正方形的边长应为3cm.
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
【分析】这本书的长宽之比_________,正中央的矩形长宽之比_____，上下边衬与左右边衬之比______.
27:21=9:7
9:7
解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：
27
21
9:7
解：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm，根据题意，列出方程:
整理，得 16x2-48x+9=0
解得 (不合题意，舍去)
则：9x≈1.8，7x≈1.4.
答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm.
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试.
解：设中央的矩形的长、宽分别为9ycm、7ycm，根据题意，列出方程：
整理，得
答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm.
解得 (不合题意，舍去)
则：27-9y≈1.8，21-7y≈1.4.
例1.如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570米2，问小路应为多宽
【分析】平移法---化零为整
A
B
C
D
32米
20米
解：设小路的宽为x米，依题意得：
(32-2x)(20-x)=570
整理，得x2-36x+35=0
解得 x1=1,x2=35(不符合题意，舍去)
答：小路的宽为2米.
如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，求道路的宽．
解：设道路的宽为xm，依题意得：
(30-x)(20-x)=551
整理，得x2-50x+49=0
解得 x1=1,x2=49(不符合题意，舍去)
答：小路的宽为1m.
例2.《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开.为迎接cop15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米．
20米
(1)设垂直于墙的一边长为x米．则平行于墙的一边为_________米；
(2)当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？
36-2x
x
例2.《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开.为迎接cop15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米．
20米
(2)当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？
解：由题意可列方程：
x(36-2x)=144
整理得，x2-18x+72=0
解得x1=6，x2=12
当x=6时，36-2x=24(米)＞20米，不符合题意舍去；
当x=12时，36-2x=12(米)
答：当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为12米．
如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？
解：设车棚垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为(50+2-2x)米，
由题意列方程可得：x(50+2-2x)=240 ，
解得x1=20或x2=6
当车棚垂直于墙的一边的长为6米时，平行于墙的一边的长为40米，大于墙长的18米，舍去.
答：车棚垂直于墙的一边的长为20米.
例3.如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．
解：设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为(5-2x)cm，宽为-x＝(3-x)cm，
依题意得:(5-2x)(3-x)=6，
整理得：2x2-11x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝，
当x＝1时，5-2x＝3，3-x＝2，符合题意；
当x＝时，5-2x＝-4＜0，不合题意，舍去．
答：剪去的正方形的边长为1cm．
某市在创建全国文明城市期间，对一个矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长为30m、宽为20m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为4：3．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用606000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
解：设扩充后广场的长为4xm，宽为3xm，
依题意得：4x 3x 100+30(4x 3x-30×20)＝606000．
解得x1＝20，x2＝-20（舍去）．
所以4x＝80，3x＝60，
答：扩充后广场的长为80m，宽为60m．
1.某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为( )
A.x(x-10)=200 B.2x+2(x-10)=200
C.x(x+10)=200 D.2x+2(x+10)=200
C
2.在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( )
A.(80+x)(50+x)=5400 B.(80+2x)(50+x)=5400
C.(80+x)(50+2x)=5400 D.(80+2x)(50+2x)=5400
3.一个直角三角形的斜边长为，一直角边长是另一直角边长的2倍，则这个直角三角的面积是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
D
B
4.用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32cm 2的矩形呢？为什么？
解：设矩形的一边长为x cm，则另一边长为(11-x)㎝，依题意得
x(11-x)=30，解得 x1=6，x2=5
因此，这个矩形的长和宽分别为6cm、5cm.
不能折成面积是32cm2的矩形，理由如下：
x(11-x)=32，整理得 x2-11x+32=0
∵ b2-4ac=(-11)2-4×1×32=-7＜0
∴ 方程无实数根
∴ 不能折成面积是32cm2的矩形
5.如图，小华要为一个长6分米，宽4分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的上下左右宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等．求小华添加的边框的宽度．
解：设小华添加的边框的宽度为x分米，
则可列方程
整理得，x2-5x-6=0
解得：x1=1，x2=-6（舍去）．
所以小华添加的边框的宽度为1分米．
6.如图，矩形ABCD是景区内一块油菜花地，AB=6m，BC=8m，点E、F、G、H分别在矩形的四条边上，且AE=FC=CG=HA，现在其中修建一条观花道（阴影所示）供游人赏花．若观花道的面积为13m2，求AE的长．
解：设AE=xm，则BE=DG=(6-x)m，BF=DH=(8-x)m，
根据题意，得6×8-2×(6-x)(8-x)=13，
整理得：x2-14x+13=0，
解得：x1=1，x2=13．
∵6-x＞0，∴x＜6，∴x=1．
答：AE的长为1m．
几何图形与一元二次方程问题
列方程依据
常见几何图形面积是等量关系.
常见类型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移能化零为整，方便列方程.
一边靠墙围成的区域面积
常见分析策略
谢谢
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