【人教版九上数学优质课件】22.1.2 二次函数y=ax?的图象和性质 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
二次函数y=ax2的图象和性质
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括图象的特点.（难点）
3.掌握二次函数y=ax 的图象和性质，并会应用.（难点）
1.一次函数的图象是_________.
2.通常怎样画一个函数的图象：_________________.
3.二次函数的图象是什么形状呢？它又有哪些性质呢？
一条直线
列表、描点、连线
结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法. 我们将从最简单的二次函数y=x2开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质.
知识精讲
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
画出二次函数y=x2的图象.（列表、描点、连线）
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
当取更多个点时，函数y=x2的图象如图：
知识精讲
从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2.
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
1.抛物线y=x2是轴对称图形吗？
___，如果是，它的对称轴是_____.
2.抛物线y=x2与对称轴的交点______叫做物线y=x2的______，它是抛物线y=x2的最___点.
是
y轴
轴对称
(0,0)
顶点
低
顶点
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
(-3,9)
(-1,1)
3.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的_____，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的_____，抛物线从左到右上升趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____.
(3,9)
(1,1)
左侧
右侧
减小
增大
例1.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象.
解：1.分别列表，再画出它们的图象.
2.在坐标系内，描点.
3.用平滑的曲线连线.
y=x2
y=x2
观察三个函数的图象，它们之间有什么共同点和不同点？
一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
(提示：从开口方向、对称轴、顶点、增减性等方面思考)
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2,y=x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
对比抛物线y=x2和y=-x2，它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=-ax2呢？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
向上
向下
(0,0)
(0,0)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
方向
向上
向下
大小
越小
越大
3.函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ,顶点是抛物线的最 点
2.函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ,顶点是抛物线的最 点
1.函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
4.函数y=－0.2x2的图象的开口 ,对称轴是______,顶点是 .
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
高
低
针对练习
例2.已知 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
解:(1)由 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
解得k=-3；
(2)由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
解:(1)由 是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，得
解得k＝2；
（2）y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
例3.已知二次函数y=x2．
（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
当x=－2时，y=x2=4，
所以点C在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以点B在二次函数y=－x2的图象上；
当x=－2时，y=－x2=－4，
所以点D在二次函数y=－x2的图象上．
1.若二次函数y＝ax2的图象经过点（1,﹣2），则它也经过（ ）
A.（﹣1,﹣2） B.（﹣1，2） C.（1，2） D.（2，1）
A
2.已知二次函数 的图象开口向下，则m的值为_____．
例4.已知二次函数y＝ax2.
(1)若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1____y2；(填“> ”“＝”或“< ”)
<
(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____y2;(填“> ”“＝”或“< ”)
(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
<
y1＞y2＞y3
提示：将x=-2,x=3分别代入y=2x2,得出y1，y2的值，再比较大小;
提示：根据a＞0，x＞0时，y随x的增大而_____得出结论;
增大
提示：画出草图，在图象上标出y1，y2，y3，直观得出结论.
二次函数y=ax2 中比较函数值的大小的方法：
① 直接代入法：将x的值分别代入函数解析式中，求出y值再比较大小，多用于a值确定的情况，如例4(1)；
②性质判断法：结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系，得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况，如例4(2)；
③草图法：画出二次函数的草图，描点，根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例5(3).
1．已知点(1，y1)，(2，y2)都在函数y=x2的图象上，则y1与y2大小关系正确的是（ ）
A.y1＞y2＞0 B.y2＞y1＞0 C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0
2．已知:-1＜a＜0，且点(a-2，y1),(a，y2),(a+2，y3),都在函数y=x2的图像上，那么y1,y2,y3的大小关系是（ ）
A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y3＜y1 C.y3＜y2＜y1 D.y3＜y1＜y2
B
B
例5.如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x2与y=-x2的图象，则阴影部分的面积是_____．
解：∵函数y=x2与y=-x2的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
所以图中的阴影部分的面积是8．
如图，正方形的边长为2,图中阴影部分的面积为________.
2
例6.如图，直线l 过x轴上一点A(2,0)，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点．
B点坐标为(1,1)．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得 ，求点D的坐标．
解：(1)把B (1,1)代入y=ax2得：a=1，
∴抛物线解析式为y=x2 ；
(2)设直线AB的函数解析式为y=kx+b，
把A(2,0),B (1,1)代入得：k=-1，b=2，
∴直线AB的解析式为y=-x+2，
将y=-x+2与y=x2联立得：
或
例6.如图，直线l 过x轴上一点A(2,0)，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点．
B点坐标为(1,1)．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得 ，求点D的坐标．
∴ C(-2,4)
∴
设 D(t,t2)(t＞0)
∵
∴ ×2×t2=3
解得：t1= ，t2=- （舍）
∴ D(,3)
在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x2与直线y=x+1交于点A(a,b)和点B(c,d)，其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积.
解：由题意得：
解得：x=-或x=1
∵点A(a,b)和点B(c,d)，其中a＞c
∴A(1,2)，B(-,)
直线y=x+1与y轴的交点坐标为(0,1)
∴
1．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0
D
2.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2，4)，则该图象必经过点( )
A.(2，4) B.(-2，-4) C.(-4，2) D.(4，-2)
3.在同一坐标系中，与y=2x2的图象关于x轴对称的图象是( )
A.y=x2 B.y=-x2 C.y=-2x2 D.y=-x2
A
C
4.抛物线y=x2，y=-3x2，y=x2的图象开口最大的是（ ）
A．y=x2 B．y=-3x2 C．y=x2 D．无法确定
A
5.如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝ 的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　）
A．2 B．2 C． D．
C
6.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是
____________．
≤a≤3
7.已知:如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ×CO×4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
向上
向下
(0,0)
(0,0)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
方向
向上
向下
大小
越小
越大
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin