《平面向量》专题9 平面向量垂直（基础、中下） 专题讲义（Word版含答案）

《平面向量》专题9-1 垂直（基础）
（16套，6页，含答案，1-8基础，9-16中下）
知识点：
垂直： 如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作______________． 若,，则 ；
答案：（[endnoteRef:0]） [0: 答案：90°　a⊥b；]
典型例题：
已知，则向量的夹角为（ [endnoteRef:1] ）
　A、　　　B、 C、　　　D、 [1: 答案：B；]
在△ABC中，∠C=90°，则k的值是 [endnoteRef:2] [2: 答案：3]
随堂练习：
已知两个单位向量的夹角为45°，且，则实数的值为_____[endnoteRef:3]___。 [3: 【答案】
【解析】由两个单位向量的夹角为，得，由，得，即，解得．]
已知向量a=（–1，2），b=（m，1）.若向量a+b与a垂直，则m=______[endnoteRef:4]________. [4: 答案：7；]
已知向量若，则t= ( [endnoteRef:5] )
（A）0 （B）–3 （C）3 （D）–1 [5: 答案：B；
解得]
《平面向量》专题9-2 垂直（基础）
已知向量 满足，，且 则 与的夹角为 [endnoteRef:6]
[6: 答案：；]
| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为[endnoteRef:7]（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150° [7: 答案：C]
已知，，若，则与的夹角为[endnoteRef:8] ． [8: 答案：；]
已知，，，则 [endnoteRef:9] ． [9: 答案：；]
《平面向量》专题9-3 垂直（基础）
若向量，则向量与的夹角等于[endnoteRef:10]　 　． [10: 答案：；]
若则向量a与b的夹角为[endnoteRef:11] . [11: 答案：60]
设，若，则实数的值等于[endnoteRef:12]______． [12: 答案：；
解：，
，
则实数
故答案为：．
由，可得，即可得出．
本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．]
已知向量a=(3,4),b=(2,－1)，如果向量与b垂直，则的值为（ [endnoteRef:13] ）
A． B． C． D． [13: 答案：D
【解析】
即．
]
《平面向量》专题9-4 垂直（基础）
若，且，则向量与的夹角为[endnoteRef:14]　　　　． [14: 答案：120]
若，，且，则向量的夹角为( [endnoteRef:15])
A. 45° B. 60° C. 120° D.135° [15: 【答案】A；
]
已知向量，，若，则（[endnoteRef:16] ）
（A） （B） （C） （D） [16: 答案：B；]
设向量＝，＝（1，－1），且，则x 的值是_____[endnoteRef:17]____. [17: 答案：4；]
《平面向量》专题9-5 垂直（基础）
题文】若非零向量满足，且，
则与的夹角为（ [endnoteRef:18] ） A. B. C. D. [18: 【答案】D；
]
若,，与的夹角为，若，则的值为　　[endnoteRef:19]　　 ． [19: 答案：]
已知向量，，且，则[endnoteRef:20] ． [20: 答案：；]
设=（1，2），=（1，1），，若，则实数k的值等于（　[endnoteRef:21]　）
[21: A；
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得．
【解答】解：∵ =（1，2），=（1，1），
∴=+k=（1+k，2+k）
∵，∴ =0，
∴1+k+2+k=0，解得k=﹣
故选：A
【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．
]
《平面向量》专题9-6 垂直（基础）
已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝____[endnoteRef:22]____. [22: [答案]　2；
[解析]　∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a·b＝，|b|2＝1，
∵b·c＝ta·b＋(1－t)b＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2.
]
设是两个非零向量，则“”是 “”的（　[endnoteRef:23] ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 [23: 答案：C；]
向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则=（　[endnoteRef:24]　）
A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20 [24: Ａ
【解答】解：向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），
若⊥，则 =（1﹣x）+2（x+1）=x+3=0，解可得x=﹣3，
则=（1，﹣2），=（4，2），（+）=（5，0），（﹣）=（﹣3，﹣4）；　
则（+）（﹣）=﹣15；故选：A．
]
已知点，向量，若，则实数k的值为(　[endnoteRef:25]　)
A． B． C． D． [25: 答案：B；]
《平面向量》专题9-7 垂直（基础）
若向量满足，且，则（ [endnoteRef:26] ）
A．4 B．3 C．2 D．0 [26: 答案：D]
向量均为非零向量，，则的夹角为（ [endnoteRef:27] ）
A． B． C． D． [27: 【答案】B.；
【解析】由题意得，，，
∴，设，夹角为，∴，
∴，故选B．
]
设，，，若，则[endnoteRef:28] . [28: 答案：； ]
设向量，，且，则[endnoteRef:29] [29: 答案：
解析：本题考察向量垂直的坐标运算，由题意知：，所以，即
]
《平面向量》专题9-8 垂直（基础）
，且与垂直，则 [endnoteRef:30] 。 [30: 答案：]
若||=2，||=，与的夹角为45°，要使k-与垂直，则k= [endnoteRef:31] [31: 答案：2]
已知向量，且，则（ [endnoteRef:32]）
A. 1 B. 5 C. -1 D. -5 [32: 答案：B；
【解析】由可得，
所以所以，故选B.
]
已知向量．若为实数，，则（[endnoteRef:33] ）
A． B． C．1 D．2 [33: 答案：B；]
《平面向量》专题9-9 垂直（中下）
已知a、b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　[endnoteRef:34]　)
A. B. C. D. [34: [答案]　B；
[解析]　由(a－2b)·a＝0及(b－2a)·b＝0得，a2＝b2＝2|a||b|cosθ，∴cosθ＝，θ＝.
]
已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b．若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，
则z的取值范围为(　[endnoteRef:35]　) A．[－2,2] 　 　B．[－2,3] 　 C．[－3,2] 　 　 D．[－3,3] [35: 答案：D
【解析】因为a＝，b＝，且a⊥b，所以a·b＝2＋3＝0，即2x＋3y－z＝0.又＋≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)．
所以当2x＋3y－z＝0过点B时，zmin＝－3；当2x＋3y－z＝0过点A时，zmax＝3.所以z∈.
]
在四边形中， .
（1）若，试求与满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积. （[endnoteRef:36]） [36: 答案：解：（1）,,
, 则有，
化简得.
（2）,,
又,则 .
化简有.
联立
解得 或
， ，则四边形为对角线互相垂直的梯形.
当 时， ，
此时.
当 时
此时. ]
《平面向量》专题9-10 垂直（中下）
若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　[endnoteRef:37]　)
A．30° B．60° C．120° D．150° [37: 答案：C；
　[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.]
]
已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　[endnoteRef:38]　)
A. B．－ C．± D．1 [38: 答案：A；
　[∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.
∴λ＝.]
]
已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是___[endnoteRef:39]__． [39: 答案：[0,1]；
解析　b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1.
]
《平面向量》专题9-11 垂直（中下）
已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝____[endnoteRef:40]___. [40: 答案：2
解析：∵c＝ta＋(1－t)b，
∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.
又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，
∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，
0＝＋1－t.
∴t＝2.
]
向量均为非零向量，，则的夹角为（ [endnoteRef:41] ）
A． B． C． D． [41: 【答案】B.；
【解析】由题意得，，，
∴，设，夹角为，∴，
∴，故选B．
]
设是两个非零向量，则“”是 “”的（　[endnoteRef:42] ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[42: 答案：C；]
《平面向量》专题9-12 垂直（中下）
若,是非零向量，“⊥”是“函数为一次函数”的（ [endnoteRef:43] ）
A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [43: 答案：B；]
已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝____[endnoteRef:44]____. [44: [答案]　2；
[解析]　∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a·b＝，|b|2＝1，
∵b·c＝ta·b＋(1－t)b＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2.
]
在△ABC中，∠C=90°，则的值是 [endnoteRef:45] [45: 答案：3]
《平面向量》专题9-13 垂直（中下）
已知向量若，则( [endnoteRef:46] )
（A） （B） （C） （D） [46: 答案：B；
解得]
已知点A（1，2）和B（4，-1），试推断能否在y轴上找到一点C，使ACB=900？若能，求点C的坐标；
若不能，说明理由。（[endnoteRef:47]） [47: 答案：找不到]
已知向量,则的充要条件是（　[endnoteRef:48]　）
A． B． C． D． [48: 答案：A
]
《平面向量》专题9-14 垂直（中下）
已知向量且，则等于 （[endnoteRef:49] ）
A. B.0 C . D. [49: 答案：B
解析:.
]
△ABC中，∠A = ，BC = ，向量=（- ，cosB），=（1，tanB），且⊥，
则边AC的长为 [endnoteRef:50] [50: 答案：；]
已知 ,的夹角为60o,,,当当实数为何值时，
⑴∥ ⑵ （[endnoteRef:51]） [51: 答案： ， ]
《平面向量》专题9-15 垂直（中下）
直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，
若，，且∠C=90°则的值是 [endnoteRef:52] ; [52: 答案：3]
设非零向量，满足，求证： （[endnoteRef:53]） [53: 答案：证略
证明：，]
若是非零向量且满足， ，则与的夹角是（ [endnoteRef:54] ）
A． B． C． D． [54: 答案：B]
《平面向量》专题9-16 垂直（中下）
若，且，则向量与的夹角为　　　[endnoteRef:55]　　　． [55: 答案：120；]
在中，设且是直角三角形，求的值．（[endnoteRef:56]） [56: 答案： ， ， ， ]
已知=（1，-1），=（-2，1），如果（，则实数= [endnoteRef:57] 。 [57: 答案：]