《平面向量》专题10 平面向量求模（基础，中下）专题讲义（Word版含答案）

《平面向量》专题10-1 求模（基础）
（10套，5页，含答案）
知识点：
求模： 公式1:若,则||= , ； 公式2:； 但凡见到求模的题目，先平方，后开方；
典型例题：
已知，，则[endnoteRef:0] . [0: 答案：5；]
若向量，的夹角为，则 [endnoteRef:1] .
若向量，1，则的夹角为[endnoteRef:2] [1: 答案：；] [2: 答案：；]
若=(2,-1)，=(1,2)，且|+t|=，则实数t= [endnoteRef:3] ; [3: 答案：]
已知向量、满足==1，=3，则 = [endnoteRef:4] [4: 答案：]
随堂练习：
已知，，则（[endnoteRef:5] ）
A． B． C． D． [5: 答案：B；]
已知=2，=3，与的夹角为，则=[endnoteRef:6]　　 . [6: 答案：；]
已知向量的夹角为45°，且，则[endnoteRef:7] . [7: 答案：；]
平面向量与的夹角为45°，，则[endnoteRef:8]________． [8: 答案：；]
若向量则 [endnoteRef:9] 。 [9: 答案：]
《平面向量》专题10-2 求模（基础）
已知为坐标原点，向量，若，则[endnoteRef:10] ． [10: 答案：；]
已知向量，且，则 [endnoteRef:11] . [11: 答案：；
【解析】由∥知，]
已知向量，满足条件，，与的夹角为，则[endnoteRef:12] ． [12: 答案：；]
已知向量夹角为，且，则[endnoteRef:13] [13: 答案：3；
试题分析：对两边平方得，即，解得.
考点：向量运算.
]
设向量是两个互相垂直的单位向量，且，则（ [endnoteRef:14] ）
A． B． C． D． [14: 【答案】B；
【解析】因为,所以,
．
]
《平面向量》专题10-3 求模（基础）
向量，，则的模等于 [endnoteRef:15] ▲ . [15: 答案：； ]
若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　[endnoteRef:16]　)
A．2 B．4 C．6 D．12 [16: 答案：C；
　[∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.]]
已知向量满足2，，与的夹角为，则 [endnoteRef:17] . [17: 答案：2；]
已知向量的夹角为，，，则=[endnoteRef:18]_______． [18: 答案：；]
已知平面向量、满足，，则（[endnoteRef:19] ）
A． 　B． 　 C． D． [19: 答案：D；]
《平面向量》专题10-4 求模（基础）
已知向量，，若，则向量的模为[endnoteRef:20]____． [20: 答案：10；]
已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝(　[endnoteRef:21]　)
A. B．4 C．3 D．2 [21: 答案：B；
　依题意得，＝，故m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故|2a＋3b|＝＝4，选B.
]
已知向量，的夹角为，，，则____[endnoteRef:22]____． [22: 答案：；]
已知非零向量的夹角为，且，则[endnoteRef:23] . [23: 答案：；]
已知平面向量的夹角为，且，则（ [endnoteRef:24] ）
（A） （B） （C） （D） [24: 答案：A；]
《平面向量》专题10-5 求模（基础）
已知向量，，则（ [endnoteRef:25]）
A．10 B． C． D．2 [25: 答案：C；]
已知均为单位向量,它们的夹角为60°,那么_[endnoteRef:26]____ [26: 答案：；]
已知向量，满足，， 与的夹角为120°，则[endnoteRef:27]____。 [27: 答案：；]
平面向量的夹角为，，则_[endnoteRef:28]________. [28: 答案： ；]
设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b等于(　[endnoteRef:29]　)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)5 [29: 答案：A；]
《平面向量》专题10-6 求模（基础）
已知向量，，若，则[endnoteRef:30]______． [30: 【答案】
【解析】由题意可得：，，
即：，，则：，
据此可知：．
]
已知，，则（ [endnoteRef:31] ）
A． B． C． D． [31: 答案：A；]
若向量、满足,与的夹角为,则____[endnoteRef:32]___ [32: 答案：；]
在矩形ABCD中，，则[endnoteRef:33] ． [33: 答案：；]
已知平面向量,的夹角为60°,,,则（[endnoteRef:34]　　）
A．2 B． C． D． [34: 答案：C；]
《平面向量》专题10-7 求模（中下）
典型例题2：
已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．[endnoteRef:35] [35: [解析]　如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝120°，
以OA，OB为邻边作 OACB，
则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，
＝＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为等腰三角形，
所以∠OAB＝30°
即a－b与a的夹角为30°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，
所以OC⊥AB，所以∠COA＝60°，
即a＋b与a的夹角为60°.
]
随堂练习2：
设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．[endnoteRef:36] [36: 答案：解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
]
已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．[endnoteRef:37]
[37: 答案：解　(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.
|a＋b|＝＝＝＝1.
∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉＝|2a－b|·＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为.]
其他：
已知向量=（2，1）和=（x﹣1，y）垂直，则的最小值为（　[endnoteRef:38]　）。
（A） （B）5 （C）2 （D） [38: 答案：A；
【考点】平面向量数量积的运算．
【解析】向量=（2，1）和=（x﹣1，y）垂直，则+=（x+1，y+1），
又向量和垂直， =2（x﹣1）+y=0，即y=﹣2x+2；
所以|+|2=（x+1）2+（y+1）2=5x2﹣10x+10=5（x﹣1）2+5，
所以x=1时，|+|的最小值为。
]
已知向量，满足，，，则[endnoteRef:39] ． [39: 答案：；]
已知向量a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝(　[endnoteRef:40]　)
A．3 B．2 C. D．1 [40: 答案：A；
　因为a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，所以4a2－4a·b＋b2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3或|b|＝－(舍)，故选A.]
《平面向量》专题10-8 求模（中下）
已知向量的夹角为,且,则；向量与向量的夹角的
大小为____[endnoteRef:41]_____. [41: 【答案】]
已知向量，，若，则( [endnoteRef:42] )
A． B． C．1 D．3 [42: 答案：D；]
已知向量，，满足，且，，，则 [endnoteRef:43] ． [43: 答案：；]
设向量a,b满足 ( [endnoteRef:44] )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)5 [44: 答案：A；]
《平面向量》专题10-9 求模（中下）
已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．（[endnoteRef:45]） [45: [解析]　如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝120°，
以OA，OB为邻边作 OACB，
则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，
＝＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为等腰三角形，
所以∠OAB＝30°
即a－b与a的夹角为30°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，
所以OC⊥AB，所以∠COA＝60°，
即a＋b与a的夹角为60°.
]
已知向量,向量则的最大值，最小值分别是( [endnoteRef:46] )
A． B． C．16，0 D．4，0 [46: 答案：D；]
若单位向量满足，则在方向上投影为 [endnoteRef:47] ． [47: 答案：-1；]
已知向量a、b的夹角为,|a|=2, |b|=3,则|2a－b |= [endnoteRef:48] ． [48: 答案：；
【解析】．
]
《平面向量》专题10-10 求模（中下）
设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．（[endnoteRef:49]） [49: 答案：解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
]
已知与，要使最小，则实数的值为_____[endnoteRef:50]_____ [50: 答案：，；]
非零向量夹角为，且，则的取值范围为　[endnoteRef:51]　 　 [51: 答案：；]
已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p1：|a＋b|＞1 θ∈； p2：|a＋b|＞1 θ∈
p3：|a－b|＞1 θ∈； p4：|a－b|＞1 θ∈.
其中的真命题是(　[endnoteRef:52]　) A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4 [52: 答案：A；
【解析】因为>1 2＋2a·b＋2>1 a·b>－
cosθ＝cosθ>－ θ∈，所以p1为真命题，p2为假命题．
又因为>1 2－2a·b＋2>1 a·b< cosθ＝cosθ< θ∈，所以p4为真命题，p3为假命题．
]