《平面向量》专题13 平面向量分解代换 中档题 专题讲义（Word版含答案）

《平面向量》专题13-1 向量中档
（6套，6页，含答案）
中档分解代换：
设点在△ABC的外部，且，则（[endnoteRef:0] ）
A． B． C． D．
[0: 答案：B；]
在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD,则的最大值为 [endnoteRef:1] . [1: 答案：2；]
在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，M是BC的中点，N在线段AM上，且BN⊥AM，则向量在向量上的投影为 [endnoteRef:2] . [2: 答案：；
【解析】以A为原点、AB所在直线为轴建立直角坐标系，则A（0,0），B（3,0），C（1，），所以，设=，∴=，因为，所以=，解得，所以，所以==，所以向量在向量上的投影为=.]
知识点：
图像分析： 画图像分析，熟记特殊三角形的三边比例，因为考得比较频繁
典型例题：
已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 [endnoteRef:3] . [3: 答案：90°； ]
设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于(　[endnoteRef:4]　)
A．2 B. C. D．1 [4: 答案：A
【解析】 设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，则点C在△AOB的外接圆上，当OC经过圆心时，|c|最大，在
△AOB中，求得AB＝，由正弦定理得△AOB外接圆的直径是＝2，|c|的最大值是2，故选A.
]
已知△ABD是等边三角形，且，那么四边形ABCD的面积为（ [endnoteRef:5] ）
A． B． C． D． [5: 答案：B；]
知识点：
涉重心： 三角形的重心是其三条中线的交点；重心是中线的三分之一分点。 若三角形ABC中，顶点坐标分别为：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则其重心为
典型例题：
在△ABC中，=a，=b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则可用a、b表示为[endnoteRef:6] . [6: 答案： -a+b]
设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（ [endnoteRef:7] ）
A. B. C. D. [7: 答案：A；]
《平面向量》专题13-2 向量中档
（限理科）已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中则△ABC和△AMN的面积之比为[endnoteRef:8] .
[8: 答案：
[解析]连接AG并延长交BC于D，此时D为BC的中点，故
设所以.
所以，则.
[考点]平面向量的综合应用
]
（涉解几）已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），，点C是线段AB上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（ [endnoteRef:9] ）
A． B． C． D． [9: 答案：A；]
在直角梯形ABCD中，，，，，在上，若，，则 [endnoteRef:10] . [10: 答案：；
]
a＝(0,1)，b＝(1,0)且(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为_____[endnoteRef:11]___．
[11: 答案：；
解析：设c＝(x，y)，则a－c＝(－x,1－y)，b－c＝(1－x，－y)，因为(a－c)·(b－c)＝0，所以x2＋y2－(x＋y)＝0，又由不等式≥2得：x＋y＝x2＋y2≤2，解得0≤≤，所以|c|的最大值为.
]
已知向量,则的最小值为[endnoteRef:12] . [12: 答案：4；]
如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　[endnoteRef:13]　) [13: 答案：C；
[解析]　设＝λ，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴＝＋＝－a＋b，
＝＋＝(b－a)＋λ(a－b)＝a＋(1－λ)b，∵与共线，∴＝，∴λ＝，
∴＝＋＝b＋＝b＋＝a＋b，故x＝，y＝.
]
B. C. D.
《平面向量》专题13-3 向量中档
如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为，且tan=7，与与的夹角为45°．若（），则的值为（[endnoteRef:14] ）
A． B． C． D．
[14: 答案：B；]
在直角梯形 ABCD 中， AB ⊥AD，DC / /AB，AD＝DC＝1，AB ＝2，E, F 分别为AB, AC 的中点，以A 为圆心， AD为半径的圆弧DE中点为P ．若，其中R，则的值是（ [endnoteRef:15] ） A．　　　B．　　C．　　 D． [15: 答案：B；]
在等腰直角△ABC中,,,、为边上两个动点,且满足,
则的取值范围为____[endnoteRef:16]____. [16: 答案：；]
已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为（ [endnoteRef:17] ） A. B. C. D. [17: 答案：B；]
已知，，，当最小时，= [endnoteRef:18] . [18: 答案：；]
（限理科）已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足
则点P的轨迹一定通过△ABC的（ [endnoteRef:19] ）
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 [19: 答案：C
[解析]在△ABC中，由正弦定理得边上的中点为D，由已知可得故P点的轨迹在三角形的中线上，则P点轨迹一定通过三角形的重心.[考点]平面向量的加减法的几何运算及向量共线的应用.]
设G是△ABC的重心，且，则角B的大小为 ▲ [endnoteRef:20] ． [20: 答案：；]
《平面向量》专题13-4 向量中档
在中，，其面积为3，设点在△ABC内，且满足，则[endnoteRef:21] ． [21: 答案：；]
一直线与平行四边形ABCD中的两边、分别交于、，且交其对角线AC于，若，，，则（ [endnoteRef:22] ）
A． B． C． D． [22: 答案：D；]
在△ABC中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合），
若，则的取值范围是（ [endnoteRef:23] ）
A． B． C． D． [23: 答案：C；
[来]
在平面直角坐标系中,为坐标原点,点,将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量,
则点的坐标是 （　[endnoteRef:24]　）
[24: 答案：]
已知，.当最小时，[endnoteRef:25] . [25: 答案：；]
△ABC的顶点A(2，3)，B(－4，－2)和重心G(2，－1)，则C点坐标为 [endnoteRef:26] . [26: 答案：（8，-4）]
已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝[endnoteRef:27]______. [27: 答案：0；
解析　如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0， ∴＋＋＝0.
]
《平面向量》专题13-5 向量中档
如图，在△ABC中，为线段上靠近的三等分点，点在上且，
则实数的值为（ [endnoteRef:28]） A．1 B． C． D．
[28: 答案：D；]
如下图，已知，点在线段上，且，
设 ,则等于（ [endnoteRef:29] ） A． B． C．3 D．
[29: 答案：C；]
△ABC是边长为的等边三角形,已知向量,满足,,则下列结论错误的是（ [endnoteRef:30] ）
A． B． C． D．
[30: 答案：C；
【解析】设边的中点为
,故选C.]
设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝([endnoteRef:31]　　)
A．2 B．4 C．6 D．8 [31: 答案：A；
　由|＋|＝|－|得·＝0，所以AM为直角三角形ABC斜边上的中线，所以||＝||＝2.]
已知A,B,C是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为（ [endnoteRef:32] ）
A． B． C． D． [32: 答案：B；
]
若G是△ABC的重心，，，分别是角的对边，若，
则角（ [endnoteRef:33] ） （A） （B） （C） （D） [33: 答案：D；
由于是的重心，，，代入得
，整理得，
，因此.
]
设G为△ABC的重心，且(sinA)·+(sinB)·+(sinC)·=，则B的大小为为（ [endnoteRef:34] ）
A.600 B.450 C.300 D.150 [34: 答案：A；]
《平面向量》专题13-6 向量中档
已知，，，若点是△ABC所在平面内一点，且，当变化时， 的最大值等于（ [endnoteRef:35] ）
（A）-2 （B）0 （C）2 （D）4 [35: 答案：B；]
已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.
若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝（ [endnoteRef:36] ）
A. B. C. D.
[36: 答案：C；
【解析】由已知关系可知，且，，所以，，可求得，故正确选项为C. ]
点O为△ABC内一点，且满足，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=（　[endnoteRef:37]　）A． B． C． D． [37: 答案：B；
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，由已知得O为△DABC重心，E为AB中点，推导出S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，由此能求出结果．
【解答】解：延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，
∵O为△ABC内一点，且满足，∴=，
∴O为△DABC重心，E为AB中点，∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，
∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，∴=．
故选：B．
【点评】本题考查两个三角形面积比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，
注意向量、三角形重心等知识的合理运用．]
如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若=x+y，则（[endnoteRef:38] ） A.01 C.x+y<-1 D.-1[38: 答案：C；
【解析】由平面向量共线定理，有，即，
故,又，所以由平面向量基本定理，
有.
]
在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则等于 （ [endnoteRef:39] ）
A． B． C． D． [39: 答案：C]
如图17， O是△ABC外任一点，若，求证：G是△ABC重心