11.2.2与三角形有关的外角 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
11.2.2与三角形有关的外角
人教版 八年级上册
教学目标
教学目标：
（1）了解三角形的外角；
（2）探索并理解三角形外角定理及其推论的推导.
（3）会用三角形外角定理及其推论解决一些实际问题.
重点：三角形外角定理及其推论的推导.
难点:三角形外角定理及其推论的实际应用.
新知导入
　　如图，是A、B两块较长钢板搭建的人字架，资料表明，当∠1=60°，∠3 =100°时，人字架最稳定，由于客观原因，∠3 不能度量，那么∠2 为多少度时，人字架最稳定？
2
3
1
A
B
新知导入
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
新知导入
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
新知讲解
D
B
A
C
1
2
3
4
外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
三角形的外角：
新知讲解
D
B
A
C
不相邻内角
1
2
3
4
外角与相邻内角有什么特殊关系？
∠4+∠3=180°
外角与不相邻内角的大小不能确定
发现：
1.每一个三角形都有６个外角．
3.每个外角与相应的内角是邻补角．
2.每一个顶点相对应的外角都有２个．
相邻内角
外角
新知讲解
根据图形计算∠ACD的大小, 通过计算,你发现了什么规律？
B
C
A
D
350
700
B
A
C
D
800
400
75°
105°
∠ACD=∠A+∠B
60°
120°
∠ACD=∠A+∠B
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
你能证明
这一结论吗？
还可以得到：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
新知讲解
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
B
A
C
D
如图，
∵　∠ACD +∠ACB =180°，
　　∠A +∠B +∠ACB =180°，
∴　∠ACD =∠A +∠B．
还有其他证明方法吗？
新知讲解
B
A
C
D
①
②
③
A
C
D
B
A
C
D
B
E
E
E
如图①, 过点B作BE∥AC ，
则∠ACD =∠BEA ,∠BEA=∠A ，
∵∠BEA=∠BEA +∠ABC
∴∠ACD =∠A +∠ABC．
如图②，过点A作AE∥BC ，
则∠ACD =∠EAC ,∠EAB=∠B ，
∵∠EAC=∠BAC +∠EAB
∴∠ACD =∠BAC +∠B．
如图③，过点A作AE∥BC ，
则∠ACD =∠EAC ,∠EAB=∠B ，
∵∠EAC=∠BAC +∠EAB
∴∠ACD =∠BAC +∠B．
新知讲解
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
归纳总结
(1)三角形的一个外角与它
相邻的内角互补．
(2)三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和．
(3)三角形的一个外角大于与它
不相邻的任意一个内角．
归纳总结：
A
B
C
D
(
(
(
新知讲解
例4：如图所示，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：
∠BAE=∠2＋∠3
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1+∠2+∠3）
∠CBF=∠1＋∠3
∠ACD=∠1＋∠2
∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°
你还有其他证明方法吗？
新知讲解
证法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
新知讲解
任意一个三角形的外角和等于360°．
三角形外角和定理：
A
C
B
1
2
3
注意：三角形的外角和是指三角形的每个顶点处各取一个外角的和.
课堂练习
1. 如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是(　　)
A. ∠1，∠2
B. ∠2，∠3
C. ∠1，∠3
D. ∠1，∠2，∠3
C
2. 如图所示的图形中x的值是(　　)
A. 60
B. 40
C. 70
D. 80
A
课堂练习
4. 如图，CE平分∠ACD，∠A=40°，∠B=30°，∠D=104°，则∠BEC=______.
57°
3. 如图，五角星的顶点为A,B,C,D,E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 (　　)
A. 90°
B. 180°
C. 270°
D. 360°
B
课堂练习
5. 如图，∠BCD=92°,∠A=27°，∠BED=44°. 求：
（1）∠B的度数；
（2）∠BFD的度数.
解：（1）∵在△ABC中，
∠BCD=∠A+∠B，∠BCD=92°，∠A=27°，
∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°.
（2）在△BEF中，∠BFD=∠B+∠BED，
∠BED=44°，∠B=65°，
∴∠BFD=44°+65°=109°.
课堂练习
6. 如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角的平分线相交于点E．
（1）已知∠A=60°，求∠E的度数；
（2）写出∠A与∠E的数量关系：___________.
∠A=2∠E
解：（1）∵CE,BE分别平分∠ACD,∠ABC，
∴∠ECD= ∠ACD，
∠EBC= ∠ABC.
∴∠E=∠ECD-∠EBD= （∠ACD-∠ABC）= ∠A=30°.
课堂总结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
谢谢
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