11.3.2多边形及其内角和 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
11.3.2多边形及其内角和
人教版 八年级上册
教学目标
教学目标：
（1）掌握多边形内角和及外角和公式；
（2）能把多边形问题转化为三角形问题，体现了转化的数学思想，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.
重点：探索并证明多边形内角和与外角和公式.
难点：探索多边形内角和时，将多边形转化成三角形来解决问题的思路.
新知导入
问题1 三角形内角和是多少度？
　 问题2 长方形、正方形的内角和等于多少度？
　 问题3 猜想任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？
180°
360°
360°
新知讲解
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？
方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为 180°×2=360°.
A
B
C
D
新知讲解
A
B
C
D
E
方法2：如图，在CD边上任取一点E，
连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)
=180°×3-180°=360°.
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：
△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
A
B
C
D
E
新知讲解
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
结论： 四边形的内角和为360°.
新知讲解
你能类比四边形求内角和得方法，求出五边形和六边形的内角和吗？
∴ 五边形ABCDE的内角和为
180°×3=540°.
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
∴ 六边形ABCDEF的内角和 180°×4=720°.
新知讲解
多边形 的边数 图形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的
内角和
3
4
5
6
…… …… …… …… ……
n
(n－2)×180
4× 180
2× 180
3× 180
1× 180
0
1
1
2
2
3
3
4
n－3
n－2
多边形的相关规律
新知讲解
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n - 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
多边形的内角和：
多边形的内角和公式：
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
新知讲解
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
因为
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
所以
A
B
C
D
这就是说，如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
新知讲解
例2 在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？
A
B
C
D
E
F
新知讲解
1.六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？
2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
每一个外角加上与它相邻的内角等于180°，所以六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6.
3.上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6=1080°，
六边形的内角和为180°×4=720°，
六边形的外角和为180°×6-180°×4=360°.
新知讲解
例2 在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？
A
B
C
D
E
F
六边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以六边形的外角和加内角和等于6·180°，内角和为(6－2)·180°,因此，外角和为：6·180°－(6－2)·180°= 360°.
新知讲解
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考：n边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
新知讲解
回顾问题6，你也可以这样理解这个结论。
在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．
课堂练习
1. 如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（　　）
A.720°
B.540°
C.360°
D.180°
2. 若四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶5，且∠C=150°，则∠D的度数为 (　　)
A. 90° B. 105°
C. 120° D. 135°
C
B
课堂练习
3. 已知正多边形的一个内角为150°，则该正多边形的边数为（　 　）
A.12 B.10
C.8 D.6
A
4. 如图，一束平行太阳光照射到每个内角都相等的五边形上，若∠1=47°，则∠2=_____.
25°
课堂练习
5.如图，某人从点A出发，前进8 m后向右转60°，再前进8 m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了(　　)
A. 24 m
B. 32 m
C. 40 m
D. 48 m
D
课堂练习
6. 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数.
解：设多边形的边数为n.
由题意，得（n-2）·180°=5×360°.
解得n=12.
∴这个多边形是十二边形.
课堂练习
7. 如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.
（1）若∠1=48°，求∠2的度数；
（1）解：∵六边形ABCDEF的各内角相等，
∴一个内角的大小为 =120°.
∴∠E=∠F=∠BAF=120°.
∵∠FAB=120°，∠1=48°，
∴∠FAD=∠FAB-∠DAB=120°-48°=72°.
∵∠2+∠FAD+∠F+∠E=360°，
∴∠2=360°-∠FAD-∠F-∠E=360°-72°-120°-120°=48°.
课堂练习
7. 如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.
（2）求证：AB∥DE.
（2）证明：∵∠1=120°-∠DAF，
∠2=360°-120°-120°-∠DAF=120°-∠DAF，
∴∠1=∠2.∴AB∥DE.
课堂总结
多边形的 内角和
内角和计算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
外 角 和
多边形的外角和等于360° 。
特别注意：与边数无关.
正 多
边 形
内角=
，外角=
谢谢
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