12.3.2 角平分线的性质定理的逆定理（共18张PPT）

(共18张PPT)
12.3角的平分线的性质
人教版 八年级上册
教学目标
教学目标：
理解角平分线判定定理.
灵活运用角的平分线的判定方法解决具体数学问题.
新知导入
1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P到OB的距离
O
D
E
P
P到OA的距离
角平分线上的点
A
C
B
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
新知讲解
猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△CEO和Rt△CFO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OC=OC（公共边），
CE=CF （已知 ），
∵CE⊥OA,CF⊥OB.
∴∠CEO=∠CFO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD =PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上.
A
B
O
D
E
P
新知讲解
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
新知讲解
证明角平分线的“两种方法”
(1)定义法：应用角平分线的定义.
(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.
新知讲解
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
角平分线的判定定理
应建在角平分线上。
新知讲解
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
500米=50000厘米，根据比例尺，图上距离应为2.5厘米，所有截取点D=2.5cm ,点D即为所求。
Ｏ
新知讲解
探究1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
新知讲解
探究2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
你能证明这个结论吗？
新知讲解
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理，PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
D
P
M
N
A
B
C
F
E
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
得三条角平分线有什么关系？
新知讲解
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等，
这个交点叫作三角形的内心.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
课堂练习
1.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示到∠AOB 两边距离相等的点应是(　　)
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
A
课堂练习
2.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　　)
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
C
3.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
O
C
A
B
A
课堂练习
4.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.
求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线
AC，AB，BC，垂足分别为F，G，H.
∵BD是△ABC的∠ABC的外角的平分线，
∴点 P在BD上，
∴PG＝PH(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)．
同理PF＝PH，
∴PG＝PH＝PF，即点P到三边AB，BC，CA
所在直线的距离相等．
课堂总结
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
谢谢
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