12.3.1角的平分线的性质 课件（共18张PPT）
文档属性
| 名称 | 12.3.1角的平分线的性质 课件（共18张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-29 15:43:18 | ||
图片预览
文档简介
(共18张PPT)
12.3角的平分线的性质
人教版 八年级上册
教学目标
教学目标：
（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法；理解角的平分线的性质并能初步运用.
（2）掌握角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
重点：角的平分线的性质.
难点：角的平分线的性质应用.
新知导入
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
新知讲解
如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
证明：在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
新知讲解
⑵分别以M,N为圆心,大于 MN 的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
⑶作射线OC。射线OC即为所求.
0
已知:∠AOB
求作：∠AOB的平分线
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
新知讲解
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？
Ｏ
已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即OC平分∠AOB
新知讲解
任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？
D
P
E
A
O
B
C
PD=PE
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO
∠ AOC= ∠ BOC
OP=OP
∴ △ PDO ≌△ PEO（AAS）
新知讲解
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
新知讲解
例 如图, ∠AOC=∠BOC，点 P 在OC 上，PD⊥OA,
PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.
证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO,
∠AOC=∠BOC,
OP=OP,
∴△PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
B
A
D
O
P
E
C
新知讲解
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
课堂练习
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC=7，BD=4，则点D到AB的距离是( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 7
A
2. 如图，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是 ( )
A. 一定相等 B. 一定不相等
C. 当BD=CD时，两者相等 D. 当DE=DF时，两者相等
D
课堂练习
3. 如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD=4. 若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为( )
A. 34 B. 17
C. 8.5 D. 4
A
4. 如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝_______.
100°
课堂练习
5. 如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM=PN.
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS）.
∴∠ADB=∠CDB.
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN.
课堂练习
6. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.
（1）若PH=8 cm，求点P到直线BC的距离；
（1）解：作PQ⊥BE于点Q，如图.
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA,
∴PH=PQ=8，即点P到直线BC的距离为8 cm.
课堂练习
6. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上.
（2）证明：∵PC平分∠ACE，
∴PD=PQ.
∵PH=PQ，∴PD=PH.
又∵PD⊥AC,PH⊥BA,
∴点P在∠HAC的平分线上.
课堂总结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
12.3角的平分线的性质
人教版 八年级上册
教学目标
教学目标：
（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法；理解角的平分线的性质并能初步运用.
（2）掌握角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
重点：角的平分线的性质.
难点：角的平分线的性质应用.
新知导入
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
新知讲解
如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
证明：在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
新知讲解
⑵分别以M,N为圆心,大于 MN 的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
⑶作射线OC。射线OC即为所求.
0
已知:∠AOB
求作：∠AOB的平分线
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
新知讲解
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？
Ｏ
已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即OC平分∠AOB
新知讲解
任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？
D
P
E
A
O
B
C
PD=PE
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO
∠ AOC= ∠ BOC
OP=OP
∴ △ PDO ≌△ PEO（AAS）
新知讲解
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
新知讲解
例 如图, ∠AOC=∠BOC，点 P 在OC 上，PD⊥OA,
PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.
证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO,
∠AOC=∠BOC,
OP=OP,
∴△PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
B
A
D
O
P
E
C
新知讲解
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
课堂练习
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC=7，BD=4，则点D到AB的距离是( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 7
A
2. 如图，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是 ( )
A. 一定相等 B. 一定不相等
C. 当BD=CD时，两者相等 D. 当DE=DF时，两者相等
D
课堂练习
3. 如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD=4. 若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为( )
A. 34 B. 17
C. 8.5 D. 4
A
4. 如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝_______.
100°
课堂练习
5. 如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM=PN.
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS）.
∴∠ADB=∠CDB.
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN.
课堂练习
6. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.
（1）若PH=8 cm，求点P到直线BC的距离；
（1）解：作PQ⊥BE于点Q，如图.
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA,
∴PH=PQ=8，即点P到直线BC的距离为8 cm.
课堂练习
6. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上.
（2）证明：∵PC平分∠ACE，
∴PD=PQ.
∵PH=PQ，∴PD=PH.
又∵PD⊥AC,PH⊥BA,
∴点P在∠HAC的平分线上.
课堂总结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin