[菱形的判定]
一、选择题
1.如图,B,C分别是锐角∠A两边上的点,AB=AC,分别以点B,C为圆心,以AB的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接BD,CD.则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( )
A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线平分一组对角的四边形是菱形
2.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,那么下列条件中,能判定平行四边形ABCD是菱形的为 ( )
A.AO=CO B.AO=BO C.∠AOB=90° D.∠BAD=∠ABC
3.已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,则下列命题中是假命题的是 ( )
A.若AC⊥BD,则平行四边形ABCD是菱形
B.若BO=2AO,则平行四边形ABCD是菱形
C.若AB=AD,则平行四边形ABCD是菱形
D.若∠ABD=∠CBD,则平行四边形ABCD是菱形
4.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 ( )
A.矩形 B.菱形 C.一般的四边形 D.平行四边形
5.甲、乙、丙、丁四名同学从中入口处进入,最后到达的是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.如图,ABCD是一张平行四边形纸片,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两名同学的作法如图下:
则关于甲、乙两人的作法,下列判断正确的为 ( )
A.仅甲正确 B.仅乙正确 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
二、填空题
7.如图,在平行四边形ABCD中,
∵∠1=∠2,∴BC=DC,
∴平行四边形ABCD是菱形( ).
8.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,BC=a,AC=4,AB=.要使平行四边形ADCE是菱形,a的值应是 .
三、解答题
9.如图,已知在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连接DF,EF,BF.
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形;
(2)若∠AFB=90°,AB=6,求四边形BEFD的周长.
10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,EF垂直平分AD交AB于点E,交AC于点F,连接DE,DF.
求证:四边形AEDF是菱形.
11.(2020滨州)如图,过 ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB,BC,CD,DA于点P,M,Q,N.
(1)求证:△PBE≌△QDE;
(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.
如图①,在矩形纸片ABCD中,AB=3 cm,AD=5 cm,折叠纸片使点B落在边AD上的点E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于点F,连接BF.
(1)求证:四边形BFEP为菱形;
(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动,当点Q与点C重合时(如图②),求菱形BFEP的边长.
答案
1.B 2.C 3.B 4.B
5.D ∵一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,∴最后到达的是丁.
6.C 甲的作法正确.理由:如图①.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB.
∵EF是AC的垂直平分线,
∴AO=CO.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF.
又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.
又∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
乙的作法正确.理由:如图②.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠6=∠4.
∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,
∴∠2=∠3,∠5=∠6,
∴∠1=∠3,∠5=∠4,
∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.
又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形.
7.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
8. 如图,连接DE交AC于点O,
则当 ADCE是菱形时,AC⊥DE.
∵四边形ADCE是平行四边形,
∴OA=OC,AE∥CD,AE=CD.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,∴AE=BD.
又∵AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴DE=AB=,∴DO=.
又∵AC=4,∴CO=2,
∴在Rt△COD中,CD==,
∴BC=2CD=,即a=.
9.解:(1)证明:∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴DF,EF均是△ABC的中位线,
∴DF∥BC,EF∥AB,
∴四边形BEFD是平行四边形.
(2)∵∠AFB=90°,AB=6,D是AB的中点,
∴DF=BD=AB=3,
∴平行四边形BEFD是菱形,
∴BE=EF=DF=BD=3,
∴四边形BEFD的周长为4DF=12.
10.证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EF⊥AD,∴∠AOE=∠AOF=90°.
在△AEO和△AFO中,
∴△AEO≌△AFO(ASA),∴EO=FO.
又∵EF垂直平分AD,∴EF,AD互相平分,
∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵EF⊥AD,∴平行四边形AEDF是菱形.
11.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴EB=ED,AB∥CD,
∴∠EBP=∠EDQ.
在△PBE和△QDE中,
∴△PBE≌△QDE(ASA).
(2)∵△PBE≌△QDE,∴EP=EQ.
同理,△BME≌△DNE,∴EM=EN,
∴四边形PMQN是平行四边形.
又∵PQ⊥MN,∴四边形PMQN是菱形.
[素养提升]
解:(1)证明:由折叠的性质,得PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF.
∵EF∥AB,∴∠BPF=∠EFP,
∴∠EPF=∠EFP,
∴PE=EF,
∴PB=BF=EF=PE,
∴四边形BFEP为菱形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=5 cm,CD=AB=3 cm,∠A=∠D=90°.
由折叠的性质,得PB=PE,CE=BC=5 cm.
在Rt△CDE中,DE==4 cm,
∴AE=AD-DE=5-4=1(cm).
在Rt△APE中,AE=1 cm,AP=3-PB=3-PE,
∴PE2=12+(3-PE)2,解得PE= cm,
∴菱形BFEP的边长为 cm.[菱形的性质]
一、选择题
1.下列是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是 ( )
A.对角线互相垂直 B.两组对边分别平行
C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等
2.如图所示,在菱形ABCD中,AB=5,∠B=60°,则对角线AC的长是 ( )
A.20 B.15 C.10 D.5
3.如图,在菱形ABCD中,∠A=50°,DE⊥AB于点E,则∠BDE的度数为 ( )
A.25° B.35° C.40° D.50°
4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是 ( )
A.20 B.24 C.40 D.48
5.(2020盐城)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为BC的中点,AC=6,BD=8,则线段OH的长为 ( )
A. B. C.3 D.5
6.(2021北京房山区期中)如图,四边形ABCD是菱形,其中A,B两点的坐标为A(0,3),B(4,0),则点D的坐标为 ( )
A.(2,0) B.(-2,0) C.(0,2) D.(0,-2)
7.如图所示,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,∠ABC=70°,E是线段AO上一点,则∠BEC的度数可能是 ( )
A.100° B.70° C.50° D.20°
8.(2021绍兴)如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发,沿折线BC-CD方向移动,移动到点D处停止.在△ABP形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是 ( )
A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
二、填空题
9.如图,菱形ABCD的对角线BD的中点O到AB的距离为2,那么点O到BC边的距离为 .
10.如图,在菱形ABCD中,∠C=60°,E,F分别是AB,AD的中点.若EF=5,则菱形ABCD的周长为 .
三、解答题
11.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,CF⊥AB于点F.
求证:AF=CE.
12.如图,在菱形ABCD中,已知AE⊥BC于点E,EC=2,且AE∶BE=5∶12,求菱形ABCD的周长.
13.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.
(1)求证:四边形OCED是矩形;
(2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD的面积是 .
如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠ABC=60°,AB=4,现有线段BO上的一个动点E(不与点B,O重合),连接AE,CE.
(1)求证:CE=AE;
(2)若F为射线DC上一点,且∠AEF=120°,求线段EF长的整数值.
答案
1.A 2.D
3.A ∵四边形ABCD是菱形,∠A=50°,
∴AD=AB,∴∠ABD=65°.
∵DE⊥AB,
∴∠BDE=90°-∠ABD=90°-65°=25°.
4.A 设AC,BD相交于点O.
∵菱形的对角线互相垂直平分,
∴AO=AC=3,BO=BD=4,
∴AB==5,
∴菱形的周长=4×5=20.
5.B
6.D ∵A(0,3),B(4,0),
∴OA=3,OB=4.
∵∠AOB=90°,
∴AB==5.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=5.
∵OA=3,AD=5,
∴OD=2,∴D(0,-2).
7.B ∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=70°,
∴∠ABO=35°,AC⊥BD,
∴∠BAC=55°,0°≤∠ABE≤35°.
∵∠BEC=∠BAC+∠ABE,
∴55°≤∠BEC≤90°.
8.C 由∠B=60°,得菱形由两个等边三角形组合而成.
当AP⊥BC时,△ABP为直角三角形;
当点P到达点C处时,△ABP为等边三角形;
当点P在CD上且位于CD的中垂线时,△ABP为直角三角形;
当点P与点D重合时,△ABP为等腰三角形.
9.2
10.40 ∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴EF是△ABD的中位线,
∴EF=BD.
∵EF=5,∴BD=10.
∵四边形ABCD为菱形,∴BC=CD.
又∵∠C=60°,
∴△CBD为等边三角形,∴BC=BD=10,
∴菱形ABCD的周长=4×10=40.
11.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB.
∵AE⊥BC,CF⊥AB,
∴∠CFB=∠AEB=90°.
又∠B=∠B,∴△AEB≌△CFB(AAS),
∴BE=BF,
∴AB-BF=CB-BE,
即AF=CE.
12.解:设AE=5x,则BE=12x.
∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB==13x.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AB=13x.
∵EC=BC-BE=x=2,
∴BC=26,
∴菱形ABCD的周长=4BC=104.
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠COD=90°.
∵CE∥OD,DE∥OC,
∴四边形OCED是平行四边形.
又∵∠COD=90°,
∴平行四边形OCED是矩形.
(2)4
[素养提升]
解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO,BO⊥AC,
∴BO是线段AC的垂直平分线.
又∵E是BO上的一个动点,∴CE=AE.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴∠ABD=∠CDB=30°,∠BCD=120°,
∴∠ACD=60°.
∵CE=AE,
∴∠OCE=∠OAE.
设∠OCE=α,则∠OAE=α,∠AEO=90°-α,
∴∠DEF=120°-(90°-α)=30°+α,
∴∠EFC=∠CDE+∠DEF=60°+α.
∵∠ECF=∠DCO+∠OCE=60°+α,
∴∠ECF=∠EFC,∴CE=EF,∴AE=EF.
∵AB=4,∠ABE=30°,
∴在Rt△ABO中,AO=AB=2.
∵OA
∴AE的长的整数值为3,
∴线段EF长的整数值为3.