[矩形的性质]
一、选择题
1.(2021长沙期中)如图,公路AC,BC互相垂直,M为公路AB的中点.为测量湖泊两侧C,M两点间的距离,若测得AB的长为5 km,则C,M两点间的距离为 ( )
A.2.5 km B.3 km C.4.5 km D.5 km
2.关于矩形的对角线,有下列甲、乙两种说法:
甲:矩形的对角线互相平分;乙:矩形的对角线相等.
对于这两种说法,下列判断正确的是 ( )
A.甲、乙均正确 B.甲错误,乙正确
C.甲正确,乙错误 D.甲、乙均错误
3.如图,证明矩形的对角线相等,已知:四边形ABCD是矩形.求证:AC=BD.以下是排乱的证明过程:①∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°;②又∵BC=CB;③∵四边形ABCD是矩形;④∴AC=DB;⑤∴△ABC≌△DCB.则证明步骤正确的顺序是 ( )
A.③①②⑤④ B.②①③⑤④ C.②⑤①③④ D.③⑤②①④
4.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,M,N分别为AB,AO的中点.若MN=2,则AC的长为 ( )
A.2 B.4 C.4 D.8
5.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点.若EF=2,则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,AB=3,AC=5,则△AOD的周长是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
7.如图,一根木棍AB斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行,则在此滑动过程中,点P,O间的距离 ( )
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
8.如图,在一张长为8 cm,宽为6 cm的矩形纸片ABCD上,要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形,等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合,其余的两个顶点都在矩形的边上,则这个等腰三角形的剪法有 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
二、填空题
9.要在广场上布置一个矩形花坛,计划用几盆花摆成两条对角线,如图一条对角线用了20盆花,那么还需要运来 盆花.
10.如图,矩形OABC的顶点B的坐标为(3,2),则对角线AC= .
11.(2021北京房山区模拟)如图,O是矩形ABCD的对角线BD的中点,E是BC的中点,连接OA,OE.若OA=2,OE=1,则矩形ABCD的面积为 .
12.如图,E是矩形ABCD内任一点,若AB=4,BC=7,则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题
13.如图,在矩形ABCD中,E是CD边的中点.求证:AE=BE.
14.如图所示,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD交AB的延长线于点E,AC与CE相等吗 为什么
[探究题] 已知P是Rt△ABC的斜边AB上一动点(不与点A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图①,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 ,QE与QF的数量关系是 ;
(2)如图②,当点P在线段AB上且不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图③,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,(2)中的结论是否仍然成立 请画出图形并给予证明.
答案
1.A 2.A
3.A ∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°.
又∵BC=CB,
∴△ABC≌△DCB,∴AC=DB.
故证明步骤正确的顺序是③①②⑤④.
4.D ∵M,N分别为AB,AO的中点,
∴MN是△ABO的中位线,
∴BO=2MN=4.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD=2BO=8.
5.B 如图,连接AF.
∵AB=AD,F是BD的中点,∴AF⊥BD.
∵在Rt△ACF中,∠AFC=90°,E是AC的中点,EF=2,
∴AC=2EF=4.
6.C
7.B 在木棍滑动的过程中,点P,O间的距离不发生变化.
理由:连接OP.
∵∠AOB=90°,P为AB的中点,
∴OP=AB,
即在木棍滑动的过程中,点P,O间的距离不发生变化,永远是AB.
8.C ①当∠A为顶角时,如图①,此时AE=AF=5 cm.
②当∠A为底角时,有以下两种情况:如图②,图③,
此时AE=EF=5 cm.
综上所述,有3种剪法.
9.20
10. 如图,连接AC,BO.
∵点B的坐标为(3,2),
∴OB==.
∵四边形OABC是矩形,
∴AC=OB=.
11.4 ∵O是BD的中点,E是BC的中点,
∴OE是△BCD的中位线,
∴OE=DC.
∵OE=1,
∴DC=2.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=2,∠BAD=90°.
∵OA=2,∴BD=2OA=4,
∴AD===2,
∴矩形ABCD的面积=AD·AB=2×2=4.
12.14 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=7.
设两个阴影三角形的底边AD,BC上的高分别为h1,h2,则h1+h2=AB,
∴S△EAD+S△ECB=AD·h1+BC·h2=AD(h1+h2)=AD·AB=矩形ABCD的面积=×7×4=14.
13.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠D=∠C=90°.
∵E是CD边的中点,∴DE=CE,
∴△ADE≌△BCE(SAS),∴AE=BE.
14.解:AC=CE.
理由:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AB∥CD.
又∵CE∥BD,∴四边形BECD是平行四边形,
∴BD=CE,∴AC=CE.
[素养提升]
解:(1)AE∥BF QE=QF
(2)QE=QF.
证明:如图①,延长FQ交AE于点D.
∵AE⊥CP,BF⊥CP,
∴AE∥BF,∴∠DAQ=∠FBQ.
在△FBQ和△DAQ中,
∴△FBQ≌△DAQ(ASA),∴QF=QD.
∵AE⊥CP,
∴EQ是Rt△DEF的斜边DF上的中线,
∴QE=QF.
(3)(2)中的结论仍然成立.
证明:当点P在线段BA的延长线上时,如图②,延长EQ,FB相交于点D.
∵AE⊥CP,BF⊥CP,
∴AE∥BF,∴∠AEQ=∠D.
在△AQE和△BQD中,
∴△AQE≌△BQD(AAS),∴QE=QD.
∵BF⊥CP,
∴FQ是Rt△DEF的斜边DE上的中线,
∴QE=QF.
当点P在线段AB的延长线上时,证法同上.[矩形的判定]
一、选择题
1.在数学活动课上,老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形,下面是某合作学习小组的四名同学拟定的方案,其中正确的是 ( )
A.测量其中三个角是否都为直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相平分
2.如图,已知四边形ABCD为平行四边形,要使四边形ABCD为矩形,则可添加的条件为 ( )
A.AB=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AC平分∠BAD
3.如图,已知在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=40°,要使四边形ABCD成为矩形,则∠OBC的度数为 ( )
A.35° B.30° C.25° D.20°
4.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线与AC,AB分别交于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.4
5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,P是BC边上的一点,作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,则EF的最小值是 ( )
A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5
二、填空题
6.如图,直角∠AOB内的任意一点P,到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形OBPC的周长为 .
7.如图,为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子测量其对角线AC,BD的长度.若二者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直,请你说出其中的数学原理: .
8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4 cm,AD>AB,CD=5 cm,点P从点C出发沿边CB以1 cm/s的速度向点B运动, s后四边形ABPD是矩形.
9.如图,在矩形ABCD中,过对角线BD上任一点K作MN∥AD,与AB,DC分别交于点M,N,作PQ∥AB,与AD,BC分别交于点P,Q,则图中面积相等的矩形共有 对.
三、解答题
10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=5,BC=12,AC=13.
求证:四边形ABCD是矩形.
11.如图,在△ABC中,AC=BC,CD⊥AB于点D,四边形DBCE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.
12.已知:如图,在 ABCD中,BA=BD,M,N分别是AD和BC的中点.
求证:四边形BMDN是矩形.
[探究题] 如图,以△ABC(∠BAC≠60°)的三边为边在BC的同一侧作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF.请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形
(3)为什么题中有条件∠BAC≠60°
答案
1.A 2.B 3.D
4. A ∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点,
∴DF是△ABC的中位线,∴DF∥BC,
∴∠C=∠ADF=90°.
又∵∠E=∠CDE=90°,
∴四边形BCDE是矩形.
∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4,
∴AC==2,∴DC=,
∴四边形BCDE的面积为2×=2.
5.C 用“三直角法”判定四边形AEPF是矩形.连接AP,由矩形的性质,得AP=EF,则可以将问题转化为AP何时有最小值.因为垂线段最短,所以当AP垂直于BC时,AP有最小值.先用勾股定理求出BC=5,再利用等面积法,可求得垂线段AP===2.4.
6.12
7.对角线相等的平行四边形是矩形,矩形的四个角都是直角
8.3 因为AD∥BC,AB⊥BC,
所以∠A=∠B=90°,
所以当DP⊥BC时,四边形ABPD是矩形.
此时AB=DP=4 cm,CD=5 cm.
在Rt△DPC中,CP===3(cm),
所以3 s后四边形ABPD是矩形.
9.3 矩形AMKP与矩形KQCN,矩形ABQP与矩形MBCN,矩形AMND与矩形PQCD的面积相等.
10.证明:∵AB∥CD,∠BAD=90°,
∴∠ADC=90°.
∵AB=5,BC=12,AC=13,
满足132=52+122,即AC2=AB2+BC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°.
∵∠B=∠BAD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
11.证明:∵AC=BC,CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,AD=BD.
∵四边形DBCE是平行四边形,
∴EC∥BD,EC=BD,
∴EC∥AD,EC=AD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
12.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵M,N分别是AD和BC的中点,
∴DM=AD,BN=BC,∴DM=BN.
又∵DM∥BN,∴四边形BMDN是平行四边形.
∵BA=BD,M是AD的中点,
∴BM⊥AD,∴∠BMD=90°,
∴四边形BMDN是矩形.
[素养提升]
解:(1)四边形ADEF是平行四边形.
理由:∵△ABD,△BCE是等边三角形,
∴AD=DB=AB,BC=BE=EC,∠DBA=∠EBC=60°,
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA,
∴∠DBE=∠ABC.
在△DBE和△ABC中,
∴△DBE≌△ABC,∴DE=AC.
∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF,
∴DE=AF.
同理可证:AD=EF,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)由(1)可知,∠DAB=∠FAC=60°.
∵四边形ADEF是矩形,∴∠DAF=90°,
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°,
∴当△ABC中∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
(3)当∠BAC=60°时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.
理由如图下:
若∠BAC=60°,则∠DAF=360°-∠BAC-∠DAB-∠FAC=360°-60°-60°-60°=180°,
∴此时A,D,E,F四点共线,
∴以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.
