[一次函数与一元一次方程(不等式)]
一、选择题
1.如图所示,已知A(-1,2)是一次函数y=kx+b(k≠0)图象上的一点,则关于x的方程kx+b=2的解是( )
A.x=2 B.x=-1 C.x=0 D.无法确定
2.若关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解是x=-2,则函数y=ax+b的图象不可能是 ( )
3.若关于x的方程kx-b=5(k≠0)的解为x=2,则直线y=kx-b一定经过点 ( )
A.(2,0) B.(0,5) C.(2,5) D.(5,2)
4.一次函数y=ax+b(a≠0)的图象如图所示,则不等式ax+b≥0的解集是 ( )
A.x≥2 B.x≤2 C.x≥4 D.x≤4
5.若一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象经过点A(0,-1),B(1,1),则关于x的不等式kx+b>1的解集为 ( )
A.x<0 B.x>0 C.x<1 D.x>1
6.(2021鄂州)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=2x-1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知,关于x的不等式2x-1>kx+b的解集是 ( )
A.x<2 B.x<3 C.x>2 D.x>3
7.如图所示,l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系,l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系,当该公司盈利(收入大于成本)时,销售量 ( )
A.小于4吨 B.大于4吨 C.小于3吨 D.大于3吨
8.如图所示,函数y1=|x|和y2=x+的图象相交于(-1,1),(2,2)两点.当y1>y2时,x的取值范围是 ( )
A.x<-1 B.-12 D.x<-1或x>2
9.若一次函数y=kx-b(k≠0)的图象如图所示,则关于x的不等式k(x-3)-b>0的解集为 ( )
A.x<2 B.x>2 C.x<5 D.x>5
二、填空题
10.如图,若一次函数y=-2x+b的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,点A的坐标为(0,3),则不等式-2x+b>0的解集为 .
11.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,从图中可以看出,方程kx+b=0的解是x= ;方程kx+b=-1的解是x= .
12.已知直线y=ax-b(a≠0)如图所示,则关于x的方程ax-1=b的解为 .
三、解答题
13.已知一次函数y=-x+3,画出它的图象,并根据图象求:
(1)方程-x+3=0的解;
(2)不等式-x+3<0的解集;
(3)不等式-x+3>0的解集.
14.根据中信息解答下列问题:
(1)关于x的不等式ax+b>0的解集是 ;
(2)关于x的不等式mx+n<1的解集是 ;
(3)当x为何值时,y1≤y2
(4)当x为何值时,0[实际应用题] 如图①所示,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶.图②是客车、货车离C站的路程y1,y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系图象.
(1)填空:A,B两地相距 km;
(2)求2 h后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式;
(3)客、货两车何时相遇
答案
1.B
2.B 因为方程ax+b=0的解是x=-2,
所以直线y=ax+b经过点(-2,0).
观察图象可知,选项B的图象不经过点(-2,0).
故选B.
3.C 4.B
5.D 如图,易得当kx+b>1时,x>1.
故选D.
6.C
7.B 当销售收入大于销售成本时,公司盈利,此时x>4.故选B.
8.D 9.C 10.x< 11.-4 -2
12.x=4 方程ax-1=b变形得ax-b=1,故方程ax-1=b的解就是当y=1时,函数y=ax-b对应的自变量的值,应为x=4.
13.解:图象如图所示.
由图象可知:
(1)方程-x+3=0的解是x=2.
(2)不等式-x+3<0的解集是x>2.
(3)不等式-x+3>0的解集是x<2.
14.解:(1)因为直线y2=ax+b与x轴的交点坐标是(4,0),所以当x<4时,y2>0,即关于x的不等式ax+b>0的解集是x<4.故答案是x<4.
(2)因为直线y1=mx+n与y轴的交点坐标是(0,1),所以当x<0时,y1<1,即关于x的不等式mx+n<1的解集是x<0.故答案是x<0.
(3)当x≤2时,y1≤y2.
(4)当2[素养提升]
解:(1)420
(2)由题图②可知货车的速度为60÷2=30(km/h),
货车到达A地一共需要=14(h),
则P(14,360).
当2把(2,0),(14,360)分别代入,得 解得
所以y2=30x-60(2(3)设y1=mx+n(m≠0).
把(6,0),(0,360)分别代入,
得
解得
所以y1=-60x+360(0≤x≤6).
由图象及y1=y2,得30x-60=-60x+360,
解得x=.
答:客、货两车经过 h相遇.[一次函数与二元一次方程(组)]
一、选择题
1.将方程x+3y=7全部的解写成坐标(x,y)的形式,那么用全部的坐标描出的点都在下列哪条直线上 ( )
A.y=x- B.y=x+ C.y=-x+ D.y=-x-
2.如图,直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x-y=2的解的是 ( )
3.已知直线y=2x与y=-x+b的交点的坐标为(1,a),则方程组的解是 ( )
A. B. C. D.
4.(2020济宁)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,关于x的方程x+5=ax+b的解是 ( )
A.x=20 B.x=5 C.x=25 D.x=15
5.小亮用图象法解二元一次方程组时,在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象,如图所示,则他解的这个方程组是 ( )
A. B.
C. D.
6.无论m为何实数,直线y=2x+m与直线y=x-4的交点不可能在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、填空题
7.一次函数y=2x-1与y=2x+3的图象是两条 的直线,因此方程组的解的情况是 .
三、解答题
8.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).
(1)b= ;
(2)不解关于x,y的方程组请你直接写出它的解;
(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P 请说明理由.
9.如图,直线l1:y=-x+4与y轴交于点A,与直线l2:y=x+交于点B,且直线l2与x轴交于点C,求△ABC的面积.
10.如图,l1,l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费,单位:元)与照明时间x(单位:h)的函数图象.假设两种灯的使用寿命都是2000 h,照明效果一样.
(1)根据图象分别求出l1,l2的函数解析式;
(2)当照明时间为多少时,两种灯的费用相等
(3)小亮房间计划照明2500 h,他买了一个白炽灯和一个节能灯,请你帮他设计出最省钱的用灯方法(直接给出答案,不必写出解答过程).
[建模思想] 经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米的时候就会造成交通堵塞,此时车流速度为0千米/时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/时.经研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;
(2)在某一交通时段,为使大桥上的车流速度大于60千米/时且小于80千米/时,应把大桥上的车流密度控制在什么范围内
答案
1.C 2.B 3.A 4.A 5.D
6.B 直线y=x-4经过第一、三、四象限,则其与直线y=2x+m的交点不可能在第二象限.
7.平行 无解 因为k1=k2=2,
所以直线y=2x-1与直线y=2x+3平行.
因为两平行直线无交点,
所以方程组无解.
8.解:(1)2
(2)由(1)得P(1,2),
所以关于x,y的方程组的解为
(3)直线l3:y=nx+m也经过点P.理由如图下:
因为直线y=mx+n经过点P(1,2),
所以m+n=2.
当x=1时,y=nx+m=n+m=2,
所以直线y=nx+m也经过点P.
9.解:易知A(0,4),C(-1,0).
设直线AB交x轴于点D,则D(3,0).
解方程组得则B,2.
所以S△ABC=S△ACD-S△BCD=×4×4-×4×2=4.
10.解:(1)设l1的函数解析式为y=k1x+2(k1≠0),由图象得17=500k1+2,解得k1=0.03,所以l1的函数解析式为y=0.03x+2(0≤x≤2000).
设l2的函数解析式为y=k2x+20(k2≠0),
由图象得26=500k2+20,解得k2=0.012,
所以l2的函数解析式为y=0.012x+20(0≤x≤2000).
(2)根据题意,得0.03x+2=0.012x+20,
解得x=1000.
所以当照明时间为1000 h时,两种灯的费用相等.
(3)最省钱的用灯方法:节能灯使用2000 h,白炽灯使用500 h.
[素养提升]
解:(1)由题意,设当20≤x≤220时,v=kx+b(k≠0).
由题意得,当x=20时,v=80;当x=220时,v=0,所以解得
所以当20≤x≤220时,v=-x+88.
把x=100代入v=-x+88,得v=48,
即大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/时.
(2)当20≤x≤220时,v=-x+88,此时0≤v≤80.
当v>60,即-x+88>60时,解得x<70,
当v<80,即-x+88<80时,解得x>20,
所以20所以应把大桥上的车流密度控制在大于20辆/千米且小于70辆/千米范围内.
