人教A版2019必修第一册2.1 等式性质与不等式性质 学案（Word版含答案）

第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
【考点梳理】
考点一　比较大小的方法
依据 如果a>b a－b>0. 如果a＝b a－b＝0. 如果a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
考点二　重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
考点三一　等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
考点四二　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
【题型归纳】
题型一：以知条件判断所给不等式的大小
1．若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：作差法或作商法比较不等式的大小
4．已知，且，那么（ ）
A． B．
C． D．与的大小随变化而变化
5．设，则有（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则与的大小关素是（ ）
A． B． C． D．无法确定
题型三：由不等式性质证明不等式
7．设，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．设，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
9．若a，b∈R，①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|＞b，则a2＞b2；③a+b≥2，其中说法正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型四：利用不等式求取值范围
10．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一：单选题
13．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋c≥b－c B．ac>bc
C． >0 D．(a－b)c2≥0
14．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是（ ）
①a＜b＜0 a2＜b2；②＜c a＜bc；
③ac2＞bc2 a＞b；④a＜b＜0 ＜1.
A．0 B．1
C．2 D．3
16．已知－3A．(1，3) B． C． D．
17．设A＝，B＝，则A与B的大小关系是（ ）
A．AB
C．仅有x>0时，A18．若，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
19．下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc
C．若，则a=b D．若x=y，则
20．若，设，，则（ ）
A． B． C． D．
21．若，，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
22．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则．
【双基达标】
23．已知，，满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．，
24．已知，，记，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
25．若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
26．设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
28．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
29．下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
30．已知，则（ ）
A． B． C． D．
31．设a，b，m均为正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．与的大小随m变化而变化
32．已知的三边长分别为、、，有以下4个命题：
（1）以、、为边长的三角形一定存在；
（2）以、、为边长的三角形一定存在；
（3）以、、为边长的三角形一定存在；
（4）以、、为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
33．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，则 D．若，则
34．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
35．已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若则
36．已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
37．设，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
38．已知，，满足，且，则下列不等式中恒成立的有（ ）
A．， B． C． D．
39．下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
三、填空题
40．已知，则、的大小关系为________．
41．若，则的取值范围为________；
42．设，则的取值范围是________（取值范围写成区间形式）
43．设，，则，的大小关系为_______.
44．已知均为实数，有下列命题①若，，则；②若，，则；③若，，则．其中正确的命题有_________．
四、解答题
45．比较大小.
（1）比较与的大小；
（2），，比较与的大小.
46．（1）已知，求的取值范围；
（2）比较两个代数式与的大小．
47．（1）若，，求，的取值范围；
（2）已知，满足，，求的取值范围．
48．（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
【答案详解】
1．D
【详解】
解：因为，所以有，所以，A正确；
又，所以，B正确；，C正确；，但正负未知，若，则不成立，故D错误.
故选：D
2．C
【详解】
A：当时，没有意义，所以本选项不一定成立；
B：当时，显然，但是不成立，所以本选项不一定成立；
C：，因为，所以，因此本选项一定成立；
D：当时，显然，但是不成立，所以本选项不一定成立，
故选：C
3．D
对于A：由，可取，则，当时，有.故A错误；
对于B：由，可取，则，当时，有.故B错误；
对于C：由，可取，则，当时，.故C错误；
对于D：因为，所以，因为 ，所以.故D正确.
故选：D.
4．A
由，
因为，，所以，所以，
即，所以.
故选：A.
5．A
因为，，
所以，
所以，
故选：A.
6．B
【详解】
由题意得， ，又因为，则
，
故选：B.
7．D
【详解】
当时，不成立，故A错误；
当时，不成立，故B错误；
当时，不成立，故C错误；
，由不等式性质知，故D正确.
故选：D
8．B
【详解】
根据不等式的性质由且能推出 ；
当，时，有 而，
则“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B．
9．A
解：，时，得出，判断①错误；
，且时，得出，判断②错误；
只有，时，成立，判断③错误．
故选：．
10．C
【详解】
，，
故选：C
11．A
【详解】
因为，
可得，
所以，
即；
故选：A.
12．B
解：令，，则，
则，
，
，
又，
，
∴，
故选：B．
13．D
【详解】
解：由，，，且，可取，，，可得，故错误；
由，可得，故错误；
由，，，可得，故错误；
由，可得，，即有，故正确．
故选：．
14．D
【详解】
由可得，利用完全平方可得
所以，由可得，
，，
综上，
故选：D
15．C
【详解】
①不正确．因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，
所以(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.
②不正确．因为＜c，若b＜0，则a＞bc.
③正确．因为ac2＞bc2，所以c≠0，所以a＞b.
④正确．因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，所以1＞＞0.
故选：C.
16．A
【详解】
因为－317．D
【详解】
A－B＝－＝，令A－B<0，得x<－4或x>－2，令A－B>0，得－4故选：D
18．B
【详解】
解：对选项A：因为，所有由倒数法则有，故选项A正确；
对选项B：取，满足，但，故选项B不正确；
对选项C：因为，所以，由不等式的性质有成立，故选项C正确；
对选项D：因为，所以，即，故选项D正确；
故选：B.
19．D
【详解】
对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确；
对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确；
对于选项C，由等式的性质知，若，则a=b，C正确；
对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则的前提条件为a≠0，D错误．
故选：D
20．A
【详解】
因为，则，，
所以，
，
因此，.
故选：A.
21．D
【详解】
解：对于，若，则，故错误；
对于，取，，则，故错误．
对于，若时，，故错误；
对于，因为，所以，又，所以，故正确；
故选：．
22．A
【详解】
对于A：因为，所以，所以.故A正确；
对于B：取满足，但.故B不正确；
对于C：取，则，不成立.故C不正确；
对于D：取，则，有，不成立.故D不正确.
故选：A
23．A
【详解】
因为，且，所以，D一定成立；
对于A，因为，若，则， A不一定成立；
对于B，因为，所以 ，B一定成立；
对于C，因为，所以，C一定成立．
故选：A．
24．B
【详解】
解：由题意得，，所以、，
所以，故．
故选：B．
25．B
【详解】
若，则，
所以，由，得，
则，故B正确.
故选：B.
26．D
【详解】
令，，所以ABC选项错误；
，
所以，所以D选项正确.
故选：D
27．B
【详解】
解：对于A，若，则，此时，所以A错误；
对于B，因为，，所以，所以B正确；
对于C，若，则，此时，所以C错误；
对于D，若，则，此时，所以D错误，
故选：B
28．B
【详解】
，，
又，即，
又、、均为正数，所以，.
故选：B.
29．D
：当c=0，不等式不成立，故错；
：当a=2，b=1，c=-2，d=-1时，，故错；
：若a=1，b=0，c=1，d=0，可得a-c=b-d，故错.
：因为ab>0，a>b，两边同时除以ab可得，故正确
故选：
30．C
【详解】
因为，
所以，当且仅当，时取等号，
故选：C．
31．C
由，
因为，且为正数，可得，所以，
即，所以.
故选：C.
32．B
【详解】
的三边长分别为、、，不妨设，则，
对于（1）： ，所以，所以以、、为边长的三角形一定存在；故（1）正确；
对于（2）：不一定成立，因此以、、为边长的三角形不一定存在；故（2）不正确；
对于（3）：，因此以、、为边长的三角形一定存在；故（3）正确；
对于（4）： 取，，因此、、，能构成一个三角形的三边，而，因此以、、为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，
所以正确的命题有个，
故选：B
33．BC
解：对于A，若，则当时，，所以A错误，
对于B，因为，所以，因为，所以，所以，所以B正确，
对于C，因为，，所以，所以，所以C正确，
对于D，当时，，所以D错误，
故选：BC
34．BC
对于选项A：取，易知A不正确；
对于选项B：，又，所以，即选项B正确；
对于选项C：若，则，所以，即选项C正确；
对于选项D：取，则满足，但不满足，所以D错误．
故选：BC．
35．BC
若，，则，故A错误；
若，，则，化简得，故B正确；
若，则，又，则，故C正确；
若，，，，则，，，故D错误；
故选：BC．
36．ABC对于A项，，故A正确；
对于B项，，结合可得，故B正确；
对于C项，，，即，故C正确；
对于D项，当时，，故D错误；
故选：ABC
37．BCD
解：对于A：当时满足，但是，故A错误；
对于B：因为为偶函数，在上单调递增，故在上单调递减，因为，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，即，因为，所以，，所以，故C正确；
对于D：因为，所，当且仅当，即时取等号，故D正确；
故选：BCD
38．AB
解：，且，
，，故A成立；
所以
由，所以恒成立，故B成立；
对于C：若，，则，故C错误；
对于D：若，，故D错误；
故选：．
39．BD
A错误，，则，
B正确，由得，又，故成立，
C错误，由得，又，则，
D正确，由得，又，故，
即成立.
故选：BD.
40．
因为，，
所以
当且时，等号成立，
所以
故答案为：.
41．
【详解】
解：因为，
所以，，
所以，所以，
所以
故答案为：
42．
【详解】
解：由，得，
所以，所以，即，
因为，所以，即，
所以的取值范围是，
故答案为：
43．
【详解】
，两式的两边分别平方，
可得，，
显然.
所以.
故答案为：
44．①②③
【详解】
解：若，，∴－＝，故①正确；
若，，则，，，故②正确；
若，，则，即，
∴，则，即，∴，故③正确．
故答案为：①②③．
45．（1）；（2）.
（1）因为，
又，
所以，
所以；
（2）因为，
又，，
所以，
所以.
46．（1）；（2）.
解：（1），则，得
又
故；
（2），
.
47．（1）， ；（1）.
（1）因为，所以，
因为，所以，
所以，；
所以的取值范围是；的取值范围是；
（2）设，
则，
解得，
所以，
又因为，，
所以，
所以的取值范围是
48．
证明：（1）因为，，所以，。
所以，
故得证；
（2）由不等式的性质知，，
所以，
又因为根据（1）的结论可知，，
所以.
所以.
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