人教A版2019必修第一册3.1 函数的概念及其表示 学案（Word版含答案）

函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
【考点梳理】
考点一：函数的有关概念
函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法 y＝f(x)，x∈A
定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域 函数值的集合叫做函数的值域
考点二：同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
考点三：区间
1．区间概念(a，b为实数，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.其他区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
考点四：　函数的表示方法
考点五：　分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
【题型归纳】
题型一：函数定义的判断
1．（2020·佛山市南海区里水高级中学高一月考）设集合 .下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（ ）
①②③④
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．（2021·全国）下列集合A到集合B的对应f是函数的是（ ）
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
3．（2021·全国高一课时练习）下列图形可表示函数图象的只可能是（ ）
A．B．C． D．
题型二：区间的表示
4．（2020·宾县第一中学高一期中）集合用区间表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）已知集合，，则写成区间形式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·全国高一课时练习）下列四个区间能表示数集或的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：具体函数的定义域
7．（2021·咸丰春晖学校高一月考）已知函数f(x)=+.则该函数的定义域为（ ）
A．[2，+). B．[2，3). C．(2，+) D．[2，3)（3，+）
8．（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国高一课时练习）函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
题型四：已知函数的定义域求参数范围
10．（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）已知函数f(x)=的定义域是一切实数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·宾县第一中学）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．
C． D．
12．（2020·邹城市第一中学）命题“”是命题“函数的定义域为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型五：复杂（根式、分式）函数的值域
13．（2019·长沙市南雅中学高一月考）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国高一课时练习）函数（）的值域为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全国高一专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
题型六：已知函数类型求解析式（待定系数法）
16．（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知是一次函数，，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2020·全国高一单元测试）设函数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2019·甘肃武威·高一月考）已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
题型七：换元法求函数解析式
19．（2021·全国高一专题练习）若函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·全国高一专题练习）设函数，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·广东高一单元测试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型八：抽象函数求解析式（组方程法）
22．（2020·浙江高一单元测试）已知，则　　
A． B． C． D．
23．（2019·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
24．（2020·全国高一课时练习）已知函数满足，则的值为
A． B． C． D．
题型九：函数相等问题
25．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
26．（2020·黔西南州同源中学高一期中）下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（ ）
① ② ③
A．① B．② C．③ D．以上都不是
27．（2021·云南昭通市·高一期末）下列各组函数中为同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型十：分段函数中的问题
28．（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高一月考）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．1
29．（2021·全国高一课时练习）已知函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
30．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）设函数若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
一、单选题
31．（2021·陕西省黄陵县中学高一月考）下列两个变量之间的关系中，是函数关系的是（ ）
A．学生的性别与他的数学成绩 B．人的工作环境与健康状况
C．女儿的身高与父亲的身高 D．正三角形的边长与面积
32．（2020·黔西南州同源中学高一期中）函数，若，则（ ）
A．1 B．1或 C．或 D．
33．（2020·金华市云富高级中学高一月考）函数的值域是（ ）.
A．（﹣∞，2] B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．[0，2]
34．（2020·金华市云富高级中学高一月考）下列函数中表示同一函数的是（　　）.
A．y=与y=（） B．y=与y=
C．y= 与y=· D．y=与y=
35．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）下列四个图像中，是函数图像的是（ ）
A．（1） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
36．（2020·红桥区·天津三中高一月考）函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
37．（2021·江西宜春市·丰城九中高一月考）已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
38．（2021·全国高一课时练习）已知函数，则不等式≥2x的解集是（ ）
A． B．（－∞，0] C． D．（－∞，2）
39．（2021·全国高一单元测试）若函数y＝f(x)的定义域是[0，2020]，则函数的定义域是（ ）
A．[－1，2019] B．[－1，1)∪(1，2019]
C．[0，2020] D．[－1，1)∪(1，2020]
【高分突破】
一：单选题
40．（2021·全国）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2
D．f（x）＝和g（x）＝
41．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
42．（2020·金华市云富高级中学高一月考）已知f（x）=，则f（3）为（　　）
A．3 B．4 C．1 D．2
43．（2020·佛山市南海区里水高级中学高一月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
44．（2020·佛山市南海区里水高级中学高一月考）函数的图象如图所示，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
45．（2020·四川省蒲江县蒲江中学）在下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，，，
B．，
C．，
D．，
46．（2020·浙江省普陀中学高一月考）函数的定义域是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
47．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知则的值为（ ）
A． B．2 C．7 D．5
48．（2021·上海市行知中学高一月考）与命题“函数的定义域为”等价的命题不是（ ）
A．不等式对任意实数恒成立
B．不存在，使
C．函数的值域是的子集
D．函数的最小值大于0
二、多选题
49．（2021·全国）关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点
50．（2021·全国高一专题练习）（多选）下列四组函数都表示同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
51．（2021·全国高一专题练习）(多选)已知函数 则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．
C．若，则的值是 D．的解集为
52．（2021·广东高一单元测试）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为 B．的定义域为
C． D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立
三、填空题
53．（2021·人大附中北京经济技术开发区学校高一期末）函数的定义域是__________.
54．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）设函数．则___________．
55．（2021·江苏高一课时练习）函数的定义域为，则实数的取值范围为______.
56．（2021·全国高一单元测试）已知，函数．若，则________．
四、解答题
57．（2020·河北承德第一中学高一月考）已知函数．
（1）画出函数在区间上的图象；
（2）写出函数在区间上的单调区间、最值．
58．（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）若函数对于一切恒成立，则求实数的取值范围.
59．（2020·河北承德第一中学高一月考）（1）已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f（x）的解析式;
（2）已知一次函数f（x）满足f(f（x）)＝4x＋6，求f（x）的解析式；
（3）已知f(＋1)＝x＋2，求f（x）的解析式．
60．（2020·石家庄市第十八中学高一月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）求证：是定值．
61．（2020·宾县第一中学）已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为集合B.
（1）求集合A和集合B；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案详解】
1．C
【详解】
由题意知：M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，
对于图①中，在集合M中区间（1，2]内的元素没有象，比如f（1.5）的值就不存在，所以图①不符合题意；
对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；
对于图③中，集合M中有些变量没有函数值与之对应，故③不符合题意；
对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x＝1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确
故选：C．
2．A
【详解】
选项A中，集合A中的每一个元素平方后在集合B中有唯一的元素与其对应，所以选项A符合函数定义，
选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；
选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；
选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义.
故选：A
3．D
【详解】
由函数概念，只有“一对一”或“多对一”对应，才能构成函数关系, 从图象上看，任意一条与x轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点，但只要与图象有两个交点就不是函数，
故选：D.
4．B
【详解】
解：集合或用区间表示为：.
故选：B.
5．C
【详解】
由题：将集合写成区间形式：，，
所以.
故选：C
6．B
【详解】
根据区间的定义可知数集或可以用区间表示.
故选B.
7．D
【详解】
由题意，解得且．所以该函数的定义域为[2，3)（3，+），
故选：D．
8．B
【详解】
由题意得，解得且，
所以函数的定义域为，
故选：B
9．C
【详解】
，解得
即函数的定义域
故选：C
10．D
【详解】
由函数f(x)＝的定义域为一切实数，即在上恒成立，
当m=0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则，解得.
综上可得，
故选：D.
11．C
【详解】
函数的定义域是，
即恒成立；
当时，，满足题意；
当时，，解得；
综上知，实数的取值范围是，．
故选：．
12．A
【详解】
若函数的定义域为，则有恒成立
当时成立，当时，，解得
所以
所以命题“”是命题“函数的定义域为”的充分不必要条件
故选：A
13．C
【详解】
由得，得，
设，则，
所以，即函数的值域是.
故选：C
14．A
【详解】
，由于，∴，，，
于是，故函数的值域为.
故选：A.
15．C
【详解】
令,则，
当时，，
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，
综上，
故选：C
16．B
【详解】
由题意，设函数，
因为，可得，解得，
所以.
故选：B.
17．D
【详解】
由题意可知，
所以 ，解得：，，
所以.
故选：D
18．A
【详解】
设,因为,所以.
又,所以有
,解得
.
故选：A
19．A
【详解】
令，得，所以，
从而.
故选：A.
20．B
令，则可得
所以，所以
故选：B
21．C
【详解】
令，，则，
由得，，，
即，.
故选：C.
22．A
【详解】
因为，
所以，
则．
故选：A．
23．B
【详解】
因为①，
所以用替换，得 ②
由得
故选B
24．C
【详解】
由,将换成有,
即,故有
,两式相减化简得
,故.
故选C.
25．C
【详解】
A. 定义域为R，定义域为故不是同一函数；
B. 定义域为，定义域为或，故不是同一函数；
C. ，定义域为R，解析式相同，故是同一函数；
D. ，解析式不同，故不是同一函数；
故选：C
26．D
【详解】
解：对于（1），函数，与函数的定义域不同，不是同一函数；
对于（2），函数，与函数或的定义域不同，不是同一函数；
对于（3），函数，与函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：D.
27．B
【详解】
选项A, 的定义域是, 的定义域是, 两个函数对应关系不相同, 所以不是同一个函数, 选项A错误;
选项B, 的定义域是, 的定义域是, 两个函数对应关系也相同, 所以是同一个函数, 选项B正确;
选项C, 的定义域是, 的定义域是, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项C错误;
选项D, 的定义域是, 的定义域是, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项D错误.
故选：B.
28．D
【详解】
由题意，函数，可得，
所以．
故选：D．
29．D
【详解】
因为当时，的值域为，当时，的值域为，
所以函数的值域为.
故选：D
30．A
【详解】
当时，，解得：或（舍）
当时，，解得：，
综上所述：的取值范围是，
故选：A.
31．D
【详解】
此题考查两个变量的关系．
因为学生的性别与他的数学成绩无关系，故A错；
人的工作环境与健康状况有关系，但是影响健康状况的因素很多，故B错；
女儿的身高与父亲的身高有关系，但是影响女儿的身高的因素也很多，故C错；
正三角形的边长与面积存在一一对应的函数关系，故D对．
故选：D
32．D
【详解】
当时，，，舍去；
当时，，，∴；
当时，，，舍去.
故选：D.
33．D
【详解】
由，则，解得，所以函数的定义域为，
令，当时，，所以，
所以函数的值域为[0，2].故选：D
34．D
【详解】
A，y=定义域为，y=（）定义域为，定义域不同，不是同一函数；
B，y=定义域为，y=定义域为，定义域不同，不是同一函数；
C，y= 定义域为，y=·定义域为，
定义域不同，不是同一函数；
D，y=与y=定义域为，且y=，故两函数为同一函数.
故选：D
35．D
【详解】
由函数的定义可知：任意一个的值，都有唯一确定的值与之对应，所以（2）不符合，故选：D
36．C
【分析】
由判断.
【详解】
因为函数，
故选：C
37．C
【详解】
因为时，，
所以要使是的最小值，则；
又当时，（时，取等号），
所以，即，又，所以.
故选：C.
38．A
【详解】
解：当x>0时，＝－x＋2≥2x，解得3x≤2，所以0当x≤0时，＝x＋2≥2x，解得x≤2，又x≤0，所以x≤0；
综上，原不等式的解集为，
故选：A.
39．B
使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 020，解得－1≤x≤2019，
故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2019]．
所以函数g(x)有意义的条件是解得－1≤x<1或1故函数g(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2 019] ．
故选：B．
40．D
【详解】
y＝x－1的定义域为，y＝的定义域为，函数定义域不同，A错误；
y＝x0的定义域为，y＝1的定义域为，函数定义域不同，B错误；
f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2的定义域都为，但是两函数的对应关系不同，故C错误；
f（x）＝的定义域为，g（x）＝的定义域为，故D正确.
故选：D.
41．C
【详解】
由条件可知：，所以，所以定义域为，
故选：C.
42．C
【详解】
由f（x）=，
所以，
故选：C
43．A
【详解】
令 故
故选：A
44．C
【详解】
根据图象可知，函数f（x）的图象是由两条直线构成，
设f（x）＝kx+b，
当x≥0时，图象过（0，1）和（1，0）．可得f（x）＝﹣x+1，
当x＜0时，图象过（0，1）和（﹣1，0）．可得f（x）＝x+1，
∴可得f（x）在R上的解析式为f（x）＝﹣|x|+1．
故选：C．
45．D
【详解】
解：A．两个函数的定义域都为，但两个函数的解析式不相同，即对应法则不一样，故不表示同一函数；
B．的定义域为，的定义域为或，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；
C．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；
D．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，对应法则相同，故表示同一函数．
故选：D．
46．C
【详解】
要使函数有意义，只须
即，解得或，
所以定义域为或.
故选：C.
47．B
【详解】
，故选：B
48．D
【详解】
因为函数的定义域为，
不等式对任意实数恒成立；
不存在，使；
函数的值域是的子集；
函数的最小值大于等于；
故选：D.
49．BCD
【详解】
由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.
故选:BCD
50．AD
【详解】
对于选项，函数和的定义域均为，，所以选项中的两个函数为同一个函数；
对于选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以选项中的两个函数不是同一个函数；
对于选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以选项中的两个函数不是同一个函数；
对于选项，函数和的定义域均为，且，所以选项中的两个函数为同一个函数．
故选：AD
51．AC
【详解】
当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，由，解得(舍去)，当时，由，解得或(舍去)，故C正确；
当时，由，解得，当时，由，解得，因此的解集为，故D错误.
故选：AC.
52．BCD
【详解】
因为函数，所以的值城为，故A不正确；
因为函数，所以的定义城为，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，
故选：BCD.
53．
【详解】
由题可知，，解得或，所以函数的定义域是．
故答案为：．
54．3
【详解】
由题意，函数，则，
故答案为：3.
55．
【详解】
的定义域为是使在实数集上恒成立.
若时，恒成立，所以满足题意，
若时,要使恒成立,则有
解得.
综上,即实数a的取值范围是.
故答案为: .
56．0或2
【详解】
因为，所以，
可得，所以，解得：或，
故答案为：0或2.
57．
（1）因为，所以，
则函数在区间上的图象如图所示：
（2）由的图象可得，单调递增区间，；单调递减区间；最大值3，最小值-3．
58．
由条件可知：函数定义域为，即对恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围是.
59．（1）f（x）＝3x－1；（2）f（x）＝2x＋2或f（x）＝－2x－6；（3）f（x）＝x2－1(x≥1)．
（1）令，则，
则，
故；
（2）设，
则，
所以，解得或，
所以或；
（3）令，则，且，
所以，
所以函数的解析式为．
60．
（1）因为，
所以，
．
（2），是定值．
61．（1）A=，B=；（2）或.
（1）集合A：
所以.
集合：.因为
所以.
（2）因为，即,
则或.
解得：或。
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