人教A版（2019）必修第一册3.3 幂函数 课件（共29张ppt）

(共29张PPT)
3.3 幂函数
第一次给幂这个概念下定义的是我国明代著名的科学家、政治家徐光启,同时他还是一位沟通中西文化的先行者。徐光启在和意大利人利玛窦合译欧几里德《几何原本》时，给幂字下注解：“自乘之数曰幂”。
徐光启
（1562—1633）
一、新课导入
一、新课导入
写出下列y关于x的函数关系式
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元;
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2;
(3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3;
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c=
(5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v= km/s .
这5个关系式都是函数关系，它们有什么共同特征？
以上问题中的函数有什么共同特征？
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂；
（3）指数为常数；
（4）自变量前的系数为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。
　y=x
　y=x2
　y=x3
　y=x1/2
　y=x-1
二、研讨新知
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
注：(1) 为常量, .
(2) 中前面的系数为1.
(3)定义域没有固定,与 的值有关.
1.幂函数定义
二、研讨新知
2.幂函数的特征
(1)、 的系数为1
(2)、 的底数是自变量
(3)、 的指数是常数
只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.形如
等的函数不是幂函数.
二、研讨新知
2.幂函数的特征
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
(3) y= -xe
(5) y=2x2
(6) y=x3+2
(7)y=(x-1)2
二、研讨新知
2.幂函数的特征
二、研讨新知
对于幂函数y=xα,我们只研究α =1，2，3， ，-1的图像和性质.
二、研讨新知
二、研讨新知
3.幂函数的图像
x
y
o
1
1
2
2
3
3
4
4
-4
-1
-1
-2
-3
-3
-2
(1,1)
五个常用幂函数的图象：
(2,4)
(-2,4)
(-1,-1)
二、研讨新知
3.幂函数的图像
x
O
y
R
R
奇函数
增函数
二、研讨新知
3.幂函数的图像
y
x
O
奇函数
(-∞，0)单调递减
(0，+∞)单调递减
(-∞，0)∪(0，+∞)
(-∞，0)∪(0，+∞)
二、研讨新知
3.幂函数的图像
y
x
O
R
偶函数
(-∞，0)单调递减
(0，+∞)单调递增
(0，+∞)
二、研讨新知
3.幂函数的图像
y
x
O
[0,+∞)
非奇非偶函数
增函数
[0,+∞)
你能给出函数 单调性的代数证明吗？
二、研讨新知
例 证明幂函数 　 是增函数．
证明：函数的定义域为[0,+∞),任取x1,x2∈ [0,+∞),且x1＜x2,则:
注意:若给出的函数是有根号的式子,往往
采用有理化的方式.
二、研讨新知
3.幂函数的图像
y
x
O
R
R
奇函数
增函数
二、研讨新知
3.幂函数的图像









【总结】①只有 时图像才是直线；

②图像一定会出现在第一象限，
一定不会出现在第四象限；
③图像一定经过 (1,1) 这个定点；
④第一象限内 由上到下递减.

【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质.

在同一坐标系中画出函数

的图像：

二、研讨新知
3.幂函数的图像










【总结】⑤ 时，图像在定义域内上升；
⑥ 时，图像在第一象限下降；
⑦只有 时，图像才与坐标轴
相交，且交点一定为原点；
⑧ 时，图像是y=1这条直线.




【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质.

在同一坐标系中画出函数

的图像：
二、研讨新知
3.幂函数的图像
y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
奇函数
偶函数
奇
非奇非偶
奇
图象都过点(1,1)
R
R
R
{x|x≠0}
［0,+∞）
R
R
{y|y≠0}
［0,+∞）
［0,+∞）
增函数
在(-∞，0)上单调递减，
增函数
在(-∞，0]上单调递减
在［0，+∞)上单调递增
在(0，+∞)上单调递减
增函数
二、研讨新知
3.幂函数的图像
二、研讨新知
4.幂函数的性质
和 两种情况下幂函数的图像变化及性质表：
在(0，+∞)上都有定义，定义域与a的取值有关
图像过点(0，0)和点(1，1)
图像过点(1，1)
在(0，+∞)上是增函数
在(0，+∞)上是减函数
在第一象限，当0＜a＜1时，
图像上凸；当a＞1时，图像下凹
在第一象限，图像都下凹
与a的取值有关
二、研讨新知
二、研讨新知




奇函数
偶函数


奇函数
偶函数
非奇非偶函数





5.幂函数奇偶性的判断方法
二、习题讲解
二、习题讲解
二、习题讲解
二、习题讲解
二、习题讲解
二、习题讲解