人教A版2019必修第一册3.2.2 奇偶性 学案（Word版含答案）

3.2.2　奇偶性
【考点梳理】
重难点：奇偶性的概念
考点一：函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二　函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
知识点三　奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
重难点：奇偶性的应用
考点四：用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
考点五：奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
【题型归纳】
题型一：函数奇偶函数的判断
1．（2021·全国高一课时练习）下列函数为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高一专题练习）下列函数中为偶函数且在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）函数在上为奇函数，当时，，则当，（ ）
A． B． C． D．
题型二：利用奇偶性求函数的解析式
4．（2021·云南高一期末）已知奇函数y=f（x）在x≤0时的表达式为f（x）=+3x，则x>0时f（x）的表达式为（ ）
A．f（x）=+3x B．f（x）=-+3x
C．f(x)=-3x D．f（x）=--3x
5．（2021·全国高一课时练习）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．（2021·全国高一专题练习）已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x，y都成立，则函数f（x）是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
题型三：抽象函数的奇偶性问题
7．（2021·全国高一专题练习）设函数的定义域为R，对任意，有且，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
8．（2021·浙江）若是奇函数，且在区间上是增函数，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019·广东汕头市·高一期末）设函数在区间上为偶函数，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
题型四：利用奇偶性求参数
10．（2021·浙江高一单元测试）若函数为奇函数，则=（ ）
A． B． C． D．1
11．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知函数是定义在区间上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·安徽省亳州市第一中学高一月考）在R上定义的函数是偶函数，且．若在区间上是减函数，则（ ）
A．在区间上是增函数，在区间上是减函数
B．在区间上是增函数，在区间上是增函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
题型五：奇偶性函数的对称性的应用
13．（2021·全国高一专题练习）下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2021·全国高一单元测试）设函数的定义域为．且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2020·桂林市临桂区五通中学高一月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
题型六:利用函数的奇偶性与单调性解不等式
16．（2020·福建泉州市·泉州五中高一期中）已知函数.
（1）若为奇函数，求的值；
（2）证明：无论为何值，在上为增函数；
（3）解不等式：.
17．（2020·桂林市临桂区五通中学高一期中）奇函数是定义在区间上的增函数，且．
（1）求解析式；
（2）求不等式的解集．
18．（2021·全国）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对上，都有成立，求实数的取值范围.
【双基达标】
一、单选题
19．（2020·桂林市临桂区五通中学高一月考）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2021·嘉峪关市第一中学高二期中（文））已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，，则（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·云南省玉溪第一中学高二月考（理））已知是偶函数，对任意，，且，都有，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021·福建泉州市·高二期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
23．（2022·北京海淀区·中关村中学高二开学考试）已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
24．（2021·鹤庆县第一中学高一期末）定义在上的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则函数（ ）.
A．在区间 上是增函数，在区间 是减函数
B．在区间 上是增函数，在区间 是增函数
C．在区间 上是减函数，在区间 是减函数
D．在区间 上是减函数，在区间 是增函数
25．（2021·江西南昌市·高三开学考试（文））已知是定义在R上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（ ）
A．0 B． C． D．2
26．（2022·全国高三专题练习）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A． B． C． D．
27．（2021·全国高一专题练习）设定义在R上的奇函数满足对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高一月考）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【高分突破】
一：单选题
29．（2021·安徽高一月考）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2020·江苏南京市·）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，，则等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
31．（2020·如皋市第一中学高一月考）定义在上的奇函数在定义域上是单调函数，且，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．（2019·长沙市南雅中学高一月考）下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数是偶函数
C．函数是非奇非偶函数
D．函数既是奇函数又是偶函数
33．（2020·威远中学校高一月考）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且，当时，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2020·石家庄市第十七中学高一月考）某函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
35．（2020·重庆市松树桥中学校高一月考）已知函数的定义域为是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
36．（2020·张家港高级中学）设定义在R上的奇函数满足对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
37．（2020·重庆市清华中学校高一月考）下列对函数的奇偶性判断正确的是（ ）
A．是奇函数
B．是奇函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
38．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）符号表示不超过的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2，定义函数:，则下列命题正确的是（ ）
A． B．当时，
C．函数的定义域为，值域为[0，1] D．函数是增函数 奇函数
39．（2020·河北承德第一中学高一月考）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
40．（2020·浙江杭州高级中学高一月考）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
41．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
42．（2021·河北邢台市·高一月考）写出一个值域为的偶函数________．
43．（2021·黑龙江大庆市·大庆中学）若是偶函数，当时，，则的解集是________．
44．（2021·湖南）定义在上的奇函数满足，当时，，则___________.
45．（2020·成都市温江区东辰外国语学校高一月考）设函数，给出四个命题：
①是偶函数； ②是实数集上的增函数；
③，函数的图象关于原点对称； ④方程有两个解.
上述命题中，正确命题的序号是_______.（把所有正确命题的序号都填上）
四、解答题
46．（2019·广西百色市·田阳高中高一月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
47．（2020·嫩江市高级中学高一月考）已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)=-x2+ax.
（1）若a=-2，求函数f (x)的解析式；
（2）若函数f (x)为R上的单调减函数，
①求a的取值范围;
②若对任意实数m,f (m-1)+f (m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.
48．（2019·长沙市明德中学高一月考）已知定义在上的函数满足：① 对任意，，有.②当时，且.
（1）求证：；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）解不等式.
49．（2019·吴江汾湖高级中学）已知函数.
（1）若函数是偶函数，求的值；
（2）若函数在上，恒成立，求的取值范围.
50．（2020·重庆北碚·西南大学附中高一月考）已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
【答案详解】
1．D
]【详解】
A.函数是非奇非偶函数，
BC都是奇函数，
D.满足，定义域是，是偶函数.
故选:D.
2．B
【详解】
对于A，定义域为，，是偶函数，而在上递减，A不符合；
对于B，定义域为，，是偶函数，在上递增，B符合；
对于C，定义域为，不是偶函数，C不符合；
对于D，定义域为，，是奇函数，D不符合.
故选：B
3．A
【详解】
因为，所以，所以，
又因为为奇函数，所以，
所以，
故选：A.
4．B
【详解】
设，则，
所以，
因为函数为奇函数，
所以，
即 ，
所以.
故选：B
5．D
【详解】
因为，所以.又是奇函数，是偶函数，所以，
则，故.
故选：D
6．A
【详解】
令x＝y＝0，所以f（0）＝f（0）＋f（0），
所以f（0）＝0.
又因为f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0，
所以f（－x）＝－f（x），
所以f（x）是奇函数.
故选：A
7．B
【详解】
对任意，有
令，得
，
令，得，即
令，得，即函数为偶函数.
故选：B
8．A
由题意，是奇函数，所以等价于，当时，，此时在上是增函数，且，所以解得；当时，，因为是奇函数，所以解得，所以的解集为.
故选：A
9．B
【详解】
因为函数在区间上为偶函数，
所以，解得.
又为偶函数，所以，即，解得：a=-1.
所以.
故选：B
10．A
【详解】
∵为奇函数，∴，得．
故选：A.
11．B
因为函数是定义在区间上的偶函数，
所以，解得，
可化为，
因为在区间上单调递增，所以，解得.
故选：B
12．A
【详解】
由可得，所以的对称轴为，
因为函数是偶函数，所以，
由可得：，
所以，所以是周期为的周期函数，
若在区间上是减函数，根据对称性可知在上是增函数，
根据周期为可知：在区间上是增函数，在区间上是减函数，
故选：A.
13．B
【详解】
选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；
选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；
选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
故选：B
14．D
【详解】
因为为偶函数，所以的对称轴为，
将图象向右平移1个单位可得的图象，所以对称轴为，
因为为奇函数，
令为奇函数，则，
令可得，
因为对称轴为，所以
根据题中条件无法判断选项A、B和C是否正确，
故选：D.
15．A
【详解】
由题意，当时，，可得，
函数是定义在上的奇函数，可得.
故选：A.
16．
（1）因为为上奇函数，
所以，即，解得，
此时，检验满足，
所以
（2）.
任取，
则
因为，所以，，，
故.
因此，在上为增函数.
（3）令，
由（1）（2）知，为上增函数，奇函数
不等式，
可化为，即.
因为为上奇函数，所以，
所以，
又因为为上增函数，
所以，解得
所以不等式的解集为
17．（1）；（2）.
（1）∵函数是定义在上的奇函数，
∴，即，
∵，∴，解得，
∴.
经验证知，是定义在上的奇函数，所以.
（2）∵函数在上为奇函数，且，∴，
又∵函数是定义在上的增函数，∴，解得.
故不等式的解集为.
18．
【详解】
（1）因为，函数是定义在上的奇函数 ，
所以得，
又因为，所以，
（2）由（1）可知，设
所以
=
因为，所以，
所以，，即，
所以，函数在上是增函数
（3）由（2）可知函数在上是增函数，且是奇函数
要使“对上，都有成立”
即
则 不等式组对恒成立，
所以对恒成立，
所以
因为，所以，
，所以，
，所以，
所以，
所以实数的取值范围是.
19．A
【详解】
因为为偶函数，
所以．
又在上为增函数，
所以，
所以．
故选：A
20．D
【详解】
由已知条件可得.
故选：D.
21．A
【详解】
因为是偶函数，所以的图像关于x=1对称，而，则，
又因为任意，，且，都有，所以在单调递减，结合函数图像的对称性可知函数在单调递增.
所以的解集是.
故选：A.
22．A
【详解】
因为为奇函数，所以①，
将①中的替换为得②，
因为为偶函数，所以③，由②③得，
则，所以是以4为周期的函数.
由④得，，则，所以.
.
故选：A.
23．B
【详解】
因为函数的图象关于对称，则，
因为函数在上单调递增，且，
所以，，即.
故选：B.
24．B
【详解】
，关于直线对称，
在区间上是减函数，在区间上是增函数，
又是偶函数，，
，
是周期为2的函数，在区间也是增函数.
故选：B
25．C
【详解】
因为是定义在R上的奇函数，且时，，
所以，，
又对任意的都有，
所以，
所以函数图象关于对称，
所以，解得，
所以，
故选：C
26．B
【详解】
由于是偶函数，所以，且.
故选：B
27．C
【详解】
因为为奇函数，所以，
所以，
因为对任意，且，都有，
所以在单调递减，
因此在单调递减，
且，所以，
故或，
故或，
故选：C．
28．B
【详解】
由题意，函数满足，可得关于直线对称，
又由，可得关于点对称，
所以函数是周期为4的函数，
因为当时，，则.
故选：B.
29．D
【详解】
根据题意，画出函数示意图：
当时，，即；
当时，，即；
当时，显然成立，
综上.
故选：D
30．B
【详解】
解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以
又因为，，
所以，
所以
故选：B
31．C
【详解】
由在上为奇函数知，且，
∴，
∵在上是单调函数，
∴为单调减函数，即，可得.
故选：C
32．C
【详解】
A，，函数的定义域为，
不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，错误；
B，，函数的定义域为，
不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，错误；
C，定义域为，且，，
故函数为非奇非偶函数，正确；
D，函数图象关于轴对称，是偶函数，不是奇函数，错误.
故选：C
33．C
【详解】
由于是上的奇函数，且，
所以，
所以是周期为的周期函数.当时，
..
.
.
所以.
故选：C.
34．B
【详解】
函数在单调递减，且为奇函数，
，，
，
故选：B.
35．D
【详解】
因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，则.
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
故等价于，解得.
故选：D
36．C
【详解】
因为为奇函数，所以，所以，
因为对任意，，且，都有，
所以在单调递减，
因此在单调递减，
且，所以，
故或，
故或，
故选：C.
37．AD
【详解】
对A，，，故函数为奇函数，A正确；
对B，因为，故函数不是奇函数，B不正确；
对C，由知，，即，所以，
又，所以函数为奇函数，C不正确；
对D，由知，解得，所以，
故既是奇函数又是偶函数，故D正确.
故选：AD
38．AB
【详解】
对于A项，，则A正确；
对于B项，当时，，得出，则B正确；
对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，
所以，则C错误；
对于D项，，
，
函数既不是增函数也不是奇函数，则D错误；
故选：AB
39．ABD
【详解】
由得，故正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有,
∴在上有最大值为1，故正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；
若时，，则时，，，故正确．
故选：．
40．AD
【详解】
对于A，，，即是奇函数，故A正确；
对于B，，，即是偶函数，故B错误；
对于C，，，即是奇函数，故C错误；
对于D，，，即是偶函数，故D正确；
故选：AD
41．BD
【详解】
对于（1）对于定义域内的任意，有，则函数是奇函数
对于（2），不妨设，由题意可得，则函数定义域内单调递减
对于A，由知函数为偶函数，故A错误；
对于B，，则函数是奇函数，由幂函数的性质可知，函数定义域内单调递减，故B正确；
对于C，由知函数为定义域上的奇函数，但不满足定义域上单调递减，故C错误；
对于D，，则函数是奇函数，由幂函数的性质可知，函数定义域内单调递减，故D正确；
故选：BD
42．－x2＋4（答案不唯一）
【详解】
只要满足，且函数的值域为即可
43．
由题意，函数是偶函数，当时，，
其图象如图所示：
由图可知的解集为，
由不等式，可得，解得，
即不等式的解集为．
故答案为：
44．1
【详解】
因为是奇函数，所以，所以，
故是以4为周期的周期函数，
则.
故答案为：1
45．②③
【详解】
①错，，，不是偶函数.
②，当时，，单调递增，当时，
，单调递增，则在上单调递增，正确；
③时，，关于原点对称，正确；
④由②得，在上单调递增，且图象与轴只有一个交点，
故有两解，错误；综上，正确命题为②③
故答案为：②③.
46．（1）；（2）
【详解】
（1）是定义在上的奇函数 且
当时，
又满足
（2）由（1）可得图象如下图所示：
在区间上单调递增 ，解得：
的取值范围为：
47．(1) .
(2) ①a≤0. ②t> .
【详解】
（1）当时，，又因为为奇函数，
所以
所以
（2）①当时，对称轴，所以在上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，
又在上，在上，
所以当a0时，为R上的单调递减函数
当a>0时，在上递增，在上递减，不合题意
所以函数为单调函数时，a的范围为a…
②因为，∴
所以是奇函数，∴
又因为为上的单调递减函数，所以恒成立，
所以恒成立， 所以
48．
（1）证明：令，，
∴，
（2）令，
∴
∴.
∴函数是奇函数.
（3）设，则，
∴
∴为上减函数.
∵，.
∴即.
∴不等式的解集为.
49．(1) ;（2）
（1）由题得，
由于函数g(x)是偶函数，所以，
所以k=2.
（2）由题得在上恒成立，
当x=0时，不等式显然成立.
当，所以在上恒成立，
因为函数在上是减函数，所以.
当时，所以在上恒成立，
因为函数在上是减函数，在上是增函数，
所以.
综合得实数k的取值范围为.
50．
（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，
即，化简得，因此，；
（2）任取、，且，即，
则，
，，，，，，.
，，因此，函数在区间上是减函数；
（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，
由得，所以，解得.
因此，不等式的解集为.
试卷第1页，总3页