人教A版2019必修第一册1.2 集合间的基本关系 学案（Word版含答案）

1.2集合间的基本关系
【考点梳理】
考点一　子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B(或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 AB(或BA)
集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B
考点二　空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是任何集合的子集．
【题型归纳】
题型一：子集、真子集的个数问题
1．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A，则A≠ .
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：根据集合包含关系求参数
4．已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据集合相等关系求参数
7．设，，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，若A=B，则a+2b=（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
9．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：与空集有的集合问题
10．已知全集， ，A是U的子集．若,则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.其中真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
一、单选题
13．设A={（x，y）||x+1|+（y-2）2=0}，B={-1，2}，则必有（ ）
A． B． C．A=B D．A∩B=
14．若集合，，则集合之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
15．已知，集合，若，则m的取值个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．下列所给的关系式正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
17．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
18．若集合，，则（ ）
A．M=N B．M N C．N M D．没有包含关系
19．已知，，若且，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．或
20．下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)}
21．集合M=，N=，则两集合M，N的关系为（ ）
A．M∩N= B．M=N
C．M N D．N M
22．已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
23．集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
24．下列与集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
25．定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
26．已知集合，，，则集合的关系是（ ）
A． B． C． D．
27．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
28．已知集合，，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（　　）
A．B．C．D．
29．设集合， 对任意实数恒成立，则下列关系中成立的是（ ）
A．是的真子集
B．是的真子集
C．
D．与无关
30．已知S1，S2，S3为非空集合，且S1，S2，S3 Z，对于1，2，3的任意一个排列i，j，k，若x∈Si，y∈Sj，则x－y∈Sk，则下列说法正确的是（ ）
A．三个集合互不相等 B．三个集合中至少有两个相等
C．三个集合全都相等 D．以上说法均不对
二、多选题
31．已知集合，，下列说法正确的是（ ）
A．不存在实数使得
B．当时，
C．当时，
D．存在实数使得
32．若集合P={x|x2+x﹣6=0}，S={x|ax﹣1=0}，且S P，则实数a的可能取值为（ ）
A．0 B． C．4 D．
33．下列说法正确的有（ ）
A．设，，且，则实数；
B．若是的真子集，则实数；
C．集合若，则实数；
D．设集合至多有一个元素，则；
34．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
35．下列四个命题中，假命题的是（ ）
A．是空集
B．若，则
C．集合中只有个元素
D．对所有实数、，方程恰有一个解
36．已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是（ ）
A． B． C． D．
37．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．可取两个值，可取两个值，有4个式子
C．中有4个元素
D．的真子集有7个
三、填空题
38．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.
39．已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.
40．已知，则方程的解为____.
41．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为________．
42．已知集合，则集合A、B的关系为A____从“”选择合适的符号填空．
43．下列各组中的两个集合相等的有____________
（1）P={x|x=2n，n∈Z}，Q={x|x=2(n+1)，n∈Z}
（2）P={x|x=2n-1，n∈N+}，Q={x|x=2n+1，n∈N+}；
（3）P={x|x2-x=0}，Q={x|x=，n∈Z}.
（4）P={x|y=x+1}，Q={(x，y)|y=x+1}
四、解答题
44．已知集合 ，．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）集合 与 能够相等？若能，求出 的值，若不能，请说明理由．
45．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b，0}．求a＋a2＋a3＋…＋a2011＋a2012的值．
46．已知集合，集合
（1）是否存在实数，使得对任意实数都有成立？若存在，求出对应的值；若不存在，说明理由.
（2）若成立，写出所有实数对构成的集合.
47．已知集合 ，，．
（1）若时，求实数的取值范围；
（2）若是 的子集，求实数m的取值范围．
48．设集合，，.
（1）讨论集合与的关系；
（2）若，且，求实数的值.
【答案详解】
1．B
①错，空集是任何集合的子集，有 ；②错，如 只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．
故选：B．
2．D
解：，
，1，2，3，，
因为，所以中元素至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；
所以集合的个数即为集合，3，子集的个数：．
故选：D．
3．D
【详解】
求解一元二次方程，得
，易知．
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，
原题即求集合的子集个数，即有个.
故选：D．
4．C
【详解】
因，而，
所以时，即，则，此时
时，，则，无解，
综上得，即实数的取值范围是.
故选：C
5．D
【详解】
因为集合，，
所以.
故选：D
6．B
【详解】
由题意，集合，可得，
因为，所以，解得．
故选：B.
7．C
【详解】
解：，注意到后面集合中有元素 ，
由于集合相等的意义得 或 ．
，，
，即 ，，
，，
．
故选：C
8．D
【详解】
由于，
所以
（1），结合集合元素的互异性可知此方程组无解.
（2）解得.
故选：D
9．B
【详解】
因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，即.
故选：B.
10．D
【详解】
由题意知，集合，所以，又因为A是U的子集，故需，所以a的取值范围是．
故选：D
11．A
【详解】
①错，当m＝0时，不是一元二次方程；②错，Δ＝4＋4a，并不一定大于或等于0；③正确；④错，空集是任何非空集合的真子集.
故选：A.
12．A
【详解】
若集合，则不等式恒成立，
当时，不等式可化为，则，不满足题意；
当时，为使不等式恒成立，只需，解得，
综上集合时，；
又集合，所以.
故选：A.
13．D
【详解】
由于集合A是点集而B是数集，
所以是两类集合，所以交集为空集，
故选：D.
14．C
【详解】
解析：设任意，则，当时，
所以；当时，
，所以．
所以
又设任意，则
因为，，
且表示所有的偶数，表示所有的奇数．
所以与都表示所有的奇数．
所以．所以
故．
故选：C．
15．D
【详解】
解：由题意知，集合，
由于，
当时，，满足；
当时，，由于，所以或，
或，
或1或．
即m的取值个数为3，
故选：D．
16．A
【详解】
解：①，0为集合N的一个元素，，故①错误，
②，因为为无理数，，故②错误，
③，因为集合是集合的子集，故③正确，
④，因为为R 的子集，故④错误．
故选：A．
17．B
【详解】
，
，即，
当时，或，
当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去，
当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去，
综上，，，故选：B
18．B
【详解】
，
为奇数，为整数，所以.
故选：B
19．B
【详解】
集合A中，由得，当时，，（舍）；当时，，，所以集合；集合B中，若，，则，符合要求；若，根据二次函数对称轴为，若，则，，综上可得：
故选：B
20．B
【详解】
对于A：M，N都是点集，与是不同的点则M，N是不同的集合，故不符合；
对于B：M，N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，复合要求；
对于C：M是点集，表示直线上所有的点，而N是数集，表示函数的值域，则M，N是不同的集合，故不符合；
对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集，则M，N是不同的集合，故不符合；
故选：B．
21．D
由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n=2k（k∈Z），则x=k+1（k∈Z），
当n为奇数时，设n=2k+1（k∈Z），则x=k+1+（k∈Z），
∴N M，
故选：D.
22．C
【详解】
因为，所以或
因为无解，所以不成立，
由得，所以实数的取值集合为.
故选：C.
23．D
【详解】
，
的子集的个数为.
故选：D.
24．D
解：∵，
∴与集合相等的是.
故选：D
25．B
【详解】
，所以集合的非空真子集的个数为，
故选：B.
26．C
【详解】
解：集合，
当时，，
当时，，
又集合，，
集合，集合，，
可得，
综上可得
故选：C．
27．D
由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.
计算得出p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，
计算得出x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
故选：.
28．C
【详解】
解：因为集合，
所以，又集合，
所以，根据韦恩图可得选项C正确，
故选：C.
29．A
【详解】
由题意，由对任意的恒成立，
对分类：
①当时，恒成立，
②当时，则，解得，
综上可得，即，所以是的真子集.
故选：A.
30．B
解：若x∈Si，y∈Sj，则y－x∈Sk，从而(y－x)－y＝－x∈Si，所以Si中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a(由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在)，不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b＞a(否则b不可能大于a，只能等于a，所以b－a＝0∈S3，矛盾)，但是，这样就导致了0＜b－a＜b，且b－a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x－0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y－0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等，
故选：B．
31．AD
【详解】
选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确.
选项B：当时，，不满足，故选项B错误.
若，则
①当时，有，；
②当时，有此方程组无实数解；
所以若，则有，故选项C错误，选项D正确.
故选：AD.
32．ABD
解：P={x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}，
①S=，a=0；
②，S={x|x}，
3，a，
2，a；
综上可知：实数a的可能取值组成的集合为{，0，}.
故选：ABD.
33．ABD
【详解】
对于A，因为，故（无解舍去）或，故，故A正确.
对于B，因为是的真子集，故为非空集合，
故，故B正确.
对于C，，
若，则，满足；
若，则，又，故或即或，
综上，或或，故C错误.
对于D，因为至多有一个元素，故或，
所以，故D正确.
故选：ABD.
34．ABC
【详解】
，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
35．ABD
【详解】
对于A选项，不是空集，A错；
对于B选项，当时，则且，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，取，，则方程无实解，D错.
故选：ABD.
36．ABC
【详解】
由于集合有且仅有两个子集，则集合为单元素集合，即方程只有一根.
①当时，方程为，解得，合乎题意；
②当时，对于方程，，解得.
综上所述，或.
故选：ABC.
37．BD
【详解】
，
故中有3个元素，其真子集的个数为，故C错误，D正确.
当，时，，故A错误.
可取两个值，可取两个值，共有4个算式，
分别为：
，，
故B正确．
故选：BD．
38．12
设会骑车的人组合的集合为，会驾车的人组成的集合为，
既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合,
易知，
记表示集合中的元素个数，
则有，
所以既不会骑车也不会驾车的人为.
故答案为：12
39．
解：分两种情况考虑：
①若B不为空集，可得：，
解得：，
，
且，
解得：，
②若B为空集，符合题意，可得：，
解得：.
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
40．
【详解】
若，则无意义，故有，此时有，.
或（舍去，因为中不满足集合的互异性）
代入得
，方程的解集为.
故答案为：
41．
【详解】
.
当时，，满足.
当时，，
由于，所以或.
综上所述，所有的取值构成的集合为.
故答案为：
42．
【详解】
解：由集合得：，
由集合得：，
，，，
，
故答案为：．
43．（1）（3）
（1）中集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，有P=Q；
（2）中P是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1 Q，所以P≠Q.
（3）中P={0，1}，当n为奇数时，x==0，当n为偶数时，x==1，所以Q={0，1}，P=Q.
（4）中集合的研究对象不相同，所以P≠Q.
故答案为：（1）（3）.
44．【详解】
（1） 集合 ，．
，，解得 ，
的取值范围是 ．
（2），
当 时，，；
当 即时，，解得 ，
的取值范围是 ．
（3） 时， 无解，
集合 与 不能相等．
45．0
【详解】
由题可知a≠0，b＝0，
即{a，0，1}＝{a2，a，0}，
所以a2＝1 a＝±1，
当a＝1时，集合为{1，1，0}，不合题意，应舍去；
当a＝－1时，集合为{－1，0，1}，符合题意．
故a＝－1，
∴a＋a2＋a3＋…＋a2011＋a2012＝0．
46
【详解】
解：（1）由题意，集合，
因为是任意实数，要使，必有或，
两个方程组都没有实数解，所以不存在满足条件的实数.
（2）由（1）知，要使，
则满足或或或，
解得或或或，
所以实数对构成的集合为.
47．（1）；（2）或．
【详解】
（1）依题意得，，因为，所以；
（2）因为是的子集，
当时，有，解得；
当时，有，解得；
综上所述得或．
48．
（1），
当时，；
当时，是的真子集.
（2）当时，因为，所以.
当时，解得(舍去)或，此时，符合题意.
当时，解得，此时符合题意.
综上，或.