华东师大版八年级上册 13.1 命题、定理与证明（第2课时 ） 课件(共19张PPT)
文档属性
| 名称 | 华东师大版八年级上册 13.1 命题、定理与证明（第2课时 ） 课件(共19张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-31 18:25:59 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
第13章 全等三角形
13.1 命题、定理与证明
第2课时 定理与证明
学习目标
1.理解基本事实与命题，基本事实与定理之间的关系.
2.了解定理的作用、证明的格式与步骤，并初步学会运用基本事实、定理或真命题来证明其他的真命题.（重、难点）
新课导入
通过以前的学习，我们已经知道下面这些命题都是正确的，即都是公认的真命题.
两点确定一条直线；
两点之间线段最短；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
知识讲解
基本事实 ：数学中一些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也称它为公理.
例如：
1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条 直线平行；
3.全等三角形的对应边、对应角分别相等．
定理的概念:数学中,有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
同角或等角的补角相等.
（2）余角的性质：
同角或等角的余角相等.
（4）垂线的性质：
①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（1）补角的性质：
（3）对顶角的性质：
对顶角相等.
②垂线段最短.
学过的定理：
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
思考
（1）一位同学在钻研数学题时发现：
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：
从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.
他的结论正确吗？
不正确
（2）如下图所示，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得到结论：任何一个三角形三边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.
他的结论正确吗？
不正确
通过上面几个例子说明：
通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.
因此：
通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
注意：
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.
证明
已知：如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
例1 证明直角三角形的两个锐角互余.
C
A
B
证明：
此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），
又∵∠C=90°（已知），
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质).
例2 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知），
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
∵ b ∥ c（已知），
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
【总结】如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、定理、性质等直接进行证明了.如果要证明一个文字语言叙述的证明题,而没有给出图形、已知、求证, 我们要证明这个命题,必须:
1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母.
2.再根据要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知和求证.
练一练
如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠AED＝∠C.
证明：∵∠1＋∠4＝180°(邻补角定义)，∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴∠2＝∠4(同角的补角相等)，
∴EF∥AB(内错角相等，两直线平行)，
∴∠3＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠B＝∠3(已知)，∴∠ADE＝∠B(等量代换)，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠AED＝∠C(两直线平行，同位角相等)．
随堂练习
1. 下列命题可作为定理的有（ ）
①两直线平行，同旁内角互补
②相等的角是对顶角
③等角的补角相等
④垂线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 如果∠和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子中：①90°-∠α；②∠β-90°；③ （∠α+∠β）；④ （∠β-∠α）；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
C
3.已知：如图，∠1和∠互余，∠和∠互余．
求证：．
证明：因为∠1和∠互余（已知）．
所以∠1+∠=90°（ ）．
因为∠+∠互余（已知），
所以∠+∠=90°（ ）．
所以∠1=∠（ ）．
所以∥（ ）．
互余的定义 互余的定义 同角的余角相等 内错角相等，两直线平行
4.如图，直线与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C.证明：∠A＝∠D.
证明：因为∠AGB=∠2（对顶角相等），
∠1=∠2（已知），
所以 ∠1=∠AGB（等量代换）,
所以CE∥BF（同位角相等,两直线平行）.
所以∠C=∠BFD(两直线平行，同位角相等).
因为∠B=∠C,
所以∠B=∠BFD(等量代换)
所以AB∥CD（内错角相等,两直线平行.）
所以∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）.
课堂小结
1.基本事实：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做基本事实.
2.定理：经过推理论证为正确的命题叫定理.
3.证明：根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
第13章 全等三角形
13.1 命题、定理与证明
第2课时 定理与证明
学习目标
1.理解基本事实与命题，基本事实与定理之间的关系.
2.了解定理的作用、证明的格式与步骤，并初步学会运用基本事实、定理或真命题来证明其他的真命题.（重、难点）
新课导入
通过以前的学习，我们已经知道下面这些命题都是正确的，即都是公认的真命题.
两点确定一条直线；
两点之间线段最短；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
知识讲解
基本事实 ：数学中一些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也称它为公理.
例如：
1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条 直线平行；
3.全等三角形的对应边、对应角分别相等．
定理的概念:数学中,有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
同角或等角的补角相等.
（2）余角的性质：
同角或等角的余角相等.
（4）垂线的性质：
①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（1）补角的性质：
（3）对顶角的性质：
对顶角相等.
②垂线段最短.
学过的定理：
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
思考
（1）一位同学在钻研数学题时发现：
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：
从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.
他的结论正确吗？
不正确
（2）如下图所示，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得到结论：任何一个三角形三边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.
他的结论正确吗？
不正确
通过上面几个例子说明：
通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.
因此：
通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
注意：
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.
证明
已知：如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
例1 证明直角三角形的两个锐角互余.
C
A
B
证明：
此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），
又∵∠C=90°（已知），
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质).
例2 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知），
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
∵ b ∥ c（已知），
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
【总结】如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、定理、性质等直接进行证明了.如果要证明一个文字语言叙述的证明题,而没有给出图形、已知、求证, 我们要证明这个命题,必须:
1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母.
2.再根据要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知和求证.
练一练
如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠AED＝∠C.
证明：∵∠1＋∠4＝180°(邻补角定义)，∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴∠2＝∠4(同角的补角相等)，
∴EF∥AB(内错角相等，两直线平行)，
∴∠3＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠B＝∠3(已知)，∴∠ADE＝∠B(等量代换)，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠AED＝∠C(两直线平行，同位角相等)．
随堂练习
1. 下列命题可作为定理的有（ ）
①两直线平行，同旁内角互补
②相等的角是对顶角
③等角的补角相等
④垂线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 如果∠和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子中：①90°-∠α；②∠β-90°；③ （∠α+∠β）；④ （∠β-∠α）；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
C
3.已知：如图，∠1和∠互余，∠和∠互余．
求证：．
证明：因为∠1和∠互余（已知）．
所以∠1+∠=90°（ ）．
因为∠+∠互余（已知），
所以∠+∠=90°（ ）．
所以∠1=∠（ ）．
所以∥（ ）．
互余的定义 互余的定义 同角的余角相等 内错角相等，两直线平行
4.如图，直线与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C.证明：∠A＝∠D.
证明：因为∠AGB=∠2（对顶角相等），
∠1=∠2（已知），
所以 ∠1=∠AGB（等量代换）,
所以CE∥BF（同位角相等,两直线平行）.
所以∠C=∠BFD(两直线平行，同位角相等).
因为∠B=∠C,
所以∠B=∠BFD(等量代换)
所以AB∥CD（内错角相等,两直线平行.）
所以∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）.
课堂小结
1.基本事实：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做基本事实.
2.定理：经过推理论证为正确的命题叫定理.
3.证明：根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.