沪科版八年级数学上册 13.1 三角形中的边角关系（第3课时） 教案
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册 13.1 三角形中的边角关系（第3课时） 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-31 18:22:38 | ||
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文档简介
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.1 三角形中的边角关系
第3课时 三角形中几条重要线段
教学目标 1．使学生理解并掌握三角形的角平分线、中线、高线的定义，认识三角形的重心． 2．引导学生准确画出三角形的角平分线、中线、高线． 3．让学生理解并掌握三角形角平分线、中线、高线的性质． 教学重难点 重点：三角形的角平分线、中线、高线的定义及其性质． 难点：三角形的角平分线、中线、高线的画法及应用． 教学过程 导入新课 定义图示角平 分线一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线线段 中点把一条线段分成两条相等的线段的点垂线当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
探究新知 一、三角形的角平分线 定义：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 如图，在△ABC中，，线段AD 就是△ABC的角平分线. 想一想：三角形的角平分线与角的平分线相同吗 不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. 问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？ 【小组内部交流】老师引导，学生发现规律：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点. 例1 在△ 中，已知∠ ＝ ，分别是∠，∠ 的平分线，且BE，CF相交于点. ∠，求∠ 的度数. 解：因为 平分∠，∠ ＝21°， 所以∠＝＝2×21°＝42°. 因为∠+∠+∠ ＝180°，∠＝50°， 所以∠＝180°-50°-42°＝88°. 因为 平分∠， 所以∠＝∠＝＝44°. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 二、三角形的中线 定义：三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线. 如图，△ABC中，点D是BC的中点，AD是△ABC的边上的中线. 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ 【小组内部交流】老师引导学生得出结论：(或为的中点） 问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？ 【分组动手操作】老师引导，学生发现规律：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. 拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？ 解：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们的面积相等. 规律：三角形的中线能将三角形的面积平分. 【小组内部交流】老师引导学生发现规律. 例2在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA＝________. 解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ，DB＝DC， △ADC的周长＝AC+DC+AD， 所以△ABD的周长△ADC的周长 ＝（AB+BD+AD）-（（AC+DC+AD） ＝AB-AC＝2 cm. 又因为AC＝5 cm， 所以AB＝7 cm. 答案：7 cm. 三、三角形的高 定义：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高. 如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线段AD，垂线段AD就是△ABC的边BC上的高. 注意:标明垂直的记号和垂足的字母. 1.锐角三角形的高 问题：(1) 你能画出这个三角形的三条高吗 (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ (3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部 【小组内部交流】学生操作，老师总结：锐角三角形的三条高交于一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 2.直角三角形的高 问题：画出直角三角形的三条高,直角三角形的三条高又有怎样的位置关系 AC边上的高是 BD ； 直角边BC边上的高是 AB ； 直角边AB边上的高是 BC . 【小组内部交流】学生操作，老师总结：直角三角形的三条高交于直角顶点. 3.钝角三角形的高 问题： 画出钝角三角形的三条高,钝角三角形的三条高又有怎样的位置关系 【小组内部交流】学生操作，老师总结：钝角三角形的三条高不相交于一点,钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 归纳： 三角形高及高的交点的位置图示锐角三角形三条高都在三角形的内部， 三条高的交点在三角形的内部直角三角形直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
例3 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 解：因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， 所以∠DAC＝∠BAD＝30°. 因为CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， 所以∠B＝50°， 所以∠ADB＝180°-∠B-∠BAD ＝180°-30°-50° ＝100°. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 例4 如图所示，在△ 中，∠，∠， 是边上的高，是∠ 的平分线. 求∠ 的度数. 解：在△ 中，∵ ∠＝ 38°，∠＝ 54°， ∴ ∠BAC ＝ 180°-∠B-∠C＝ 180°-38°-54°＝ 88°. ∵ 是∠的平分线， ∴ ∠＝ ∠ ＝×88°＝44°. ∵ 是 边上的高，∴ ∠＝90°. 在△ 中，∵ ∠ ＝ ，∠＝54°， ∴ ∠＝180°-∠-∠＝180°-90°-54°＝36°. ∴ ∠＝＝∠-∠＝44°-36°＝8°. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 课堂练习 1.如图,在△ABC中, ∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误. （1）AD是△ABE的角平分线.( ) （2）BE是△ABD的边AD上的中线.( ) （3）BE是△ABC的边AC上的中线.( ) 2.如图所示，在△中，分别是△，△的中线，△ 的面积是4 ，那么△ 的面积是（ ） A.2.5 B.2 C.1.5 D.1 3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6， AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____. 4.如图，在△ABC中，AB边上的高是____，BC边上的高是____；在△BCF中，CF边上的高是____. 5.在等腰三角形ABC 中，AB ＝ AC，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成12和6 两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长. 6.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B＝45°,∠C＝60°,求∠BAE和∠AEB的度数. 参考答案 1．（1）×（2）×（3）× 2．B 3. 4. CE AD BC 5.解：设，则. （1）当 ＝12，++＝6时，有＝12， 所以 ＝4，＝8.所以＝＝-8，＝6-4＝2. （2）当＝12，＝6时，有 ＝6， 解得＝2，所以 所以 ＝4， ＝12-2＝10. 因为，所以此时不能构成三角形. 综上所述，等腰三角形的腰长为8，底边长为2. 6.解：∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC. ∵ ∠BAC+∠B+∠C＝180°, ∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-45°-60°＝75°，∴ ∠BAE＝37.5°. ∵∠AEB+∠B+∠BAE＝180°， ∴∠AEB＝180°-37.5°-45°＝97.5°. 课堂小结 布置作业 P73练习 板书设计 三角形中几条重要线段 1.三角形的角平分线：(1)定义；(2)画法；(3)三角形的三条角平分线交于一点. 2..三角形的中线：(1)定义；(2)画法；(3)三角形的三条中线交于一点——重心． 3.三角形的高线：(1)定义；(2)画法；(3)三角形的三条高线交于一点.
13.1 三角形中的边角关系
第3课时 三角形中几条重要线段
教学目标 1．使学生理解并掌握三角形的角平分线、中线、高线的定义，认识三角形的重心． 2．引导学生准确画出三角形的角平分线、中线、高线． 3．让学生理解并掌握三角形角平分线、中线、高线的性质． 教学重难点 重点：三角形的角平分线、中线、高线的定义及其性质． 难点：三角形的角平分线、中线、高线的画法及应用． 教学过程 导入新课 定义图示角平 分线一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线线段 中点把一条线段分成两条相等的线段的点垂线当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
探究新知 一、三角形的角平分线 定义：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 如图，在△ABC中，，线段AD 就是△ABC的角平分线. 想一想：三角形的角平分线与角的平分线相同吗 不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. 问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？ 【小组内部交流】老师引导，学生发现规律：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点. 例1 在△ 中，已知∠ ＝ ，分别是∠，∠ 的平分线，且BE，CF相交于点. ∠，求∠ 的度数. 解：因为 平分∠，∠ ＝21°， 所以∠＝＝2×21°＝42°. 因为∠+∠+∠ ＝180°，∠＝50°， 所以∠＝180°-50°-42°＝88°. 因为 平分∠， 所以∠＝∠＝＝44°. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 二、三角形的中线 定义：三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线. 如图，△ABC中，点D是BC的中点，AD是△ABC的边上的中线. 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ 【小组内部交流】老师引导学生得出结论：(或为的中点） 问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？ 【分组动手操作】老师引导，学生发现规律：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. 拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？ 解：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们的面积相等. 规律：三角形的中线能将三角形的面积平分. 【小组内部交流】老师引导学生发现规律. 例2在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA＝________. 解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ，DB＝DC， △ADC的周长＝AC+DC+AD， 所以△ABD的周长△ADC的周长 ＝（AB+BD+AD）-（（AC+DC+AD） ＝AB-AC＝2 cm. 又因为AC＝5 cm， 所以AB＝7 cm. 答案：7 cm. 三、三角形的高 定义：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高. 如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线段AD，垂线段AD就是△ABC的边BC上的高. 注意:标明垂直的记号和垂足的字母. 1.锐角三角形的高 问题：(1) 你能画出这个三角形的三条高吗 (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ (3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部 【小组内部交流】学生操作，老师总结：锐角三角形的三条高交于一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 2.直角三角形的高 问题：画出直角三角形的三条高,直角三角形的三条高又有怎样的位置关系 AC边上的高是 BD ； 直角边BC边上的高是 AB ； 直角边AB边上的高是 BC . 【小组内部交流】学生操作，老师总结：直角三角形的三条高交于直角顶点. 3.钝角三角形的高 问题： 画出钝角三角形的三条高,钝角三角形的三条高又有怎样的位置关系 【小组内部交流】学生操作，老师总结：钝角三角形的三条高不相交于一点,钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 归纳： 三角形高及高的交点的位置图示锐角三角形三条高都在三角形的内部， 三条高的交点在三角形的内部直角三角形直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
例3 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 解：因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， 所以∠DAC＝∠BAD＝30°. 因为CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， 所以∠B＝50°， 所以∠ADB＝180°-∠B-∠BAD ＝180°-30°-50° ＝100°. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 例4 如图所示，在△ 中，∠，∠， 是边上的高，是∠ 的平分线. 求∠ 的度数. 解：在△ 中，∵ ∠＝ 38°，∠＝ 54°， ∴ ∠BAC ＝ 180°-∠B-∠C＝ 180°-38°-54°＝ 88°. ∵ 是∠的平分线， ∴ ∠＝ ∠ ＝×88°＝44°. ∵ 是 边上的高，∴ ∠＝90°. 在△ 中，∵ ∠ ＝ ，∠＝54°， ∴ ∠＝180°-∠-∠＝180°-90°-54°＝36°. ∴ ∠＝＝∠-∠＝44°-36°＝8°. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 课堂练习 1.如图,在△ABC中, ∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误. （1）AD是△ABE的角平分线.( ) （2）BE是△ABD的边AD上的中线.( ) （3）BE是△ABC的边AC上的中线.( ) 2.如图所示，在△中，分别是△，△的中线，△ 的面积是4 ，那么△ 的面积是（ ） A.2.5 B.2 C.1.5 D.1 3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6， AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____. 4.如图，在△ABC中，AB边上的高是____，BC边上的高是____；在△BCF中，CF边上的高是____. 5.在等腰三角形ABC 中，AB ＝ AC，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成12和6 两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长. 6.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B＝45°,∠C＝60°,求∠BAE和∠AEB的度数. 参考答案 1．（1）×（2）×（3）× 2．B 3. 4. CE AD BC 5.解：设，则. （1）当 ＝12，++＝6时，有＝12， 所以 ＝4，＝8.所以＝＝-8，＝6-4＝2. （2）当＝12，＝6时，有 ＝6， 解得＝2，所以 所以 ＝4， ＝12-2＝10. 因为，所以此时不能构成三角形. 综上所述，等腰三角形的腰长为8，底边长为2. 6.解：∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC. ∵ ∠BAC+∠B+∠C＝180°, ∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-45°-60°＝75°，∴ ∠BAE＝37.5°. ∵∠AEB+∠B+∠BAE＝180°， ∴∠AEB＝180°-37.5°-45°＝97.5°. 课堂小结 布置作业 P73练习 板书设计 三角形中几条重要线段 1.三角形的角平分线：(1)定义；(2)画法；(3)三角形的三条角平分线交于一点. 2..三角形的中线：(1)定义；(2)画法；(3)三角形的三条中线交于一点——重心． 3.三角形的高线：(1)定义；(2)画法；(3)三角形的三条高线交于一点.