《圆与方程》专题9 半圆、相关点法 学案（Word版含答案）

《圆与方程》专题9-1 半圆、相关点法
（4套，2页，含答案）
知识点：
半圆： 遇到这类式子（或）马上理解成半圆；
典型例题：
若曲线与直线y＝x＋b始终有交点，则b的取值范围是______；若有一个交点，
则b的取值范围是________；若有两个交点，则b的取值范围是______[endnoteRef:0]； [0: 答案：；； 曲线代表半圆；]
随堂练习：
若直线y＝k(x－2)与曲线有交点，则（[endnoteRef:1] ）
A．k有最大值，最小值 B．k有最大值，最小值
C．k有最大值0，最小值 D．k有最大值0，最小值 [1: 答案：C；]
直线y＝x＋k与曲线恰有一个公共点，则k的取值范围是（[endnoteRef:2] ）
A. B. C. D.或 [2: 答案：D；]
知识点2：
相关点法： 动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’，y’表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
典型例题：
设P是圆x ＋y ＝2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD中点，求M的轨迹方程；（[endnoteRef:3]） [3: 答案：；]
点P在圆x ＋y ＝1上运动，定点A(3，0)，
（1）求PA中点M的轨迹方程．[endnoteRef:4]
（2）M为线段PA上靠近A处的三等分点，求M的轨迹方程。 [4: 答案：2＋y2＝；；
解　设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，所以x＝，y＝于是有x0＝2x－3，y0＝2y．
因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝．所以点M的轨迹方程为2＋y2＝．]
随堂练习：
已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且＝2，求点M的轨迹．[endnoteRef:5] [5: 答案：＋y2＝1；
解析：　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x＋y＝9.将x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，即＋y2＝1.所以点M的轨迹是一个椭圆．]
圆x ＋(y－2) ＝4 上的动点P，定点A(8，0)，线段AP的中点轨迹方程 ；
若Q为PA延长线上的点，|AP|＝2|QA|，则Q点轨迹方程为 。[endnoteRef:6] [6: 答案：；；]
《圆与方程》专题9-2 半圆、相关点法
若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（[endnoteRef:7] ）
A． B． C． D． [7: 答案：D；]
设圆x ＋y －4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是____[endnoteRef:8]____． [8: 答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0；
[解析]　设M(x，y)，A(2，－1)，则P(2x－2,2y＋1)，将P代入圆方程得：(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即为：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.]
《圆与方程》专题9-3 半圆、相关点法
方程＝k(x－2)＋3有两个不等实根，则k的取值范围为(　[endnoteRef:9]　)
A． B． C． D． [9: 答案：A；
　[在同一平面直角坐标系中分别画出y＝(就是x2＋y2＝4，y≥0)和y＝k(x－2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需kPAkPB＝＝，对于k(x－2)－y＋3＝0，因为直线与圆相切，所以d＝r，即＝2，解得kPA＝．
所以k的取值范围为．]
]
如图，设P是圆x ＋y ＝2上的动点，点D是P在x轴上的投影。
M为线段PD上一点，且当点P在圆上运动时，
求点M的轨迹C的方程；（[endnoteRef:10]）
[10: 答案：；]
《圆与方程》专题9-4 半圆、相关点法
已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠ ，则实数b的取值范围是(　[endnoteRef:11]　) A．[－3，3] B．[－3，3] C．(－3，3] D．[－3，3) [11: 答案：C；
　[M∩N≠ ，说明直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)相交，画图探索可知
－30)的图形是半圆．]]
已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程为 [endnoteRef:12] . [12: 答案：；； ]