《圆与方程》专题4 圆与圆的位置关系 学案（Word版含答案）

《圆与方程》专题4-1 圆圆关系
（4套，3页，含答案）
知识点：
圆圆关系： 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d （1）；
（2）； （3）；
（4）； （5）； 外离 外切 相交 内切 内含 圆圆关系——求相交弦的方法： 求两个圆的相交弦直线，通常把圆整理成一般式，然后两式作差，二次项抵消，剩下一次项，然后整理成直线方程即可。
典型例题1：
已知圆C1：x ＋y －2ax－2y＋a －15＝0，圆C2：x ＋y －4ax－2y＋4a ＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1、C2：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[endnoteRef:0] [0: 答案：(1)a＝5时，外切．a＝3时，内切．(2)35时，外离．(4)0解　对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切．
当|C1C2|＝|r1－r2|＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|<3，即0]
若圆C1的方程是x ＋y －4x－4y＋7＝0，圆C2的方程为x ＋y －4x－10y＋13＝0，则两圆的公切线有（ [endnoteRef:1] ） A、2条 B、3条 C、4条 D、1条
（配方：(x－2) ＋(y－2) ＝1；(x－2) ＋(y－5) ＝4 ；） [1: 答案：D；]
随堂练习1：
圆x ＋y －2x＝0和x ＋y －4y＝0的位置关系是（ [endnoteRef:2] ）
A 相离 B外切 C相交 D内切（配方：(x－1) ＋y ＝1；x ＋(y－2) ＝2 ；） [2: 答案：C；]
两圆(x＋3) ＋(y－2) ＝4和(x－3) ＋(y＋6) ＝64的公切线有(　[endnoteRef:3]　)
A．2条 B．3条 C．4条 D．0条 [3: 答案：B；]
典型例题2：
集合M＝{(x，y)|x ＋y ≤4}，N＝{(x，y)|(x－1) ＋(y－1) ≤r ，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是(　[endnoteRef:4]　) A．(0，－1) B．(0，1] C．(0，2－] D．(0，2] [4: 答案：C；
　[由已知M∩N＝N知N M，
∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，
∴2－r≥，∴0已知圆O：x ＋y ＝25和圆C：x ＋y －4x－2y－20＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．[endnoteRef:5] [5: 答案：；
[解析]　两圆方程相减得弦AB所在的直线方程为4x＋2y－5＝0.
圆x2＋y2＝25的圆心到直线AB的距离d＝＝，
∴公共弦AB的长为|AB|＝2＝2＝.
]
随堂练习2：
两圆x ＋y ＝1和(x＋4) ＋(y－a) ＝25相切，则实数a的值为_[endnoteRef:6]_______． [6: 答案：±2或0；
解析　∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径分别为1和5，两圆外切时有
＝1＋5，∴a＝±2，
两圆内切时有＝5－1，
∴a＝0．综上，a＝±2或a＝0．]
集合A＝{(x，y)|x ＋y ＝4}，B＝{(x，y)|(x－3) ＋(y－4) ＝r }，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__[endnoteRef:7]______． [7: 答案：3或7；
解析　这是以集合为载体考查两圆位置关系．
∵A∩B中有且仅有一个元素，
∴两圆x2＋y2＝4与(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切，
O(0,0)，C(3,4)，|OC|＝5，r1＝2，r2＝r，
故2＋r＝5，或r－2＝5，∴r＝3或7．]
已知两圆x ＋y －10x－10y＝0，x ＋y ＋6x－2y－40＝0求
（1）它们的公共弦所在直线的方程；
（2）公共弦长。（[endnoteRef:8]） 配方：(x－5) ＋(y－5) ＝50；(x＋3) ＋(y－1) ＝50； [8: 答案：；；
解：（1）①；②；
②①得：为公共弦所在直线的方程；
弦长的一半为，公共弦长为。 ]
《圆与方程》专题4-2 圆圆关系
两圆(x＋3) ＋(y－2) ＝4和(x－3) ＋(y＋6) ＝64的位置关系是(　[endnoteRef:9]　)
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
[9: 答案：A；
　[圆心距d＝r＋R，选A．]]
两圆x ＋y －4x＋2y＋1＝0与x ＋y ＋4x－4y－1＝0的公切线有(　[endnoteRef:10]　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
[10: 答案：C；
　[∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，
(x＋2)2＋(y－2)2＝9，
∴圆心距d＝＝5，
r1＝2，r2＝3，
∴d＝r1＋r2，∴两圆外切，∴公切线有3条．]]
圆C1：x ＋y －12x－2y－13＝0和圆C2：x ＋y ＋12x＋16y－25＝0的公共弦所在的
直线方程是___[endnoteRef:11]___． [11: 答案：4x＋3y－2＝0；
[解析]　两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x＋3y－2＝0.]
已知圆C：x ＋y －2x－4y－20＝0及直线L：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线L与圆C总相交；
(2)求直线L被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．[endnoteRef:12]
[12: 答案：证明定点(3,1)在圆内，4，2x－y－5＝0；
(1)证明　把直线l的方程改写成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，
由方程组，解得，
所以直线l总过定点(3,1)．
圆C的方程可写成(x－1)2＋(y－2)2＝25，所以圆C的圆心为(1,2)，半径为5．
定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为＝<5，即点(3,1)在圆内．所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交．
(2)解　设直线与圆交于A、B两点．当直线l过定点M(3,1)且垂直于过点M的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短．
因为|AB|＝2
＝2＝2＝4，此时kAB＝－＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0．
故直线l被圆C截得的弦长最小值为4，此时直线l的方程为2x－y－5＝0．]
《圆与方程》专题4-3 圆圆关系
圆x ＋y ＋2x＋6y＋9＝0与圆x ＋y －6x＋2y＋1＝0的位置关系是（ [endnoteRef:13] ）
A．相交 B．相外切 C．相离 D．相内切
[13: 答案：C；]
圆C1：x ＋y ＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x ＋y －4x－10y＋13＝0的公切线有 (　[endnoteRef:14]　)
A．2条 B．3条 C．4条 D．0条 [14: 答案：B；]
已知圆C1：(x－2) ＋(y－1) ＝10和圆C2：(x＋6) ＋(y＋3) ＝50交于A、B两点，则AB所在的直线方程是___[endnoteRef:15]_______。 [15: 答案：2x+y=0；]
对于任意实数k，直线(3k＋2)x－ky－2＝0与圆x ＋y －2x－2y－2＝0的位置关系是___[endnoteRef:16]__
[16: 答案：相切或相交；
解析：； 另法：直线恒过，而在圆上]
《圆与方程》专题4-4 圆圆关系
圆C1：x ＋y ＝4和C2：x ＋y －6x＋8y－24＝0的位置关系是（ [endnoteRef:17] ）
(A)外切 (B)内切 (C)相交 (D)相离 [17: 答案：B；]
圆C1：(x－m) ＋(y＋2) ＝9与圆C2：(x＋1) ＋(y－m) ＝4外切，则m的值为(　[endnoteRef:18]　)
A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定 [18: 答案：C；
　[外切时满足r1＋r2＝d，即＝5，解得m＝2或－5．]]
两圆x ＋y －x＋y－2＝0和x ＋y ＝5的公共弦长为____[endnoteRef:19]________． [19: 答案：；
解析　由
②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，
∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为d＝＝，
设公共弦长为l，∴l＝2＝．]
已知直线L：kx－y－3k＝0与圆M：x ＋y －8x－2y＋9＝0.
（1）求证：直线L与圆M必相交；
（2）当圆M截直线L所得弦长最小时，求k的值.（[endnoteRef:20]）
[20: 答案：直线过；；]