《数列》专题4 等差数列(中下) 专题讲义（Word版含答案）

《数列》专题4-1 等差中下
（8套，8页，含答案）
知识点：
等差前后对应： （如果罗列法换算比较复杂，就用前后对应的方法，简化计算） 若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 例： 一般前后数字显对称性，我们都从这个方面考虑。题目已知条件中，数列罗列得比较长，也适用此法。
典型例题：
在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝____[endnoteRef:0]____．
[0: 答案：74
【解析】由a3＋a7＝37，得(a1＋2d)＋(a1＋6d)＝37，即2a1＋8d＝37.∴a2＋a4＋a6＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋3d)＋(a1＋5d)＋(a1＋7d)＝2(2a1＋8d)＝74.
]
已知等差数列{}，满足，则此数列的前11项的和( [endnoteRef:1])
A．44 B．33 C．22 D．11 [1: 答案：A]
已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ [endnoteRef:2] ）
A． B． C． D． [2: 答案：C]
随堂练习：
在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（ [endnoteRef:3] ）
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 [3: 答案：B
【解析】
，故选B]
在等差数列中，，，则此数列前30项和等于（[endnoteRef:4] ）
A．810 B．840 C．870 D．900 [4: 答案：B]
等差数列的公差是正数,且,求它的前20项的和.[endnoteRef:5] [5: 答案：；]
随堂练习（应用）：
美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．
问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？[endnoteRef:6] [6: 答案：⑴ 设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：
S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n
＝500(n＋1)n
S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n
＝300(2n＋1)n
由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n
解得：n>2
∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．
⑵ 当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000
S2＝300×10×21＝63000
∴ S2－S1＝8000
∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．
⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元．
则＝an(2n＋1) n∈N*
∴ a＞＝250＋≥250＋
＝]
《数列》专题4-2 等差中下
已知数列是等差数列，为正整数，则“”是“”的（ [endnoteRef:7] ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [7: 答案：A；]
已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　[endnoteRef:8]　) [8: 答案：15；]
现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　[endnoteRef:9]　)
A．9 B．10 C．19 D．29 [9: 答案：B；
解析　钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
]
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85% [endnoteRef:10] [10: 答案：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
]
用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_______[endnoteRef:11]_______． [11: 答案：an＝2n＋1；
解析　a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.]
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=﹣45，a4=﹣41，则Sn取得最小值时n的值为（[endnoteRef:12]　　）
A．23 B．24或25 C．24 D．25 [12: 答案：C；
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=﹣45，a4=﹣41，
∴，解得a1=﹣47，d=2，
∴Sn=﹣47n+=n2﹣48n=（n﹣24）2﹣576．
∴Sn取得最小值时n的值为24．
故选：C．
]
在首项为81，公差为－7的等差数列中，最接近零的是第( [endnoteRef:13] )项. [13: 答案：13；]
已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为(　[endnoteRef:14]　)
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15 [14: 答案：D；
解析　由a＋a＋2a3a8＝9得
(a3＋a8)2＝9，∵an<0，
∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.]
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．[endnoteRef:15] [15: 答案：解　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，
∵S12>0，S13<0，
∴即
∴－(2)∵S12>0，S13<0，
∴∴.
∴a6>0，
又由(1)知d<0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负．
∴数列前6项和最大．
]
《数列》专题4-3 等差中下
等差数列的前n项和为,若，则的值是（ [endnoteRef:16] ）
A．130 B．65 C．70 D．75 [16: 答案：A]
在等差数列中，，求及前项和；（[endnoteRef:17]） [17: 答案：=2n-1，；]
夏季高山上气温从山脚起每升高100 m降低0.7 ℃，已知山顶的气温是14.1 ℃，山脚的气温是26 ℃.那么，此山相对于山脚的高度是 （ [endnoteRef:18]）
A．1500 m B．1600 m C．1700 m D．1800 m [18: 答案：C]
为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，
当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910≈0.35.[endnoteRef:19] [19: 答案：解　(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)．
(2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即a≤，∴a≤12.3.
故2010年最多出口12.3吨．
]
传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是__[endnoteRef:20]____．
[20: 答案：55；
解析　三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.]
在等差数列中，，，以表示的前项和，则使达到最大值的是（ [endnoteRef:21] ）A．21 B．20 C．19 D．18 [21: 答案：B；]
首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 （ [endnoteRef:22] ）
A．d＞ B．d＜3 C．≤d＜3 D． ＜d≤3 [22: 答案：D；]
在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　[endnoteRef:23]　)
A．765 B．665 C．763 D．663 [23: 答案：B；
解析　∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.]
等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)可能在下列哪条曲线上(　[endnoteRef:24]　)．
[24: 答案：C；
解析　由Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n，及d<0，a1>0知，<0，a1－>0，排除A、B.对称轴n＝－＝>0，排除D.]
在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为__[endnoteRef:25]___． [25: 答案　10 000；
解析　由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝＝50×(25＋75＋100)＝10 000.
]
《数列》专题4-4 等差中下
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝21，则a2+a5＋a8＋a11＝[endnoteRef:26] ． [26: 答案：7]
在等差数列{an}中，若a3＋a9＋a15＋a21=8，则a12等于（ [endnoteRef:27] ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2 [27: 答案：C；]
《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 [endnoteRef:28] 升. [28: 答案：]
某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)[endnoteRef:29] [29: 答案：解　(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1 458(辆)．
(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
依据题意，得>，
于是Sn＝>5 000(辆)，即1.5n>.
两边取常用对数，则n·lg 1.5>lg ，
即n>≈7.3，又n∈N＋，因此n≥8.
所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
]
根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．[endnoteRef:30]
[30: 答案：解　图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.]
等差数列{an}中，已知a5> 0，a4 + a7 < 0，则{an}的前n项和Sn的最大值为（ [endnoteRef:31]）
A. S7 B. S6 C. S5 D. S4 [31: 答案：C]
若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝__[endnoteRef:32]______. [32: 答案：；
解析　设两个数列的公差分别为d1，d2，则
∴＝，∴＝＝.
]
一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是(　[endnoteRef:33]　) A．3 B．－3 C．－2 D．－1 [33: 答案：B；
解析　由
得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.]
已知等差数列{an}中，a32＋a82＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为 (　[endnoteRef:34]　)．
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15 [34: 答案：D；
解析　由a32＋a82＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.]
等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－am2＝0，S2m－1＝38，则m等于(　[endnoteRef:35]　)．
A．38 B．20 C．10 D．9 [35: 答案：C；
解析　因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－am2＝0，得：2am－am2＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.]
《数列》专题4-5 等差中下
在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　[endnoteRef:36]　)．
A．4 B．6 C．8 D．10 [36: 答案：C；
解析　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.]
在等差数列中，已知，则等于（ [endnoteRef:37] ）
A.4 B.5 C.6 D.7 [37: 答案：A；]
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值
为 （米）．（[endnoteRef:38]） [38: 答案：2000米]
现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)[endnoteRef:39] [39: 答案：解　甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63(万元)，
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42．63－25.94≈16.7(万元)．
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，
1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝＝32.50(万元)，
而贷款本利和为
1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×≈17.53(万元)．
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32．50－17.53≈15.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．]
把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．
根据以上排列规律，数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是_______[endnoteRef:40]_______. [40: 答案：－＋3；
解析　该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1 (n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行从左至右的第3个数为－＋3.]
设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(　[endnoteRef:41]　)
A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 [41: 答案：C；
解析　由S50.又S6＝S7 a7＝0，所以d<0.
由S7>S8 a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9
＝2(a7＋a8)<0即S9]
由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是(　[endnoteRef:42]　)． A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 [42: 答案：C；
解析　∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．]
在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为___[endnoteRef:43]____． [43: 答案：10；
解析　S奇＝＝165，S偶＝＝150.
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，∴n＝10.]
已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ [endnoteRef:44] ）
A.5 B.4 C. 3 D.2 [44: 答案：C；]
已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．
设（），则数列的前10项和等于（　 [endnoteRef:45]　）
A．55　　　　 B．70　　　　　C．85　　　　　D．100 [45: 答案：C；]
《数列》专题4-6 等差中下
已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为(　[endnoteRef:46]　)
A．12 B．8 C．6 D．4 [46: 答案：B；
解析　由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.
]
在等差数列中，前15项之和=90，则=（[endnoteRef:47]　 ） [47: 答案：6；]
有纯酒精a L(a>1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精____[endnoteRef:48]____L. [48: 答案：8；
解析　用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为＝1－，a2＝1－，加水后浓度为＝2，a3＝2，
依次类推：a9＝8，a10＝9.
∴8＋9＝8.
]
甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？[endnoteRef:49] [49: 答案：解　(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.
解之得n＝7，n＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有
2n＋＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．]
“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为 [endnoteRef:50] .
[50: 答案：134；]
已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　[endnoteRef:51]　)．
A．11或12 B．12 C．13 D．12或13 [51: 答案：D
解析　∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D.
]
首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是__[endnoteRef:52]______． [52: 答案：；
解析　设an＝－24＋(n－1)d，
由解得：等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是____[endnoteRef:53]____． [53: 答案：210；
解析　方法一　在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二　在等差数列中，，，成等差数列，∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.]
一个三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，则B的度数为（ [endnoteRef:54] ）
A. B. C. D. [54: 答案：C；]
数列{an}是等差数列，它的前n项和可以表示为（ [endnoteRef:55] ）
A. B.
C. D. [55: 答案：B；]
《数列》专题4-7 等差中下
设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(　[endnoteRef:56]　)
A．－182 B．－78 C．－148 D．－82 [56: 答案：D；
解析　a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
]
等差数列中，…，，则为（ [endnoteRef:57] ）
A． B． C． D． [57: 答案：C；]
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ [endnoteRef:58] ）
（A）①和 （B）⑨和⑩ (C) ⑨和 (D) ⑩和 [58: 答案：D]
如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝____[endnoteRef:59]____.
[59: 答案：；
解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，
∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
]
在等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝____[endnoteRef:60]____. [60: 答案　7或8
解析　在等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，
∵a5＝3a7，∴a1＋4d＝3(a1＋6d)，
∴a1＝－7d，∴Sn＝n(－7d)＋d＝(n2－15n)，
∴n＝7或8时，Sn取得最大值．
]
在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为(　[endnoteRef:61]　)． A. B．－ C．－ D．－1 [61: 答案　B；
解析　设插入的四个数为x，y，z，r，则新的数列为a1，x，a2，y，a3，z，a4，r，a5，共九项，∴d＝＝＝－.]
已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　[endnoteRef:62]　) A．2 B．3 C．4 D．5 [62: 答案：D；
解析　＝＝＝＝＝7＋，
∴n＝1,2,3,5,11.
]
设是公差为正数的等差数列，若，则（ [endnoteRef:63] ）
A． 120 B． 105 C． 90 D．75 [63: 答案：B；]
已知数列为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。[endnoteRef:64] [64: 答案：解：设
解得
注：等差数列有如下性质：若则。 ]
《数列》专题4-8 等差中下
设是等差数列，且则这个数列的前5项和S5= （ [endnoteRef:65]）
A．10 B．15 C．20 D．25
[65: 答案：D]
等差数列中，，，则此数列前20项和等于（ [endnoteRef:66] ）
A． B． C． D． [66: 答案：B；]
在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是____[endnoteRef:67]____． [67: 答案：1 473；
解析　100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝＝1 683.
100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.
∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为
S1－S2＝1 683－210＝1 473.
]
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　[endnoteRef:68]　)．
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 [68: 答案：C；
解析　由图形可得三角形数构成的数列通项an＝(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，而所给的选项中只有1 225满足a49＝＝b35＝352＝1 225.故选C.
]
等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是___[endnoteRef:69]___． [69: 答案：5或6；
解析　d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，
∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….
∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．]
已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝_____[endnoteRef:70]___. [70: 答案：；
解析　由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.
则＋＝2，∴d＝， ∴这4个根依次为，，，，
∴n＝×＝，m＝×＝或n＝，m＝， ∴|m－n|＝.
]
设数列是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ [endnoteRef:71] ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 [71: 答案：B；]
设正项数列{an}的前n项和为Sn，并且对于任意n∈N*，an与1的等差中项等于，求数列{an}的通项公式．[endnoteRef:72] [72: 答案：解　由题意知，＝，得：Sn＝. ∴a1＝S1＝1.
又∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝[(an＋1＋1)2－(an＋1)2]，∴(an＋1－1)2－(an＋1)2＝0，
即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，∵an>0，∴an＋1－an＝2，
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1.]
已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为 (　[endnoteRef:73]　)．
A．5 B．－5 C．－2.5 D．2.5 [73: 答案：C；
解析　由题意知S奇＋S偶＝75，又S偶＝25，
∴S奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S偶－S奇＝10d，即25－50＝10d，∴d＝－2.5.
]