《数列》专题15 数列分组求和 专题讲义（Word版含答案）

《数列》专题15-1 分组求和
（4套3页，含答案）
知识点：
分组求和： 出现等差数列与等比数列相加的数列，求和就和分组求和。把等差数列部分放在一起，等比数列部分放在一起，分别求和，然后再相加。
典型例题：
求数列的前项和（[endnoteRef:0]） [0: 答案：；]
求数列9，99 ，999　┄　的前n项的和 （[endnoteRef:1]） [1: 答案：；]
随堂练习：
（2021年福建G04莆田）（本题满分12分）已知在等比数列中，，且是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:2]）
（2）若数列满足，求的前项和. [2: 解：（I）设等比数列的公比为
是和的等差中项
……………………………………….2分
………………………………………4分 …………………………………6分
（II）
. ………8分
………9分
……….11分
……12分
]
设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.[endnoteRef:3] [3: 答案：解　(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.
所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)
(2)Sn＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.
]
求数列7，77 ，777，7777 …… 的前n项的和 （[endnoteRef:4]） [4: 答案：；]
若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，S50＝____[endnoteRef:5]____. [5: 答案　－25；
解析　S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25＝－25
]
《数列》专题15-2 分组求和
（2021年福建G05宁德）（12分）已知等比数列满足，．
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:6]）
（2）若，求数列的前n项和． [6: 18．本小题主要考查等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等．满分12分．
解法一：
（1）设的公比为q，由题意得
………………………………………………………………………2分
解得：………………………………………………………………………4分
所以…………………………………………………………………5分
（2）因为
所以………………………………………………6分
所以时，
……………………………………8分
时，………………………………9分
………………………………10分
………………………………………………………11分
所以………………………………………………………12分
解法二：
（1）同解法一
（2）因为
所以……………………………………………………6分
设数列的前n项和为
则
………………………………………………………………………8分
当时，…………………………………………………………9分
当时，
………………………………………11分
所以………………………………………………………12分
]
在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝____[endnoteRef:7]____. [7: 答案　
解析　∵{an}为等比数列，且a1＝，a4＝－4，
∴q3＝＝－8，∴q＝－2，∴an＝(－2)n－1，∴|an|＝2n－2，
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝＝.
]
已知数列，，求数列的前n项和.（[endnoteRef:8]）
[8: 答案：；]
《数列》专题15-3 分组求和
数列1，2，3，4，…的前n项和为(　[endnoteRef:9]　)
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－ C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2(1－) [9: 答案　A；
解析　1＋2＋3＋…＋(n＋)
＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)
＝＋
＝(n2＋n)＋1－
＝(n2＋n＋2)－.
]
设数列是公比为正数的等比数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.（[endnoteRef:10]）
[10: 【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）将题中的条件利用和公比列方程组求解，进而利用等比数列通项公式求出数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，然后利用分组求和法求出数列的前项和.
试题解析：（1）设数列的公比为，由，，
得，即．解得或，
∵，∴不合舍去，∴；
（2）∵数列是首项公差的等差数列，∴，
∴.
考点：1.等差数列与等比数列的通项公式；2.分组求和法
]
已知等比数列的前项和为， ，且，，成等差数列.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列前项和．（[endnoteRef:11]）
[11: 【答案】（1）；（2）=.
【解析】本试题主要是考查了数列通项公式的运用，以及求和的运用。
解：（1）设数列的公比为q，……………1分
若q=1，则，
，，故，与已知矛盾，故，……………2分
从而得，………………………………………………4分
由，，成等差数列，得，
解得……………………………………………5分
所以.………………………………………………6分
（2）由（１）得，，………………………………7分
所以
=……………………10分
…………………12分
]
《数列》专题15-4 分组求和
已知数列，求数列前项和.（[endnoteRef:12]） [12: 答案：；]
在各项均为负数的数列中，己知点在函数的图象上，且 ．
(1)求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)若数列的前项和为，且，求．（[endnoteRef:13]）
[13: 答案：（1）；（2）；
【解析】 (1)因为点在函数的图象上，且，所以，即，故数列是公比的等比数列．（2分）
因为，则，即，
由于数列的各项均为负数，则，
所以．（6分）
(2)由(1)知，，，（8分）
所以
．（12分）]
等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的值。（[endnoteRef:14]）
[14: 答案：（1）；（2）2101；
]
已知等差数列前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）令（）求数列前项和为（[endnoteRef:15]） [15: 【解析】本试题主要考查了数列的通项公式和前n项和的运用。第一问由
，可得首项和公差，然后得到
（2）利用第一问中的的结论得到，分组求和可知
]