《数列》专题19 数列分奇偶项求和 专题讲义（Word版含答案）

《数列》专题19-1 分奇偶项求和（中档）
（5套，4页，含答案）
知识点：
分奇偶项求和： 分奇偶项求和属于中档题型，容易出错。偶数项的和比较容易，分开两组，项数是或； 奇数项的和建议套公式：（n为奇数，n-1为偶数）。
典型例题：
设数列为等差数列，公差，其前n项的和为，已知:,且成等比数列。
（1）求数列的通项公式。
（2）设，求数列前n项和。（[endnoteRef:0]）（，奇偶） [0: 答案：，n为偶数，，n为奇数，；
分析：（1）所以，则
，所以
当n为偶数时
当n为奇数时
]
随堂练习1：
若数列的前项和满足（，）．
（1）证明：数列为等比数列，并求；
（2）若，（），求数列的前项和．[endnoteRef:1]
（，奇偶） [1: 答案：解：（1）由题意可知，即；
当时，，即；
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以．
（2）由（1）可知当时，从而
为偶数时，；
为奇数时，
，
综上，
]
随堂练习2：
已知数列的前项和为，，且，．
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．[endnoteRef:2]（，奇偶） [2: 答案：（本小题满分12分）
（1）法一：∵ ，
∴ -----------------2分
又
∴ 数列是首项为2，公差为1的等差数列 ------------------------3分
∴，即： ---------------4分
当时，，
当时，
∴ ， ------------------6分
法二：
，
即 ①
故 ②
②-①得：
化简得： -----------------2分
又由①可知，即
是首项为2，公差为2的等差数列， -----------------3分
-----------------4分
， -----------------5分
是首项为2，公差为1的等差数列. -----------------6分
（2）法一：解：由（Ⅰ）得：
设数列的前项和为，则 -----------7分
记，数列的前项和为
当时，，则
当时，
∴ ---------------------11分
∴ ----------------------12分
法二：由（1）知
设 ， ①
则 ②
- ②得 ------------8分
-----------------10分
又， -----------------11分
， -----------------12分
法三：由（1）知：由（1）知
-----------------8分
-----------------10分
又，-----------------11分
-----------------12分]
《数列》专题19-2 分奇偶项求和（中档）
数列且，若为数列的前项和，则[endnoteRef:3]____．（偶） [3: 【答案】；
【解析】数列且，
当为奇数时，；
当为偶数时，，所以，
．
故答案为．]
已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列求数的前项和.[endnoteRef:4]（，奇） [4: 答案：，；
解：（1）由条件可得：
消去得：，解得或（舍），所以，所以.
（2）由（1）得：
所以数列的前项和为：
]
已知数列的各项均为正数，且
（1）求；
（2）若，求数列的前项和[endnoteRef:5]（，奇偶）
[5: 【解析】由得，所以或...2分
又因为数列的各项均为正数，所以。
因为，所以 ................4分
法一： 由 ①
② ...............6分
得：
...............10分
...............12分
法二：
当为偶数时，
...............7分
当为奇数时，
..............10分
综上得： ............12分
（过程请酌情给分。）]
专题19-1答案：n为偶数，，n为奇数，；
《数列》专题19-3 分奇偶项求和（中档）
已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.（[endnoteRef:6]）（，，偶） [6: .答案：，.
解：(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，∴，
∴，，∴，.
(2)由(1)知，，∴，
∴=.]
已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:7]；奇偶）
（2）若数列满足，求数列的前项和. [7: 20．解：(1)设首项为，公差为d，则解得
（2）
当n为偶数时，
当n为奇数时，
]
《数列》专题19-4 分奇偶项求和（中档）
已知数列满足，，，则该数列的前23项的和为（ [endnoteRef:8] ） A．4194 B．4195 C．2046 D．2047（奇） [8: 【答案】A
【解析】当为偶数时，，有，即偶数项成等差，所以．
当为奇数时，，即奇数项成等比．
．
该数列的前23项的和为．故选A．]
已知数列的前项和为，且满足.()
（1）求数列的通项公式； （[endnoteRef:9]，偶）
（2）设（），求数列的前项和.
[9: 答案：解：（1）当时， …2分
（）， …………………………………3分
当时，由得， …………………………………4分
显然当时上式也适合，
∴ …………………………………5分
（2）∵ …………………………………6分
∴ …………………………………7分
…………………9分
…………………………………11分
…………………………………12分
]
已知是正项等差数列，，数列的前项和．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．（[endnoteRef:10]，奇偶） [10: 答案：（1）；（2）；
解：（Ⅰ）依题意，设（、是常数，且）……1分
，即……2分
，即……3分
解得（舍去），或，……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
……7分
为偶数时，……8分，
……9分
为奇数时，
……10分
……11分
所以，……12分
]
《数列》专题19-5 分奇偶项求和（中上）
（限理科）已知数列的前n项和为，且满足.
(1)求及；
(2)若，求的前2n项的和. （[endnoteRef:11]，，偶）
[11: 答案：（本小题满分12分）
【解析】（1）由得，，即，
所以. （2分）
又，所以以2为首项，2为公差的等差数列.
所以，故. （4分）
所以当时，，所以. （5分）
（2）由（1）知，
所以， （9分）
，所以. （12分）]
等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.（[endnoteRef:12]an＝2·3n－1；奇偶） [12: 20. 解：(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，
所以公比q＝3，
故an＝2·3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan
＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]
＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋
(－1)nn]ln3.
所以当n为偶数时，Sn＝2·＋ln3
＝3n＋ln3－1；
当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3
＝3n－ln3－ln2－1.
综上所述，Sn＝
]
已知等差数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.（[endnoteRef:13]）（，奇偶） [13: 解：(1).
（2）.，
]