《数列》专题18 数列裂项相消求和（中档）专题讲义（Word版含答案）

《数列》专题18-1 裂项相消求和（中档）
（4套5页，含答案）
知识点：
指数型裂项： 类似以下指数情况，可以裂项，具体裂成什么样子，可以用逆向思维解决： 正负摆动型裂项： 中间加法，前面有，也可以用裂项相消法，但要考虑总数是奇数还是偶数： 不用代式裂项： 出现以下类似情况，可以用，先进行化简，不用代入具体式子。 根式有理化型裂项： 出现以下情况，可以将其分母有理化，变成右侧式子： ；
典型例题：
在①；②；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知正项数列的前项和为，，满足 .
(1)求的通项公式；（[endnoteRef:0]）
(2)若为数列的前项和，记，求证：.（） [0: 20.解：
在横线上填写.解：即，（i）时，，即
（ii）时，，作差得，即
即，即
综上.
解：（i）时，，即
（ii）时，，作差得，又即
即，是以1为首项，2位公差的等差数列.则
同理，是以2为首项，2位公差的等差数列.则
综上.
（i）时，， （ii）时，，
作差得，又即.
综上.------------------------6分
（2），
所以-----------12分
]
已知，求数列{bn}的前项和Tn.（[endnoteRef:1]） [1: 答案：当n为奇数时，,当n为偶数时，； ]
已知等比数列的前n项和为Sn，，.
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:2]）（2）令，求数列的前n项和Tn. [2: 答案：
]
已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，Sn为an与的等差中项．
(1)求证：数列{S}为等差数列；（[endnoteRef:3]）
(2)设bn＝，求{bn}的前100项和T100.（an＝－） [3: 18．解析：(1)证明：由题意知2Sn＝an＋，
即2Snan－a＝1，　①
当n＝1时，由①式可得S1＝1，
又n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，
代入①式得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，
整理得S－S＝1，(n≥2)．
∴{S}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)可得S＝1＋n－1＝n，
∵{an}是各项都为正数，∴Sn＝，
∴an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，
又a1＝S＝1，也适合上式∴an＝－.
bn＝＝＝(－1)n(＋)，
T100＝－1＋(＋1)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝＝10.
∴{bn}的前100项和T100＝10.]
随堂练习：
已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn+2＝2an，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；（an＝2n）
（2）令bn，设数列{bn}的前项和为Tn，若Tn，求n的最小值.（[endnoteRef:4]）
[4: 【解析】（1）当n＝1时，S1+2＝2a1，解得a1＝2，
当n≥2时，Sn﹣1+2＝2an﹣1，∴Sn+2﹣（Sn﹣1+2）＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1
∴2，则{an}是以2为首项，2为公比的等比数列.故an＝2n.
（2）由（1）可得bn
∴Tn＝b1+b2+…+bn＝（1）+（）+…+（）＝1，
又Tn，即1，
∴2n+1＞2021，由于n∈N，∴n≥10，
故n的最小值为10.
]
已知，求数列{an}的前项和Sn.（[endnoteRef:5]） [5: 答案：当n为奇数时，,当n为偶数时，；]
已知数列中，，且．记，求证：
（1）是等比数列；（[endnoteRef:6]） （2）的前项和满足． [6: 解：（1）证明：由，得，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，，
于是，
因为，所以．
]
已知知，则的值为（ [endnoteRef:7] ）
A． B． C． D． [7: 答案：B； ]
《数列》专题18-2 裂项相消求和（中档）
已知数列的前项和为，且满足，，（），
记，数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围为[endnoteRef:8] ．
[8: 答案： ；]
已知正项数列满足：，数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列和的通项公式；（，；）
（2）设，数列的前项和为，求证：.（[endnoteRef:9]）
[9: 【解析】
试题分析：（1）解以为变量的一元二次方程得出数列的通项公式，利用与之间的关系利用作差法求出数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，方法一是将的前项和中的项一一配对并进行裂项展开，然后利用裂项法求，进而证明相应不等式；方法二是将数列中的每一项进行拆开，然后逐项求和，进而证明相应不等式.
试题解析：（1）由，得，
由于是正项数列，所以，
由可得当时，，两式相减得，
数列是首项为，公比的等比数列，；
（2），
方法一：
，
；
方法二：，
.
考点：1.数列的通项；2.裂项法求和
]
设为各项不相等的等差数列的前n 项和，已知，．
（1）求数列{}的通项公式；（）
（2）若，数列{}的前n 项和为Tn ，求的最小值。（[endnoteRef:10] ）
[10: 答案：解：（1）设的公差为，则由题意知……2分
解得（舍去）或， ……………4分
∴ ……………6分
(Ⅱ) …………8分
………10分
设 ，则
当且仅当时等号成立 ………11分
所以，的最小值为. ………12分]
《数列》专题18-3 裂项相消求和（中档）
已知等比数列满足：，公比，数列的前项和为，
且.
（1）求数列和数列的通项和；（，；）
（2）设，证明：.（[endnoteRef:11]）. [11: 【解析】
试题分析：（1）利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，然后先令求出的值，然后在的前提下，由得到，解法一是利用构造法得到
，构造数列为等比数列，求出该数列的通项公式，从而得出的通项公式；解法二是在的基础上得到，两边同除以得到，利用累加法得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式；（2）先求出的以及的表达式从而利用裂项法求出数列的前项和，进而证明相应的不等式.
（1）解法一：由，得，，
由上式结合得，
则当时，，
，
，
，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，；
解法二：由，得，，
由上式结合得，
则当时，，
，
，
，
，，
；
（2）由得，
，
.
考点：1.等比数列的通项公式；2.构造法求数列通项；3.裂项相消求和法
]
等比数列的各项均为正数，且。
（I）求数列的通项公式；（）
（II）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。（[endnoteRef:12]）
[12: 答案：（1）；（2）；
]
数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为 (　[endnoteRef:13]　)．
A．11 B．99 C．120 D．121 [13: 答案　C；
解析　∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
]
《数列》专题18-4 裂项相消求和（中档）
已知，点在函数的图象上，其中
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设数列的前项积为，求及数列的通项公式；（）
（3）已知是与的等差中项，数列的前项和为，求证：．（[endnoteRef:14]）
[14: 【解析】（１）按照等比数列的定义只需证明：为定值即可．
（２）根据（１）可求出其通项，进而求出的通项，从而可得积Ｔn的值，
及的通项公式.
(3)先根据是与的等差中项，求出，然后叠加求和即可证明．
解：（1）证明：由已知，∴ …2分
∵，两边取对数，得 …4分
∴是等比数列，公比为2，首项为 …5分
（2）由（1）得，∴ …6分
∵
…8分
∴ …9分
（3）∵
…11分
（另法：
）
∴
…12分
显然，∴
又，∴ …14分
]
数列的前项和满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（）
（2）设，求数列的前项和.（ [endnoteRef:15]）
[15: 答案：（1）由题意，当时，，又因为，且，则，所以，又成等差数列，则，所以，解得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）知，∴，
∴
.
]
已知递增等比数列满足：，数列的前项和为，
，记..
（1）求数列和的通项公式；（，[endnoteRef:16]）
（2）求数列的前n项和． [16: 18．【解析】（1），方程的两根，
，所以 …………2分
…………3分
当时，…………5分
，所以 …………6分
（2）
，…………10分
所以.…………12分
]