§2.4 幂函数[上学期]
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《高中数学·必修一》 课例 作者 平光宇
§2.4 幂函数
1．教学目标和要求：
（1）了解幂函数的概念，会画出幂函数，，，，
等的图像．根据上述幂函数的图像，了解幂函数的变化情况和性质（注：由于利用了几
何画板这个方便而快捷的画图工具，在下面的例题中，举了12个幂函数的例子来更详
细地观察幂函数的图像变化情况）。
（2）了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂的大小。
（3）能够类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．形成研究新函数的基本模式。
（4）进一步体会数形结合的思想。
2．教学内容分析：重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质；难点是画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．
3．教学对象分析：学生刚进入高中不久，抽象思维能力不强，要多用举例和类比的办
法帮助学生自然地建构新概念。培养学生具体－抽象－概括－具体的思维模式。
4．教学实施过程
一、引入概念
请看下面例子：
（1） 买菜，一元一kg，设买xkg菜需要的钱数是y，则y＝x；
（2） 设正方形的边长是x，面积是y，则y＝；
（3） 设正方体的棱长为x，体积为y，则；
（4） 设正方体的体积为x，棱长为y，则；
（5） 设矩形的面积是1，一边长是x，另一边长是y，则。
以上这些函数叫做幂函数。
一般地，形如（是常数）的函数叫做幂函数。
二、图像和性质
例1．写出下列函数的定义域，指出其奇偶性，并画出图像，再根据图像观察其单调性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；；
（10） ；
（11）；
（12）.
引导学生对
每一个函数先分析
它的定义域和奇偶
性，过哪些特殊点
等，想像图像是什
么样，再用几何画
板画图。最后归纳
总结幂函数的性
质。
小结：幂函数（是常数）的性质：
（1）当时，幂函数的图象通过原点（0，0）和点（1，1），并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（2）当时，幂函数的图象过点（1，1），在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋向于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
例2．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
（5），
（6），
提示：（5）、（6）需要先后使用幂函数和指数函数的单调性才能比较出两个数的大小。
略解：（5）。
（6）
巩固练习：（教材P73练习1－2题）．
（3） 作业布置
教材P73习题2．4 第1－5题。
5．课后反思：
幂函数由于指数的值不同而情况复杂，但教材只要求掌握给出指数值的情况，不要求掌
握一般情况，把握好难度的分寸很重要。另外，“几何画板”对于本节课特别有用，它的方
便、简单的画图功能在本节课中得到充分体现！
体会：用多媒体工具一定要适合教学内容特点。
6．课件（另附 几何画板）
说明：课前不需要画图像，几乎不需要提前做课件，只是设置了一个变数以便产生动画效果。几何画板就是一个画图平台，我们随时可以在上面画出任何函数的图像。由于是现场画图，并且只是“计算描点”，所以具有真实感，学生信服，便于接受。
2006-11-1
§2.4 幂函数
1．教学目标和要求：
（1）了解幂函数的概念，会画出幂函数，，，，
等的图像．根据上述幂函数的图像，了解幂函数的变化情况和性质（注：由于利用了几
何画板这个方便而快捷的画图工具，在下面的例题中，举了12个幂函数的例子来更详
细地观察幂函数的图像变化情况）。
（2）了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂的大小。
（3）能够类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．形成研究新函数的基本模式。
（4）进一步体会数形结合的思想。
2．教学内容分析：重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质；难点是画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．
3．教学对象分析：学生刚进入高中不久，抽象思维能力不强，要多用举例和类比的办
法帮助学生自然地建构新概念。培养学生具体－抽象－概括－具体的思维模式。
4．教学实施过程
一、引入概念
请看下面例子：
（1） 买菜，一元一kg，设买xkg菜需要的钱数是y，则y＝x；
（2） 设正方形的边长是x，面积是y，则y＝；
（3） 设正方体的棱长为x，体积为y，则；
（4） 设正方体的体积为x，棱长为y，则；
（5） 设矩形的面积是1，一边长是x，另一边长是y，则。
以上这些函数叫做幂函数。
一般地，形如（是常数）的函数叫做幂函数。
二、图像和性质
例1．写出下列函数的定义域，指出其奇偶性，并画出图像，再根据图像观察其单调性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；；
（10） ；
（11）；
（12）.
引导学生对
每一个函数先分析
它的定义域和奇偶
性，过哪些特殊点
等，想像图像是什
么样，再用几何画
板画图。最后归纳
总结幂函数的性
质。
小结：幂函数（是常数）的性质：
（1）当时，幂函数的图象通过原点（0，0）和点（1，1），并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（2）当时，幂函数的图象过点（1，1），在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋向于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
例2．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
（5），
（6），
提示：（5）、（6）需要先后使用幂函数和指数函数的单调性才能比较出两个数的大小。
略解：（5）。
（6）
巩固练习：（教材P73练习1－2题）．
（3） 作业布置
教材P73习题2．4 第1－5题。
5．课后反思：
幂函数由于指数的值不同而情况复杂，但教材只要求掌握给出指数值的情况，不要求掌
握一般情况，把握好难度的分寸很重要。另外，“几何画板”对于本节课特别有用，它的方
便、简单的画图功能在本节课中得到充分体现！
体会：用多媒体工具一定要适合教学内容特点。
6．课件（另附 几何画板）
说明：课前不需要画图像，几乎不需要提前做课件，只是设置了一个变数以便产生动画效果。几何画板就是一个画图平台，我们随时可以在上面画出任何函数的图像。由于是现场画图，并且只是“计算描点”，所以具有真实感，学生信服，便于接受。
2006-11-1