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高中数学人教A版（2019）必修一 2.2.1 等式性质与不等式性质
一、单选题
1．（2020高二上·娄底期中）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】 ， ，
， ，
.
又 ，故 ，
综上可得： 。
故答案为：B.
【分析】利用平方差公式结合不等式比较大小的方法，再利用作差法，从而比较出a，b，c的大小。
2．（2021高二上·泾阳期中）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖 ，再添加m克糖（ ，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜，
所以糖水的浓度 ，
再添加m克糖，即浓度 ，
将糖水变甜．则 ，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】根据不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出答案。
3．（2022高一上·宝安期末）设a，bR，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，则，所以，即，A不符合题意；
因为，所以，则，
所以，即，
∴，，即，B不符合题意；
∵由，因为，所以，又因为，所以，即，C不符合题意；
由可得，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质即可判断.
4．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d
对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
5．（2021高一上·迁安期中）已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】当 时， ，A不一定成立；
当 时B不成立
由 可得 ，C一定成立
当 时 ，D不一定成立
故答案为：C
【分析】考查不等式的性质，可以直接用特殊值进行排除。
6．（2021高二上·靖远期末）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．P，Q的大小关系不确定
【答案】A
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，，则，所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合作差法，从而比较出P，Q的大小。
7．（2021高一上·郑州期中）已知 ，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】根据题意，
D符合题意，ABC不符合题意.
故答案为：D.
【分析】要比较M和N的大小，只需作差，然后变形，判断符号即可。
8．（2020高二上·洛阳期末）设 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为 ，
所以 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而比较出M，N的大小。
9．（2022高一下·深圳期中）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式比较大小；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当a>1时，，所以 成立，故充分性成立；
当时，，解得a<0或a>1，故必要性不成立；
综上可得， “ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B
【分析】由不等式的性质，结合作差法，以及分式不等式的求解，根据充分必要条件的判定，求解即可.
10．（2021高一上·湖州期中）命题“ ”的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A. 当时，满足a2B. 当时，满足 ，推不出bC. 当c=0时，bD. 因 ，故充要，
故选：D
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合不等式的基本性质求解即可.
11．（2021高一上·新乡期中）若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】由 ，
，
．
故答案为：A
【分析】先将用a-b和a+2b表示，再结合不等式的性质即可。
二、填空题
12．设 ， ， ，则M与N的大小关系为 .
【答案】M＞N
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】
，
故答案为：M＞N.
【分析】利用作差法和不等式的性质即可得到答案。
13．设 ， ，则 的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】
【分析】由于a，b都是正数，平方后即可比较出大小.
三、解答题
14．已知 试比较 与 的大小.
【答案】
， ， ， ，
，
即 .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而比较出 与 的大小。
15．（2020高一上·浦东期末）设 、 为实数，比较 与 的值的大小.
【答案】解：由于 、 为实数，则 ，
当且仅当 时，等号成立.
因此， .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】通过作差配方即可比较出大小关系。
16．（2020高一上·福建月考）
（1）比较 与 的大小.
（2）已知 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）解： .
又 ，
，
（2）解：令 .
∴
解得
∴ .
∵ ，∴ .
又 ，∴ .
故 的取值范围为
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）利用作差法得到 ，再比较 、 的大小，将两式平方之后再作差即可得出结论.（2）用待定系数法，令 ,即可求解.
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高中数学人教A版（2019）必修一 2.2.1 等式性质与不等式性质
一、单选题
1．（2020高二上·娄底期中）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·泾阳期中）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖 ，再添加m克糖（ ，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高一上·宝安期末）设a，bR，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021高一上·迁安期中）已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高二上·靖远期末）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．P，Q的大小关系不确定
7．（2021高一上·郑州期中）已知 ，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·洛阳期末）设 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．（2022高一下·深圳期中）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2021高一上·湖州期中）命题“ ”的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021高一上·新乡期中）若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．设 ， ， ，则M与N的大小关系为 .
13．设 ， ，则 的大小关系为 ．
三、解答题
14．已知 试比较 与 的大小.
15．（2020高一上·浦东期末）设 、 为实数，比较 与 的值的大小.
16．（2020高一上·福建月考）
（1）比较 与 的大小.
（2）已知 ， ，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】 ， ，
， ，
.
又 ，故 ，
综上可得： 。
故答案为：B.
【分析】利用平方差公式结合不等式比较大小的方法，再利用作差法，从而比较出a，b，c的大小。
2．【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜，
所以糖水的浓度 ，
再添加m克糖，即浓度 ，
将糖水变甜．则 ，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】根据不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，则，所以，即，A不符合题意；
因为，所以，则，
所以，即，
∴，，即，B不符合题意；
∵由，因为，所以，又因为，所以，即，C不符合题意；
由可得，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质即可判断.
4．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
5．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】当 时， ，A不一定成立；
当 时B不成立
由 可得 ，C一定成立
当 时 ，D不一定成立
故答案为：C
【分析】考查不等式的性质，可以直接用特殊值进行排除。
6．【答案】A
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，，则，所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合作差法，从而比较出P，Q的大小。
7．【答案】D
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】根据题意，
D符合题意，ABC不符合题意.
故答案为：D.
【分析】要比较M和N的大小，只需作差，然后变形，判断符号即可。
8．【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为 ，
所以 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而比较出M，N的大小。
9．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式比较大小；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当a>1时，，所以 成立，故充分性成立；
当时，，解得a<0或a>1，故必要性不成立；
综上可得， “ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B
【分析】由不等式的性质，结合作差法，以及分式不等式的求解，根据充分必要条件的判定，求解即可.
10．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A. 当时，满足a2B. 当时，满足 ，推不出bC. 当c=0时，bD. 因 ，故充要，
故选：D
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合不等式的基本性质求解即可.
11．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】由 ，
，
．
故答案为：A
【分析】先将用a-b和a+2b表示，再结合不等式的性质即可。
12．【答案】M＞N
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】
，
故答案为：M＞N.
【分析】利用作差法和不等式的性质即可得到答案。
13．【答案】
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】
【分析】由于a，b都是正数，平方后即可比较出大小.
14．【答案】
， ， ， ，
，
即 .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而比较出 与 的大小。
15．【答案】解：由于 、 为实数，则 ，
当且仅当 时，等号成立.
因此， .
【知识点】不等式比较大小
【解析】【分析】通过作差配方即可比较出大小关系。
16．【答案】（1）解： .
又 ，
，
（2）解：令 .
∴
解得
∴ .
∵ ，∴ .
又 ，∴ .
故 的取值范围为
【知识点】不等式比较大小；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）利用作差法得到 ，再比较 、 的大小，将两式平方之后再作差即可得出结论.（2）用待定系数法，令 ,即可求解.
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