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高中数学人教A版（2019）必修一 2.2.2 基本不等式
一、单选题
1．（2022高二下·杭州期末）正实数a，b满足ab=1，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意得：， ，故，
当且仅当时取等号，
故答案为：B
【分析】利用基本不等式，可直接求得答案.
2．（2022高一上·吉林期末）已知，则函数的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题设，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴函数最小值为.
故答案为：D.
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解函数的最小值.
3．（2020高一上·淄博期末）已知实数 ，则 的最小值是（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，则 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是24.
故答案为：A.
【分析】 ，利用基本不等式的性质，即可求得最小值.
4．（2022高一上·南山期末）已知，则的最大值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故答案为：C
【分析】利用基本不等式即可求解.
5．（2022·上饶模拟）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：A.
【分析】由，展开后利用基本不等式即可求出 的最小值 。
6．（2022·鞍山模拟）已知正实数a、b满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，当且仅当时等号成立.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，再利用基本不等式求出 的最小值 。
7．（2022高二下·双鸭山期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
∴，
当且仅当x=y=3取得等号，则x+2y的最小值为9.
故选：C
【分析】由题得 ，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
8．（2021高一上·新郑月考）下列函数中最小值为 的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时， D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于 ， ，如果 时， ，故 不符合题意；
对于 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 正确；
对于 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以其最小值为0，故 错误；
对于 ， ，当且仅当 即此时无解，这表明最小值4取不到，故 错误．
故答案为：B．
【分析】根据题意首先整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
9．（2021高一下·自贡期末）某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为克，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．以上都可能
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】设天平的左臂长为，右臂长为，且，设第一次第二次分别称得的中药为克，克，则，，从而，当且仅当，即时，等号成立，由于，所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出m的取值范围，从而找出结论正确的选项。
二、填空题
10．（2022高一上·虹口期末）已知，则的最大值为 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以的最大值为4。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出 的最大值 。
11．（2021高一上·景德镇期中）函数 的最小值为 ，此时的x的取值为 .
【答案】6；1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以由基本不等式 得：
，当且仅当 ，即 时取到等号
故答案为：6，1
【分析】 根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可.
12．（2021高一上·湖北月考）已知 ，则 的最大值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题设， ，则 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ 的最大值为 。
故答案为： 。
【分析】由 得出，再利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最大值 。
13．（2022高二下·云浮期末）已知，则的最小值为 .
【答案】9
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为9.
故答案为：9.
【分析】，展开后利用基本不等式可求出最值.
14．（2022高二下·茂名期末）已知，且，则的最小值为 .
【答案】8
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵，
∴，当且仅当时取等号，
，
，即，
∴的最小值为8.
故答案为：8．
【分析】由，，求解可得答案.
15．（2022·日照模拟）已知第一象限的点 在直线 上，则 的最小值是 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为第一象限的点 在直线 上，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
故答案为： .
【分析】由第一象限的点 在直线 上，可知 ，，利用基本不等式可求出 的最小值 。
16．（2022·福建模拟）要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，已知该容器的底面每平方米的造价是300元，侧面每平方米的造价是200元，则该容器的最低总造价为 元.
【答案】5100
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题知，长方体容器的容积为，高为
所以长方体容器的底面积为
设该容器底面长为，则宽为
该容器的4个侧面面积为：，，，
设总造价为元，则
即元，当且仅当，即时，取等号.
所以该容器的最低总造价为5100元.
故答案为：5100.
【分析】设该容器底面长为，则宽为，总造价为元，，利用基本不等式求最值可得该容器的最低总造价。
三、解答题
17．（2021高一上·河南月考）已知 ， ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值．
【答案】（1）由 得 ，
又 ， ，则 ，得 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
（2）由 得 ，
则 ，
当且仅当 且 ，即 且 时等号成立，
所以 的最小值为6．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出代数式的最小值。
(2)首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出代数式的最小值。
18．（2021高二上·洛阳期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 ，宽为 .
（1）若菜园面积为 ，则 ， 为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为 ，求 的最小值.
【答案】（1）解：由已知可得 ，而篱笆总长为 ；
又因为 ，
当且仅当 时，即 ， 时等号成立.
所以菜园的长 为 ，宽 为 时，可使所用篱笆总长最小；
（2）解：由已知得 ，
所以
，
当且仅当 时取等号，即 时等号成立.
所以 的最小值是 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由已知条件整理化简结合，基本不等式即可求出面积的最小值。
(2)首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出代数式的最小值。
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高中数学人教A版（2019）必修一 2.2.2 基本不等式
一、单选题
1．（2022高二下·杭州期末）正实数a，b满足ab=1，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
2．（2022高一上·吉林期末）已知，则函数的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2020高一上·淄博期末）已知实数 ，则 的最小值是（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
4．（2022高一上·南山期末）已知，则的最大值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
5．（2022·上饶模拟）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．6
6．（2022·鞍山模拟）已知正实数a、b满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．9
7．（2022高二下·双鸭山期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
8．（2021高一上·新郑月考）下列函数中最小值为 的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时， D．
9．（2021高一下·自贡期末）某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为克，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．以上都可能
二、填空题
10．（2022高一上·虹口期末）已知，则的最大值为 ．
11．（2021高一上·景德镇期中）函数 的最小值为 ，此时的x的取值为 .
12．（2021高一上·湖北月考）已知 ，则 的最大值为 .
13．（2022高二下·云浮期末）已知，则的最小值为 .
14．（2022高二下·茂名期末）已知，且，则的最小值为 .
15．（2022·日照模拟）已知第一象限的点 在直线 上，则 的最小值是 .
16．（2022·福建模拟）要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，已知该容器的底面每平方米的造价是300元，侧面每平方米的造价是200元，则该容器的最低总造价为 元.
三、解答题
17．（2021高一上·河南月考）已知 ， ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值．
18．（2021高二上·洛阳期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 ，宽为 .
（1）若菜园面积为 ，则 ， 为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为 ，求 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意得：， ，故，
当且仅当时取等号，
故答案为：B
【分析】利用基本不等式，可直接求得答案.
2．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题设，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴函数最小值为.
故答案为：D.
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解函数的最小值.
3．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，则 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是24.
故答案为：A.
【分析】 ，利用基本不等式的性质，即可求得最小值.
4．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故答案为：C
【分析】利用基本不等式即可求解.
5．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：A.
【分析】由，展开后利用基本不等式即可求出 的最小值 。
6．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，当且仅当时等号成立.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，再利用基本不等式求出 的最小值 。
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
∴，
当且仅当x=y=3取得等号，则x+2y的最小值为9.
故选：C
【分析】由题得 ，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于 ， ，如果 时， ，故 不符合题意；
对于 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 正确；
对于 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以其最小值为0，故 错误；
对于 ， ，当且仅当 即此时无解，这表明最小值4取不到，故 错误．
故答案为：B．
【分析】根据题意首先整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】设天平的左臂长为，右臂长为，且，设第一次第二次分别称得的中药为克，克，则，，从而，当且仅当，即时，等号成立，由于，所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出m的取值范围，从而找出结论正确的选项。
10．【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以的最大值为4。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出 的最大值 。
11．【答案】6；1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以由基本不等式 得：
，当且仅当 ，即 时取到等号
故答案为：6，1
【分析】 根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可.
12．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题设， ，则 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ 的最大值为 。
故答案为： 。
【分析】由 得出，再利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最大值 。
13．【答案】9
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为9.
故答案为：9.
【分析】，展开后利用基本不等式可求出最值.
14．【答案】8
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵，
∴，当且仅当时取等号，
，
，即，
∴的最小值为8.
故答案为：8．
【分析】由，，求解可得答案.
15．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为第一象限的点 在直线 上，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
故答案为： .
【分析】由第一象限的点 在直线 上，可知 ，，利用基本不等式可求出 的最小值 。
16．【答案】5100
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题知，长方体容器的容积为，高为
所以长方体容器的底面积为
设该容器底面长为，则宽为
该容器的4个侧面面积为：，，，
设总造价为元，则
即元，当且仅当，即时，取等号.
所以该容器的最低总造价为5100元.
故答案为：5100.
【分析】设该容器底面长为，则宽为，总造价为元，，利用基本不等式求最值可得该容器的最低总造价。
17．【答案】（1）由 得 ，
又 ， ，则 ，得 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
（2）由 得 ，
则 ，
当且仅当 且 ，即 且 时等号成立，
所以 的最小值为6．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出代数式的最小值。
(2)首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出代数式的最小值。
18．【答案】（1）解：由已知可得 ，而篱笆总长为 ；
又因为 ，
当且仅当 时，即 ， 时等号成立.
所以菜园的长 为 ，宽 为 时，可使所用篱笆总长最小；
（2）解：由已知得 ，
所以
，
当且仅当 时取等号，即 时等号成立.
所以 的最小值是 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由已知条件整理化简结合，基本不等式即可求出面积的最小值。
(2)首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出代数式的最小值。
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