高中数学人教A版（2019）必修一 2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1．（2020高一下·大庆期中）不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
2．设集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安康模拟）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·滁州模拟）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·江西模拟）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·河东模拟）已知命题，命题，则命题p是命题q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2021高一上·兰州期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
8．（2016高二上·三原期中）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合（ ）
A．{a|a≤2} B．{a|﹣2＜a＜2}
C．{a|﹣2＜a≤2} D．{a|a≤﹣2}
二、填空题
9．（2020高二上·天河期末）不等式 的解集为 .
10．（2021高一上·邯郸期中）若不等式 的解集为 ，则a+b= .
11．（2020高二上·莆田月考）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为 ．
12．（2022·怀化模拟）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是 .
13．（2022高二下·自贡期末）若命题p：，为真命题，则实数a的取值范围为 .
三、解答题
14．（2022高一上·海淀期末）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
15．（2021高一下·四川期末）关于x的不等式： .
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 可得 ，所以 或
故答案为：B
【分析】直接解出即可.
2．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【分析】，，所以=.故选D.
3．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由题解出两个集合的不等式得： 或 ，所以 .
故答案为：A
【分析】解一元二次不等式得到集合A，B，再根据交集的定义取交集即可.
4．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】
所以
所以
故答案为：B
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，再由交集和补集的定义结合不等式即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由题得，
则﹒
故答案为：A．
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此得出集合A，然后由并集的定义结合不等式即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解不等式，可得，
又，
所以命题是命题成立的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】关于的一元二次不等式的解集为，
所以，解得，
故答案为：B.
【分析】根据题意首先由一元二次不等式与一元二次方程的关系，解不等式的解集即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。
8．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：①a=2时，不等式化为﹣4＜0对一切x∈R恒成立，因此a=2满足题意；
②a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则必有 解得﹣2＜a＜2．
综上①②可知：实数a取值的集合是{a|﹣2＜a≤2}．
故选C．
【分析】先对二次项的系数a﹣2分类讨论，进而利用一元二次不等式的解法解出即可．
9．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： .
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求出不等式 的解集。
10．【答案】5
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】由题意可得-2，3是方程ax2+x+b=0的两个根，
则 ，解得 ，A+b=5.
故答案为：5
【分析】利用已知条件结合一元二次方程根与系数的关系即可求解.
11．【答案】（﹣1，﹣ ）
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：由题意得：a＞0，﹣ =1+3=4， =1×3=3，
即b=﹣4a，c=3a，故不等式cx2﹣bx+a＜0可化为：3x2+4x+1＜0，
化简得（3x+1）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜﹣ ．
∴所求不等式的解集为（﹣1，﹣ ），
故答案为（﹣1，﹣ ）．
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法，结合韦达定理即可求出a与b的关系从而得到不等式，求接触不等式的解集即可。
12．【答案】[2，+∞)
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：[2，+∞)．
【分析】 先解一元二次不等式求出x的范围，再利用充分不必要条件的定义求解出 a的取值范围 .
13．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】当时，不满足题意；
∴，，则且，解得.
故答案为：[，+∞）.
【分析】根据二次不等式恒成立进行求解即可.
14．【答案】（1）解：由得或.
所以.
当时，.
所以.
（2）解：由题意知].又，
因为，
所以.
所以.
所以实数的取值范围是
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)根据题意首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，进而得出集合A和B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
(2)由已知条件结合题意由不等式的性质即可得出关于a的不等式，求解出a的取值范围，由此即可得出答案。
15．【答案】（1）当 时，原不等式化为 ，
∵方程 的实数根为 ，
∴原不等式的解集为 或 ．
（2）∵不等式对一切实数恒成立，
∴ ，
即 ，
∵方程 的实数根为 和 ，
∴
所以 的取值范围为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法，结合不等式恒成立问题求解即可.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修一 2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1．（2020高一下·大庆期中）不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 可得 ，所以 或
故答案为：B
【分析】直接解出即可.
2．设集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【分析】，，所以=.故选D.
3．（2022·安康模拟）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由题解出两个集合的不等式得： 或 ，所以 .
故答案为：A
【分析】解一元二次不等式得到集合A，B，再根据交集的定义取交集即可.
4．（2022·滁州模拟）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】
所以
所以
故答案为：B
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，再由交集和补集的定义结合不等式即可得出答案。
5．（2022·江西模拟）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由题得，
则﹒
故答案为：A．
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此得出集合A，然后由并集的定义结合不等式即可得出答案。
6．（2022·河东模拟）已知命题，命题，则命题p是命题q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解不等式，可得，
又，
所以命题是命题成立的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
7．（2021高一上·兰州期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】关于的一元二次不等式的解集为，
所以，解得，
故答案为：B.
【分析】根据题意首先由一元二次不等式与一元二次方程的关系，解不等式的解集即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。
8．（2016高二上·三原期中）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合（ ）
A．{a|a≤2} B．{a|﹣2＜a＜2}
C．{a|﹣2＜a≤2} D．{a|a≤﹣2}
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：①a=2时，不等式化为﹣4＜0对一切x∈R恒成立，因此a=2满足题意；
②a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则必有 解得﹣2＜a＜2．
综上①②可知：实数a取值的集合是{a|﹣2＜a≤2}．
故选C．
【分析】先对二次项的系数a﹣2分类讨论，进而利用一元二次不等式的解法解出即可．
二、填空题
9．（2020高二上·天河期末）不等式 的解集为 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： .
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求出不等式 的解集。
10．（2021高一上·邯郸期中）若不等式 的解集为 ，则a+b= .
【答案】5
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】由题意可得-2，3是方程ax2+x+b=0的两个根，
则 ，解得 ，A+b=5.
故答案为：5
【分析】利用已知条件结合一元二次方程根与系数的关系即可求解.
11．（2020高二上·莆田月考）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为 ．
【答案】（﹣1，﹣ ）
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：由题意得：a＞0，﹣ =1+3=4， =1×3=3，
即b=﹣4a，c=3a，故不等式cx2﹣bx+a＜0可化为：3x2+4x+1＜0，
化简得（3x+1）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜﹣ ．
∴所求不等式的解集为（﹣1，﹣ ），
故答案为（﹣1，﹣ ）．
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法，结合韦达定理即可求出a与b的关系从而得到不等式，求接触不等式的解集即可。
12．（2022·怀化模拟）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是 .
【答案】[2，+∞)
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：[2，+∞)．
【分析】 先解一元二次不等式求出x的范围，再利用充分不必要条件的定义求解出 a的取值范围 .
13．（2022高二下·自贡期末）若命题p：，为真命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】当时，不满足题意；
∴，，则且，解得.
故答案为：[，+∞）.
【分析】根据二次不等式恒成立进行求解即可.
三、解答题
14．（2022高一上·海淀期末）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：由得或.
所以.
当时，.
所以.
（2）解：由题意知].又，
因为，
所以.
所以.
所以实数的取值范围是
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)根据题意首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，进而得出集合A和B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
(2)由已知条件结合题意由不等式的性质即可得出关于a的不等式，求解出a的取值范围，由此即可得出答案。
15．（2021高一下·四川期末）关于x的不等式： .
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）当 时，原不等式化为 ，
∵方程 的实数根为 ，
∴原不等式的解集为 或 ．
（2）∵不等式对一切实数恒成立，
∴ ，
即 ，
∵方程 的实数根为 和 ，
∴
所以 的取值范围为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法，结合不等式恒成立问题求解即可.
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