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高中数学人教A版（2019）必修一 3.1.1 函数的概念
一、单选题
1．（2020高三上·山东月考）下列关于 ， 的关系中为函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
2
3
4
0
0
-6
11
【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】对于A，因为不等式组 解集为 ，而函数的定义域不能为空集，A不是函数；
对于B，因为 ，即 ，一个 ，有两个 值与之对应，不能满足函数的定义，B不是函数；
对于C， 当 时， 或 ，不能满足函数的定义，C不是函数；
对于D，满足构成函数的要素，D是函数，
故答案为：D．
【分析】由函数的定义，任意的x有唯一的y的值与其对应，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。
2．（2021高一上·洛阳期中）学习了函数的概念后，对于构成函数的要素：定义域 对应关系和值域，甲 乙 丙三个同学得出了各自的判断：
甲：存在函数，，它们的定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
乙：存在函数，，它们的定义域相同，对应关系相同，但值域不同；
丙：存在函数，，它们的对应关系相同，值域相同，但定义域不同.
上述三个判断中，正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】甲：，，两个函数的定义域和值域相同，但对应关系不同，故甲正确；
乙：根据函数相等的定义可知，若两个函数的定义域相同，对应关系相同，值域一定相同，故乙错误；
丙：，，两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，故丙正确.
故答案为：B
【分析】根据判断两个函数是否是同一个函数的条件：定义域和对应法则相同，对选项逐一分析即可得出答案。
3．（2021高一上·浦城期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为，
所以，
解得且。
故答案为：B
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法和分式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，从而求出函数 的定义域 。
4．（2021高一上·缙云月考）设全集，函数的定义域为A，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】补集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由函数得，解得，所以，所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，从而求出集合A，再利用补集的运算法则，从而求出集合A的补集。
5．（2020高二上·湖南月考）函数 的定义域为（ ）
A．[- ，1] B．[-1， ]
C．(-∞，- ]∪[1，+∞) D．(-∞，-1]∪[ ，+∞)
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由 ，得 ，
所以原函数的定义域为[- ，1]。
故答案为：A
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出函数 的定义域 。
6．（2022高二下·温州期末）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】A中，的定义域为，的定义域为R，A不符合题意；
B中，，B符合题意；
C中，的定义域为R，的定义域为，C不符合题意；
D中，的定义域为，由可得的定义域为，D不符合题意.
故答案为：B
【分析】 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可得答案.
7．（2021高一上·成都期末）下列函数表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】对于A选项，定义域为，定义域为，
故两个函数不是同一函数；
对于B选项与两者的对应法则不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数的定义域为，函数定义域为，
故两者不是同一函数；
对于D选项，定义域为，函数定义域为，对应法则相同，故两个函数是同一函数；
故答案为：D.
【分析】 判断两个函数是否为同一函数，就看定义域和对应法则是否都相同，从而可化简各选项的函数解析式，逐项进行判断可得答案。
8．（2022高二下·玉林期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故答案为：A.
【分析】根据求解即可.
9．（2020高一上·贵溪月考）若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】 函数 的定义域是 ，
的定义域须满足，
，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
故答案为：C.
【分析】利用函数 的定义域是 结合分式函数求定义域的方法，从而结合换元法结合交集的运算法则，从而求出函数 的定义域。
10．（2019高一上·河南月考）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为函数 的定义域为 ，即
即函数的定义域为：
故答案为：A
【分析】因为函数 的定义域为 ，由此求出x的范围，再求出x-1的范围，即为 的定义域.
11．（2021高一上·徐州期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意，解得．
故答案为：D．
【分析】根据抽象函数的定义域求法，列出不等式组，求解可得答案。
12．（2020高一上·天津期中）已知函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（ ）
A．[0， ] B．[-1，4] C．[-5，5] D．[-3，7]
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则 ，
所以 ，解得 ，
所以函数的定义域为[0， ]，
故答案为：A。
【分析】利用函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]结合换元法求出函数f(x)的定义域，再利用换元法求出函数 y=f（2x-1）中x的取值范围，从而求出函数 y=f（2x-1）的定义域。
13．（2021高一上·缙云月考）若，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由，有。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。
14．（2021高一上·信阳期中）已知，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】，设，，则，
故。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。
15．（2020高一上·商洛期末）若函数 满足 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由 ，可得 ，
联立两式可得 ，代入 可得 .
故答案为：D.
【分析】 利用已知的关系，得到，联立求出f(x)，将x=2代入即可求得答案.
16．（2021高一上·开封期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由 ，得
，解得 .
故答案为：A.
【分析】由已知条件把-x代入函数的解析式，整理化简即可得出函数f(x)的解析式。
二、填空题
17．（2022·北京）函数 的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
18．（2021高一上·兰州期末）函数的定义域是 ，值域是 .
【答案】[-1，3]；[0，2]
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】对于函数，有，即，解得，
且.
因此，函数的定义域为[-1，3]，值域为[0，2].
故答案为：[-1，3]，[0，2]
【分析】根据题意由函数定义域的求法：被开方数大于等于零即可求出x的取值范围，即函数的定义域，再结合二次函数的图象和性质，即可求出函数的值域。
19．（2020高一上·唐山期中）若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意，函数 的定义域是 ，即 ，
则函数 满足 ，解得 ，
即函数 的定义域是 .
故答案为： .
【分析】结合函数定义域首先求出f(2x-1)的x的取值范围，再由分母不为零，被开方数大于等于零得到关于x的不等式组求解出x的取值范围，由此求出两种情况下x的取值范围的交集即为答案。
20．（2020高一上·怀仁期中）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为函数 的定义域为 ，所以 ；即函数 的定义域为 ；由 解得 ，因此 的定义域为 ，故答案为 。
【分析】利用换元法结合已知条件求出函数 的定义域，再利用换元法结合已知条件求出函数 的定义域。
21．（2020高一上·湖北期末）已知定义域为R的函数 满足 ，则 .
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
同除以2得 ，
两式相加可得 ，即 。
故答案为： 。
【分析】因为 ，结合相反数的性质，所以 ，同除以2得 ，两式相加可得函数的解析式。
22．（2020高一上·赣县月考）已知 , 则 的解析式为 .
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令 ，则 ，代入原函数得： = ，所以 的解析式为 .
故答案为 .
【分析】令 ，则 ，将t代入原函数替换x则可求得解析式.
三、解答题
23．（2021高一上·信阳期中）
（1）已知是一次函数，且，求.
（2）已知，求；
【答案】（1）设，则，
∴.∴，∴或
∴或.
（2）令，则，且，
∴.
故所求的函数.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一次函数的解析式，从而结合代入法求出函数f(x)的解析式。
（2）利用已知条件结合换元法，从而求出函数f(x)的解析式。
24．（2020高一上·云县期末）某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第x天进入该商场的人次 （单位：百人）近似满足 ． 而人均消费g（x）（单位：元）与时间x成一次函数，且第5天的人均 消费为600元，最后一天的人均消费为800元．
（1）求该商场的日收入y（单位：元）与时间x的函数关系式；
（2）求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．
【答案】（1）设 ，
由题意可得
解得
则 ，
故
．
（2）因为 x > 0 ，
所以 ，当且仅当 x = 5 时，等号成立，
则 ，
故该商场第 5 天的日收入最少，且日收入的最小值为 360000 元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】 (1) 设 ，利用待定系数法求出函数g(x)的解析式，再利用y=f (x)g (x)即可求出该商场的日收入y(单位：元)与时间x的函数关系式；
(2)利用基本不等式即可求出y的最小值.
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高中数学人教A版（2019）必修一 3.1.1 函数的概念
一、单选题
1．（2020高三上·山东月考）下列关于 ， 的关系中为函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
2
3
4
0
0
-6
11
2．（2021高一上·洛阳期中）学习了函数的概念后，对于构成函数的要素：定义域 对应关系和值域，甲 乙 丙三个同学得出了各自的判断：
甲：存在函数，，它们的定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
乙：存在函数，，它们的定义域相同，对应关系相同，但值域不同；
丙：存在函数，，它们的对应关系相同，值域相同，但定义域不同.
上述三个判断中，正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2021高一上·浦城期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021高一上·缙云月考）设全集，函数的定义域为A，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高二上·湖南月考）函数 的定义域为（ ）
A．[- ，1] B．[-1， ]
C．(-∞，- ]∪[1，+∞) D．(-∞，-1]∪[ ，+∞)
6．（2022高二下·温州期末）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．（2021高一上·成都期末）下列函数表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
8．（2022高二下·玉林期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020高一上·贵溪月考）若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019高一上·河南月考）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021高一上·徐州期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
12．（2020高一上·天津期中）已知函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（ ）
A．[0， ] B．[-1，4] C．[-5，5] D．[-3，7]
13．（2021高一上·缙云月考）若，则有（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021高一上·信阳期中）已知，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2020高一上·商洛期末）若函数 满足 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．-3
16．（2021高一上·开封期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．（2022·北京）函数 的定义域是 ．
18．（2021高一上·兰州期末）函数的定义域是 ，值域是 .
19．（2020高一上·唐山期中）若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 ．
20．（2020高一上·怀仁期中）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为
21．（2020高一上·湖北期末）已知定义域为R的函数 满足 ，则 .
22．（2020高一上·赣县月考）已知 , 则 的解析式为 .
三、解答题
23．（2021高一上·信阳期中）
（1）已知是一次函数，且，求.
（2）已知，求；
24．（2020高一上·云县期末）某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第x天进入该商场的人次 （单位：百人）近似满足 ． 而人均消费g（x）（单位：元）与时间x成一次函数，且第5天的人均 消费为600元，最后一天的人均消费为800元．
（1）求该商场的日收入y（单位：元）与时间x的函数关系式；
（2）求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】对于A，因为不等式组 解集为 ，而函数的定义域不能为空集，A不是函数；
对于B，因为 ，即 ，一个 ，有两个 值与之对应，不能满足函数的定义，B不是函数；
对于C， 当 时， 或 ，不能满足函数的定义，C不是函数；
对于D，满足构成函数的要素，D是函数，
故答案为：D．
【分析】由函数的定义，任意的x有唯一的y的值与其对应，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】甲：，，两个函数的定义域和值域相同，但对应关系不同，故甲正确；
乙：根据函数相等的定义可知，若两个函数的定义域相同，对应关系相同，值域一定相同，故乙错误；
丙：，，两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，故丙正确.
故答案为：B
【分析】根据判断两个函数是否是同一个函数的条件：定义域和对应法则相同，对选项逐一分析即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为，
所以，
解得且。
故答案为：B
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法和分式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，从而求出函数 的定义域 。
4．【答案】B
【知识点】补集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由函数得，解得，所以，所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，从而求出集合A，再利用补集的运算法则，从而求出集合A的补集。
5．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由 ，得 ，
所以原函数的定义域为[- ，1]。
故答案为：A
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出函数 的定义域 。
6．【答案】B
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】A中，的定义域为，的定义域为R，A不符合题意；
B中，，B符合题意；
C中，的定义域为R，的定义域为，C不符合题意；
D中，的定义域为，由可得的定义域为，D不符合题意.
故答案为：B
【分析】 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可得答案.
7．【答案】D
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】对于A选项，定义域为，定义域为，
故两个函数不是同一函数；
对于B选项与两者的对应法则不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数的定义域为，函数定义域为，
故两者不是同一函数；
对于D选项，定义域为，函数定义域为，对应法则相同，故两个函数是同一函数；
故答案为：D.
【分析】 判断两个函数是否为同一函数，就看定义域和对应法则是否都相同，从而可化简各选项的函数解析式，逐项进行判断可得答案。
8．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故答案为：A.
【分析】根据求解即可.
9．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】 函数 的定义域是 ，
的定义域须满足，
，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
故答案为：C.
【分析】利用函数 的定义域是 结合分式函数求定义域的方法，从而结合换元法结合交集的运算法则，从而求出函数 的定义域。
10．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为函数 的定义域为 ，即
即函数的定义域为：
故答案为：A
【分析】因为函数 的定义域为 ，由此求出x的范围，再求出x-1的范围，即为 的定义域.
11．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意，解得．
故答案为：D．
【分析】根据抽象函数的定义域求法，列出不等式组，求解可得答案。
12．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则 ，
所以 ，解得 ，
所以函数的定义域为[0， ]，
故答案为：A。
【分析】利用函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]结合换元法求出函数f(x)的定义域，再利用换元法求出函数 y=f（2x-1）中x的取值范围，从而求出函数 y=f（2x-1）的定义域。
13．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由，有。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。
14．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】，设，，则，
故。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。
15．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由 ，可得 ，
联立两式可得 ，代入 可得 .
故答案为：D.
【分析】 利用已知的关系，得到，联立求出f(x)，将x=2代入即可求得答案.
16．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由 ，得
，解得 .
故答案为：A.
【分析】由已知条件把-x代入函数的解析式，整理化简即可得出函数f(x)的解析式。
17．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
18．【答案】[-1，3]；[0，2]
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】对于函数，有，即，解得，
且.
因此，函数的定义域为[-1，3]，值域为[0，2].
故答案为：[-1，3]，[0，2]
【分析】根据题意由函数定义域的求法：被开方数大于等于零即可求出x的取值范围，即函数的定义域，再结合二次函数的图象和性质，即可求出函数的值域。
19．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意，函数 的定义域是 ，即 ，
则函数 满足 ，解得 ，
即函数 的定义域是 .
故答案为： .
【分析】结合函数定义域首先求出f(2x-1)的x的取值范围，再由分母不为零，被开方数大于等于零得到关于x的不等式组求解出x的取值范围，由此求出两种情况下x的取值范围的交集即为答案。
20．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为函数 的定义域为 ，所以 ；即函数 的定义域为 ；由 解得 ，因此 的定义域为 ，故答案为 。
【分析】利用换元法结合已知条件求出函数 的定义域，再利用换元法结合已知条件求出函数 的定义域。
21．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
同除以2得 ，
两式相加可得 ，即 。
故答案为： 。
【分析】因为 ，结合相反数的性质，所以 ，同除以2得 ，两式相加可得函数的解析式。
22．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令 ，则 ，代入原函数得： = ，所以 的解析式为 .
故答案为 .
【分析】令 ，则 ，将t代入原函数替换x则可求得解析式.
23．【答案】（1）设，则，
∴.∴，∴或
∴或.
（2）令，则，且，
∴.
故所求的函数.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一次函数的解析式，从而结合代入法求出函数f(x)的解析式。
（2）利用已知条件结合换元法，从而求出函数f(x)的解析式。
24．【答案】（1）设 ，
由题意可得
解得
则 ，
故
．
（2）因为 x > 0 ，
所以 ，当且仅当 x = 5 时，等号成立，
则 ，
故该商场第 5 天的日收入最少，且日收入的最小值为 360000 元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】 (1) 设 ，利用待定系数法求出函数g(x)的解析式，再利用y=f (x)g (x)即可求出该商场的日收入y(单位：元)与时间x的函数关系式；
(2)利用基本不等式即可求出y的最小值.
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