登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
高中数学人教A版（2019）必修一 3.1.2 函数的表示法
一、单选题
1．（2021高一上·青岛期中）已知函数 和 的定义域为 ，其对应关系如下表，则 的值域为（ ）
x 2 3 4 5
4 2 5 2
4 3 2 4
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】 ， ， ， ，
所以所求值域是 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意把数值代入到函数的解析式，由此计算出函数值，从而得出函数的值域。
2．（2020高一上·湖南期中）中文“函数(function)”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中两个函数相等的是（ ）
A．f(x)= 与g(x)=|x| B．f(x)=x(x∈R)与g(x)=x(x∈Z)
C．f(x)=|x|与 D．f(x)=x-1与
【答案】C
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】判断两个函数是同一函数的依据是：定义域和对应关系相同.
A中 定义域是 ， 定义域是R，所以不是同一函数；
B中 定义域是Z， 定义域是R，所以不是同一函数；
C中 定义域是R， 定义域是R，且对应法则相同，所以是同一函数；
D中 定义域是R， 定义域是 ，所以不是同一函数.
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义域和对应关系是否相同逐一判断即可.
3．下面各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】对于A，的定义域为R，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；
对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，，这两个函数是同一个函数；
对于C，的定义域为，而的定义域是R，两个函数的定义城不相同，所以不是同一个函数；
对于D，的定义域为，而的定义域是R，两个的数的定义域不相同，所以不是同一个函数.
故答案为：B.
【分析】两个函数只有定义域完全相同，且对应法则完全一致，即为同一函数，由此逐项进行判断可得答案。
4．（2021高一上·黑龙江期中）已知 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意知，解得x<3且x≠1，
则函数 的定义域为{x|x<3且x≠1} ，
则令x+1>3且x+1≠1，
解得x<2且x≠0，
即函数 的定义域为
故答案为：C.
【分析】先求得f(x)的定义域，再利用整体思想，将x+1看作一个整体代入计算即可求解.
5．（2021高一上·开封期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】当 时， ，开口向下，对称轴方程 ，
则可知 ， ， ；
当 时， ， .
综上，函数 的值域为 .
故答案为：B.
【分析】由二次函数和反比例的图像和性质即可求出函数的最值，从而得出函数的值域。
二、多选题
6．（2021高一上·辽宁期中）已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）
A． 的定义域为R B． 的值域为
C．若 ，则x的值是 D． 的解集为
【答案】B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】函数 ，定义分 和 两段，定义域是 ，A不符合题意；
时 ，值域为 ， 时， ，值域为 ，故 的值域为 ，B符合题意；
由值的分布情况可知， 在 上无解，故 ，即 ，得到 ，C符合题意；
时令 ，解得 ， 时，令 ，解得 ，故 的解集为 ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据题意分段函数的解析式结合二次函数和一次函数的图象和性质，即可求出分段函数的定义域、值域由此判断出选项A错误、B正确；由已知条件即可得出 在 上无解，从而求出x的取值，由此判断出选项C正确；由不等式的解法求接触不等式的解集，由此即可判断出选项D错误，从而得出答案。
7．（2020高一上·台州期中）已知函数 是一次函数，满足 ，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设 ，由题意可知 ，
所以 ，解得 或 ，所以 或 .
故答案为：AD.
【分析】利用待定系数法求解，设，由题意可知，从而得，进而求出的值。
三、填空题
8．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为 .
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 3
g(x) 3 2 3 2
【答案】2或4
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意.当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意。
故填 2或4 。
【分析】利用函数的x,y对应表结合分类讨论的方法，从而求出满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值。
9．（2022高一上·宝安期末）已知函数，则 ．
【答案】1
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，
所以，
故答案为：1.
【分析】利用函数解析式，先求，再求.
10．已知函数 按下表给出，满足 的 的值为 ．
1 2 3
2 3 1
【答案】3或1
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】由题中的表格可知：
当x=1时，f（1）=2，则f（f（1））=f（2）=3，而f（3）=1，原不等式化为3＞1恒成立，所以x=1满足题意；
当x=2时，f（2）=3，则f（f（2））=f（3）=1，而f（3）=1，原不等式不成立，所以x=2不满足题意；
当x=3时，f（3）=1，则f（f（3））=f（1）=2，而f（3）=1，原不等式化为2＞1恒成立，所以x=3满足题意．
综上所述，满足f（f（x））＞f（3）的x的值为1和3。
故答案为1和3。
【分析】利用函数的x,y对应表结合分类讨论的方法，从而求出满足 的x的值。
11．（2022高一上·大兴期末）能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是 ， ．
【答案】；（答案不唯一）
【知识点】判断两个函数是否为同一函数；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】根据所学过过的函数，可取，，函数的对应法则相同，值域都为，但函数定义域不同，是不同的函数，故命题为假。
故答案为：；。
【分析】利用已知条件结合命题真假性判断方法和同一函数的判断方法，进而得出满足要求的函数的解析式。
12．（2022高二下·双鸭山期末）若函数 ，则 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令 ，则 ， ， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥0) .
故答案为：x2-2(x≥0)
【分析】通过换元，令 ，则 ，代入原式即可得解.
13．下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为 .
① ， ；
②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：
③ ， ；
④ ， .
【答案】②
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】① ， ，存在 对应两个 的情况，所以不是A到B的函数；
②符合函数的定义，是A到B的函数；
③ ， ，对于集合A中的 没有对应 ，所以不是A到B的函数；
④ ， ，对于集合A中的 没有对应 ，所以不是A到B的函数.
故答案为：②。
【分析】利用已知条件结合函数的定义，从而找出对应或关系式中是A到B的函数的序号。
四、解答题
14．
（1）已f ( )= ，求 的解析式.
（2）已知 是一次函数，且有 ，求此一次函数的解析式.
【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：设 ，
则
解得 ，或
所以 或
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）换元法或配凑法求函数解析式；（2）利用待定系数法求函数解析式.
15．（2020高一上·定远月考）
（1）若二次函数 满足 ， ，求 .
（2）若对任意实数 ，均有 ，求 .
【答案】（1）解：因为二次函数 满足 ；
所以设 ，
则： ；
因为 ，
所以 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ， ；
∴ .
（2）解：∵ （1）
∴ （2）
由 得
∴ .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）设出二次函数的解析式，再利用已知条件结合代入法，从而解方程组求出a,b的值，进而求出二次函数的解析式。
（2）由相反数的关系结合代入法和已知条件 （1） ， 得出 （2） ，联立两式求出函数f(x)的解析式。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
高中数学人教A版（2019）必修一 3.1.2 函数的表示法
一、单选题
1．（2021高一上·青岛期中）已知函数 和 的定义域为 ，其对应关系如下表，则 的值域为（ ）
x 2 3 4 5
4 2 5 2
4 3 2 4
A． B． C． D．
2．（2020高一上·湖南期中）中文“函数(function)”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中两个函数相等的是（ ）
A．f(x)= 与g(x)=|x| B．f(x)=x(x∈R)与g(x)=x(x∈Z)
C．f(x)=|x|与 D．f(x)=x-1与
3．下面各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．（2021高一上·黑龙江期中）已知 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021高一上·开封期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2021高一上·辽宁期中）已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）
A． 的定义域为R B． 的值域为
C．若 ，则x的值是 D． 的解集为
7．（2020高一上·台州期中）已知函数 是一次函数，满足 ，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为 .
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 3
g(x) 3 2 3 2
9．（2022高一上·宝安期末）已知函数，则 ．
10．已知函数 按下表给出，满足 的 的值为 ．
1 2 3
2 3 1
11．（2022高一上·大兴期末）能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是 ， ．
12．（2022高二下·双鸭山期末）若函数 ，则 ．
13．下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为 .
① ， ；
②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：
③ ， ；
④ ， .
四、解答题
14．
（1）已f ( )= ，求 的解析式.
（2）已知 是一次函数，且有 ，求此一次函数的解析式.
15．（2020高一上·定远月考）
（1）若二次函数 满足 ， ，求 .
（2）若对任意实数 ，均有 ，求 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】 ， ， ， ，
所以所求值域是 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意把数值代入到函数的解析式，由此计算出函数值，从而得出函数的值域。
2．【答案】C
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】判断两个函数是同一函数的依据是：定义域和对应关系相同.
A中 定义域是 ， 定义域是R，所以不是同一函数；
B中 定义域是Z， 定义域是R，所以不是同一函数；
C中 定义域是R， 定义域是R，且对应法则相同，所以是同一函数；
D中 定义域是R， 定义域是 ，所以不是同一函数.
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义域和对应关系是否相同逐一判断即可.
3．【答案】B
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】对于A，的定义域为R，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；
对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，，这两个函数是同一个函数；
对于C，的定义域为，而的定义域是R，两个函数的定义城不相同，所以不是同一个函数；
对于D，的定义域为，而的定义域是R，两个的数的定义域不相同，所以不是同一个函数.
故答案为：B.
【分析】两个函数只有定义域完全相同，且对应法则完全一致，即为同一函数，由此逐项进行判断可得答案。
4．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意知，解得x<3且x≠1，
则函数 的定义域为{x|x<3且x≠1} ，
则令x+1>3且x+1≠1，
解得x<2且x≠0，
即函数 的定义域为
故答案为：C.
【分析】先求得f(x)的定义域，再利用整体思想，将x+1看作一个整体代入计算即可求解.
5．【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】当 时， ，开口向下，对称轴方程 ，
则可知 ， ， ；
当 时， ， .
综上，函数 的值域为 .
故答案为：B.
【分析】由二次函数和反比例的图像和性质即可求出函数的最值，从而得出函数的值域。
6．【答案】B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】函数 ，定义分 和 两段，定义域是 ，A不符合题意；
时 ，值域为 ， 时， ，值域为 ，故 的值域为 ，B符合题意；
由值的分布情况可知， 在 上无解，故 ，即 ，得到 ，C符合题意；
时令 ，解得 ， 时，令 ，解得 ，故 的解集为 ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据题意分段函数的解析式结合二次函数和一次函数的图象和性质，即可求出分段函数的定义域、值域由此判断出选项A错误、B正确；由已知条件即可得出 在 上无解，从而求出x的取值，由此判断出选项C正确；由不等式的解法求接触不等式的解集，由此即可判断出选项D错误，从而得出答案。
7．【答案】A,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设 ，由题意可知 ，
所以 ，解得 或 ，所以 或 .
故答案为：AD.
【分析】利用待定系数法求解，设，由题意可知，从而得，进而求出的值。
8．【答案】2或4
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意.当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意。
故填 2或4 。
【分析】利用函数的x,y对应表结合分类讨论的方法，从而求出满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值。
9．【答案】1
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，
所以，
故答案为：1.
【分析】利用函数解析式，先求，再求.
10．【答案】3或1
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】由题中的表格可知：
当x=1时，f（1）=2，则f（f（1））=f（2）=3，而f（3）=1，原不等式化为3＞1恒成立，所以x=1满足题意；
当x=2时，f（2）=3，则f（f（2））=f（3）=1，而f（3）=1，原不等式不成立，所以x=2不满足题意；
当x=3时，f（3）=1，则f（f（3））=f（1）=2，而f（3）=1，原不等式化为2＞1恒成立，所以x=3满足题意．
综上所述，满足f（f（x））＞f（3）的x的值为1和3。
故答案为1和3。
【分析】利用函数的x,y对应表结合分类讨论的方法，从而求出满足 的x的值。
11．【答案】；（答案不唯一）
【知识点】判断两个函数是否为同一函数；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】根据所学过过的函数，可取，，函数的对应法则相同，值域都为，但函数定义域不同，是不同的函数，故命题为假。
故答案为：；。
【分析】利用已知条件结合命题真假性判断方法和同一函数的判断方法，进而得出满足要求的函数的解析式。
12．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令 ，则 ， ， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥0) .
故答案为：x2-2(x≥0)
【分析】通过换元，令 ，则 ，代入原式即可得解.
13．【答案】②
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】① ， ，存在 对应两个 的情况，所以不是A到B的函数；
②符合函数的定义，是A到B的函数；
③ ， ，对于集合A中的 没有对应 ，所以不是A到B的函数；
④ ， ，对于集合A中的 没有对应 ，所以不是A到B的函数.
故答案为：②。
【分析】利用已知条件结合函数的定义，从而找出对应或关系式中是A到B的函数的序号。
14．【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：设 ，
则
解得 ，或
所以 或
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）换元法或配凑法求函数解析式；（2）利用待定系数法求函数解析式.
15．【答案】（1）解：因为二次函数 满足 ；
所以设 ，
则： ；
因为 ，
所以 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ， ；
∴ .
（2）解：∵ （1）
∴ （2）
由 得
∴ .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）设出二次函数的解析式，再利用已知条件结合代入法，从而解方程组求出a,b的值，进而求出二次函数的解析式。
（2）由相反数的关系结合代入法和已知条件 （1） ， 得出 （2） ，联立两式求出函数f(x)的解析式。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
