高中数学人教A版（2019）必修一 3.2.1 单调性与最大（小）值

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高中数学人教A版（2019）必修一 3.2.1 单调性与最大（小）值
一、单选题
1．（2019高一上·湖北月考）下列四个函数中，在 上为增函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】对于A， 在 内单调递减，在 内单调递增，所以A符合题意；
对于B， 在 内单调递减，所以在 内也单调递减，所以B不符合题意；
对于C， 在 内单调递减，在 内单调递增，所以在 内单调递增错误，即C不符合题意；
对于D， 在在 内也单调递减，所以D不符合题意.
综上可知，A为正确选项，
故答案为：A.
【分析】根据四个函数解析式，依次判断即可得解.
2．（2019高一上·莆田月考）下列函数在(-∞，0)上为减函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】对于A，函数 图象的对称轴为 ，所以函数在 上为减函数，所以A符合题意．
对于B，函数 在 上不单调，所以B不正确．
对于C，函数 在 上单调递增，所以C不正确．
对于D，函数 为常数函数，所以D不正确．
故答案为：A．
【分析】对给出的四个选项分别进行分析、判断可得结果．
3．（2019高一上·平遥月考）函数 的单调减区间是（　　）
A． ， B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为 的减区间为 ，
又 的图像是将 的图像向右平移一个单位得到，
即函数 的单调减区间是 ， ，
故答案为：A.
【分析】函数 的图像可以看作 的图像向右平移一个单位得到，再结合 的单调性可得解.
4．（2019高一上·吉林月考）定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a，b，总有 成立，则f(x)必定是（　　）
A．先增后减的函数 B．先减后增的函数
C．在R上的增函数 D．在R上的减函数
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；复合函数的单调性
【解析】【解答】定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a，b，总有 成立
则当 时， ，此时f(x)是在R上的增函数
当 时， ，此时f(x)是在R上的增函数
所以f(x)是在R上的增函数
故答案为：C
【分析】根据成立，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由函数单调性的定义即可进行判断，从而得到正确答案。
5．（2019高一上·惠来月考）函数 在区间 上是增函数，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】 函数 在区间 上是增函数且
故答案为：A
【分析】由题意，函数 在区间 上是增函数，现需要比较函数值的大小，只需比较自变量的大小即可。
6．（2021高一上·昌吉期中）已知是定义在上的单调递减函数，且 ，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】∵是定义在上的单调递减函数，且，
则，解得
故答案为：D..
【分析】根据题意由函数的单调性整理化简，即可得出关于a的不等式，求解出a的取值范围即可。
7．（2021高一上·沈阳期中）函数 在区间 上的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】∵函数 在 上为减函数，
∴ .
故答案为：A.
【分析】首先由反比例函数和一次函数的单调性即可得出函数的单调性，由此即可求出函数f(x)最小值。
8．（2021高一上·肥城期中）设函数 ，则（　　）
A． 的最大值为-4
B． 在 上单调递增，在 上单调递减
C． 的最小值为4
D． 在 上单调递增，在 上单调递减
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，其图象如下图所示，
由图象知：
A. 无最大值，故错误；
B. 在 上单调递增，在 上单调递减，故正确；
C. 无最小值，故错误；
D. 在 上单调递减，在 上单调递增，故错误；
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合函数的解析式画出函数的图象，再利用函数的图象判断出函数的单调性，从而求出函数的最值。
9．（2021高一上·昌吉期中）已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为函数是定义在上的减函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由已知条件结合函数的单调性即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
10．（2021高三上·运城期中）已知函数 满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（　　）
A．(0，3) B． C．(0，2] D．(0，2)
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为对任意 ，都有 成立，
所以函数 在R上是减函数，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 (0，2]。
故答案为：C
【分析】对任意 ，都有 成立，再利用减函数的定义，从而判断出函数 在R上是减函数，再利用函数的单调性，进而求出实数a的取值范围。
11．（2019高一上·佛山月考）若二次函数 对任意的 ，且 ，都有 ，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】因为二次函数 对任意的 ，且 ，都有 ，
所以 在 上单调递减
因为对称轴
所以 ，解得
故答案为：A
【分析】由已知可知， 在 上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解.
12．（2019高一上·宜丰月考）函数 的单减区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】函数的单调递减区间是 时的单调递减区间，
所以 ，解集是 ，
所以函数 的单减区间是 ,
故答案为：D.
【分析】利用二次函数的单调性和偶次根式函数的单调性，再结合复合函数的单调性，从而求出函数 的单调递减区间。
二、填空题
13．（2020高一上·榆树期中）函数 在 上的最大值与最小值的和是　 　
【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】解：设2∴ ,
∵，，
∴，
∴此函数为增函数，
∴，，
∴.
故答案为： .
【分析】先推出函数的增减性，得出此函数为增函数，则函数最大值和最小值可求，从而求出 最大值与最小值的和.
14．（2021高一上·嘉兴期中）函数 的递减区间是　 　.
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】由题意得： ，，
二次函数 在区间 上是减函数， 的单调递减区间为 。
故答案为： 。
【分析】利用复合函数单调性判断方法，即同增异减，从而判断出复合函数的单调性，进而求出复合函数 的单调递减区间。
三、解答题
15．（2022高一上·石景山期末）已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增
（2）解：任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由函数单调性的定义，整理化简已知条件由此即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件由分离参数法，即可得出m的不等式，再由函数f(x)的单调性即可得出函数f(x)的最值，从而得出m的取值范围。
16．（2021高一上·缙云月考）已知函数．
（1）证明：函数在上是增函数；
（2）求在上的值域．
【答案】（1）设，
，
因为，所以，，则，即，
所以函数在上是增函数；
（2）由（1）可知，在单调递增，
所以，
所以在的值域为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合增函数的定义，从而证出函数在上是增函数。
（2） 由（1）可知，函数在单调递增， 再利用函数的单调性，从而求出函数额最值，进而求出函数 在上的值域。
17．（2021高一上·宁德期中）已知函数的图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明；
【答案】（1）由题得即
解得
∴函数的解析式为
（2）在上单调递增.
证明如下：
设任意，且，
则
∵，∴
∵，∴
∴
即
∴在上单调递增.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而解方程组求出a，b的值，进而求出函数的解析式。
（2）利用增函数的定义，从而结合已知条件判断并证出函数 在上为增函数。
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高中数学人教A版（2019）必修一 3.2.1 单调性与最大（小）值
一、单选题
1．（2019高一上·湖北月考）下列四个函数中，在 上为增函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019高一上·莆田月考）下列函数在(-∞，0)上为减函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2019高一上·平遥月考）函数 的单调减区间是（　　）
A． ， B．
C． D．
4．（2019高一上·吉林月考）定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a，b，总有 成立，则f(x)必定是（　　）
A．先增后减的函数 B．先减后增的函数
C．在R上的增函数 D．在R上的减函数
5．（2019高一上·惠来月考）函数 在区间 上是增函数，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021高一上·昌吉期中）已知是定义在上的单调递减函数，且 ，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高一上·沈阳期中）函数 在区间 上的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．-1
8．（2021高一上·肥城期中）设函数 ，则（　　）
A． 的最大值为-4
B． 在 上单调递增，在 上单调递减
C． 的最小值为4
D． 在 上单调递增，在 上单调递减
9．（2021高一上·昌吉期中）已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2021高三上·运城期中）已知函数 满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（　　）
A．(0，3) B． C．(0，2] D．(0，2)
11．（2019高一上·佛山月考）若二次函数 对任意的 ，且 ，都有 ，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
12．（2019高一上·宜丰月考）函数 的单减区间是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020高一上·榆树期中）函数 在 上的最大值与最小值的和是　 　
14．（2021高一上·嘉兴期中）函数 的递减区间是　 　.
三、解答题
15．（2022高一上·石景山期末）已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．
16．（2021高一上·缙云月考）已知函数．
（1）证明：函数在上是增函数；
（2）求在上的值域．
17．（2021高一上·宁德期中）已知函数的图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】对于A， 在 内单调递减，在 内单调递增，所以A符合题意；
对于B， 在 内单调递减，所以在 内也单调递减，所以B不符合题意；
对于C， 在 内单调递减，在 内单调递增，所以在 内单调递增错误，即C不符合题意；
对于D， 在在 内也单调递减，所以D不符合题意.
综上可知，A为正确选项，
故答案为：A.
【分析】根据四个函数解析式，依次判断即可得解.
2．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】对于A，函数 图象的对称轴为 ，所以函数在 上为减函数，所以A符合题意．
对于B，函数 在 上不单调，所以B不正确．
对于C，函数 在 上单调递增，所以C不正确．
对于D，函数 为常数函数，所以D不正确．
故答案为：A．
【分析】对给出的四个选项分别进行分析、判断可得结果．
3．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为 的减区间为 ，
又 的图像是将 的图像向右平移一个单位得到，
即函数 的单调减区间是 ， ，
故答案为：A.
【分析】函数 的图像可以看作 的图像向右平移一个单位得到，再结合 的单调性可得解.
4．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；复合函数的单调性
【解析】【解答】定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a，b，总有 成立
则当 时， ，此时f(x)是在R上的增函数
当 时， ，此时f(x)是在R上的增函数
所以f(x)是在R上的增函数
故答案为：C
【分析】根据成立，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由函数单调性的定义即可进行判断，从而得到正确答案。
5．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】 函数 在区间 上是增函数且
故答案为：A
【分析】由题意，函数 在区间 上是增函数，现需要比较函数值的大小，只需比较自变量的大小即可。
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】∵是定义在上的单调递减函数，且，
则，解得
故答案为：D..
【分析】根据题意由函数的单调性整理化简，即可得出关于a的不等式，求解出a的取值范围即可。
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】∵函数 在 上为减函数，
∴ .
故答案为：A.
【分析】首先由反比例函数和一次函数的单调性即可得出函数的单调性，由此即可求出函数f(x)最小值。
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，其图象如下图所示，
由图象知：
A. 无最大值，故错误；
B. 在 上单调递增，在 上单调递减，故正确；
C. 无最小值，故错误；
D. 在 上单调递减，在 上单调递增，故错误；
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合函数的解析式画出函数的图象，再利用函数的图象判断出函数的单调性，从而求出函数的最值。
9．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为函数是定义在上的减函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由已知条件结合函数的单调性即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
10．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为对任意 ，都有 成立，
所以函数 在R上是减函数，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 (0，2]。
故答案为：C
【分析】对任意 ，都有 成立，再利用减函数的定义，从而判断出函数 在R上是减函数，再利用函数的单调性，进而求出实数a的取值范围。
11．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】因为二次函数 对任意的 ，且 ，都有 ，
所以 在 上单调递减
因为对称轴
所以 ，解得
故答案为：A
【分析】由已知可知， 在 上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解.
12．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】函数的单调递减区间是 时的单调递减区间，
所以 ，解集是 ，
所以函数 的单减区间是 ,
故答案为：D.
【分析】利用二次函数的单调性和偶次根式函数的单调性，再结合复合函数的单调性，从而求出函数 的单调递减区间。
13．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】解：设2∴ ,
∵，，
∴，
∴此函数为增函数，
∴，，
∴.
故答案为： .
【分析】先推出函数的增减性，得出此函数为增函数，则函数最大值和最小值可求，从而求出 最大值与最小值的和.
14．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】由题意得： ，，
二次函数 在区间 上是减函数， 的单调递减区间为 。
故答案为： 。
【分析】利用复合函数单调性判断方法，即同增异减，从而判断出复合函数的单调性，进而求出复合函数 的单调递减区间。
15．【答案】（1）解：任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增
（2）解：任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由函数单调性的定义，整理化简已知条件由此即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件由分离参数法，即可得出m的不等式，再由函数f(x)的单调性即可得出函数f(x)的最值，从而得出m的取值范围。
16．【答案】（1）设，
，
因为，所以，，则，即，
所以函数在上是增函数；
（2）由（1）可知，在单调递增，
所以，
所以在的值域为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合增函数的定义，从而证出函数在上是增函数。
（2） 由（1）可知，函数在单调递增， 再利用函数的单调性，从而求出函数额最值，进而求出函数 在上的值域。
17．【答案】（1）由题得即
解得
∴函数的解析式为
（2）在上单调递增.
证明如下：
设任意，且，
则
∵，∴
∵，∴
∴
即
∴在上单调递增.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而解方程组求出a，b的值，进而求出函数的解析式。
（2）利用增函数的定义，从而结合已知条件判断并证出函数 在上为增函数。
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