高中数学人教A版（2019）必修一 3.2.2 奇偶性
一、单选题
1．（2022高一上·台州期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．（2021高一上·南京月考）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·岑溪期中）已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
4．（2021高二上·云南期末）已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高一下·安康期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C．x-2 D．
6．（2022·济南模拟）设为偶函数，当时，则使的x取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2021高一上·绥江月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高一上·西城期末）设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022高一下·达州期末）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高一下·湖北期中）函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2021高一上·定州期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．函数为奇函数
C． D．当时，
12．（2021高一上·福州期中）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
三、填空题
13．（2022·日照模拟）已知 是定义为R的奇函数，当 ， ，则 .
14．（2021高一上·福清期中）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，则 ，当时， .
15．（2022·宝山二模）如果函数是奇函数，则 ．
16．（2021高三上·东莞月考）已知函数，若是奇函数，且，则 .
17．（2022高一下·嵩明期中）定义在R上的函数满足.当时，，则 .
四、解答题
18．（2021高一上·玉林期中）已知函数.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）用定义证明：在区间上是单调递减函数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和转化的方法，进而求出函数值。
2．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】A. ，定义域为R，，故不是奇函数；
B. ，定义域为R，，故不是奇函数；
C. ，定义域为，，故是奇函数；
D. ，定义域为R，，故不是奇函数，
故答案为：C.
【分析】根据题意奇函数的定义，整理化简由此对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数为R上的奇函数，当时，，
所以．
而，∴．
故答案为：C．
【分析】 由已知结合奇函数的定义可求f (3)，然后结合奇函数性质可求f (0)，即可求解出答案.
4．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题设，，又在上单调递增，
∴.
故答案为：C.
【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数
【解析】【解答】时，，，∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合奇函数定义和转化的方法，进而得出函数在时的解析式。
6．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当时，是增函数
又 为偶函数
故可以作出的图像如图所示：
或
根据奇偶性和单调性可知的取值范围为：或
故答案为：C
【分析】作出的图像，根据奇偶性和单调性即可求出 x取值范围 。
7．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数为偶函数，且在上单调递增，
由可得，则，即，解得。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和增函数的性质，从而利用绝对值不等式求解方法，进而求出满足的的取值范围。
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】为上的奇函数，
且在上单调递增，，
得：或
解得.
故答案为：D
【分析】 根据函数奇偶性和单调性的关系，作出函数f (x)的图象，利用数形结合进行求解即可得答案.
9．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为为的偶函数，又，在上单调递增，
所以，函数在在上单调递减，
所以当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
又当或或时，，
所以的解集为，
故答案为：A.
【分析】根据函数的奇偶性与单调性的关系，将不等式进行转化，即可求出的解集.
10．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】设，
易知定义域为R，关于原点对称，因为，
所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除B、C.
当时，，
当时，，因此排除D，
故答案为：A
【分析】根据函数的奇偶性和正负性进行判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】对于A，是定义在R上的奇函数，故，A符合题意．
对于B，由，得为偶函数，B不符合题意．
对于C，，C符合题意，
对于D，当时，，，D符合题意．
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合奇函数的性质、奇函数的定义、函数的值求解方法和转化的方法，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由得，故正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有，
∴在上有最大值为1，故正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；
若时，，则时，，，故正确．
故答案为：ABD．
【分析】 根据奇函数性质可判断A正误；根据奇函数对称性可判断B正误；根据奇函数单调性判断C正误；根据奇函数定义求解析式，可判断D的正误.
13．【答案】-1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】∵ 是定义为R的奇函数，∴ ．
故答案为：-1．
【分析】利用奇函数的定义求出 的值。
14．【答案】7；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】设，则，
由时，，
所以，
又函数为偶函数，即，
所以.
所以.
故答案为：
【分析】根据题意，设，利用函数的奇偶性求出时的解析式，把代入求出的值。
15．【答案】-3
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】设，.
故答案为：-3
【分析】设，由g(x)为奇函数，即可求解。
16．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】由题意知，，则，
∵是奇函数，
∴，故.
故答案为：1.
【分析】先根据 可求出，再根据是奇函数，即可得出，计算可得答案。
17．【答案】-6
【知识点】奇函数；奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】由，所以为定义在R上的奇函数，可得，
所以，可得，
所以时，，
所以，
所以。
故答案为：-6。
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再结合奇函数的性质得出实数a的值，再利用转化的方法和奇函数的定义，进而结合代入法得出的值。
18．【答案】（1）解：函数是偶函数，证明如下：
的定义域为，定义域关于原点对称，
对任意，都有，
所以函数是定义域上的偶函数；
（2）证明：任取，且，
则，
因为，所以，，且，，
所以，即，
所以在区间上是单调递减函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断并证明出函数f(x)为偶函数。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而证明出函数 在区间上是减函数。
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一、单选题
1．（2022高一上·台州期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和转化的方法，进而求出函数值。
2．（2021高一上·南京月考）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】A. ，定义域为R，，故不是奇函数；
B. ，定义域为R，，故不是奇函数；
C. ，定义域为，，故是奇函数；
D. ，定义域为R，，故不是奇函数，
故答案为：C.
【分析】根据题意奇函数的定义，整理化简由此对选项逐一判断即可得出答案。
3．（2022高二下·岑溪期中）已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数为R上的奇函数，当时，，
所以．
而，∴．
故答案为：C．
【分析】 由已知结合奇函数的定义可求f (3)，然后结合奇函数性质可求f (0)，即可求解出答案.
4．（2021高二上·云南期末）已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题设，，又在上单调递增，
∴.
故答案为：C.
【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可得答案.
5．（2022高一下·安康期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C．x-2 D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数
【解析】【解答】时，，，∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合奇函数定义和转化的方法，进而得出函数在时的解析式。
6．（2022·济南模拟）设为偶函数，当时，则使的x取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当时，是增函数
又 为偶函数
故可以作出的图像如图所示：
或
根据奇偶性和单调性可知的取值范围为：或
故答案为：C
【分析】作出的图像，根据奇偶性和单调性即可求出 x取值范围 。
7．（2021高一上·绥江月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数为偶函数，且在上单调递增，
由可得，则，即，解得。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和增函数的性质，从而利用绝对值不等式求解方法，进而求出满足的的取值范围。
8．（2022高一上·西城期末）设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】为上的奇函数，
且在上单调递增，，
得：或
解得.
故答案为：D
【分析】 根据函数奇偶性和单调性的关系，作出函数f (x)的图象，利用数形结合进行求解即可得答案.
9．（2022高一下·达州期末）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为为的偶函数，又，在上单调递增，
所以，函数在在上单调递减，
所以当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
又当或或时，，
所以的解集为，
故答案为：A.
【分析】根据函数的奇偶性与单调性的关系，将不等式进行转化，即可求出的解集.
10．（2022高一下·湖北期中）函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】设，
易知定义域为R，关于原点对称，因为，
所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除B、C.
当时，，
当时，，因此排除D，
故答案为：A
【分析】根据函数的奇偶性和正负性进行判断即可.
二、多选题
11．（2021高一上·定州期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．函数为奇函数
C． D．当时，
【答案】A,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】对于A，是定义在R上的奇函数，故，A符合题意．
对于B，由，得为偶函数，B不符合题意．
对于C，，C符合题意，
对于D，当时，，，D符合题意．
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合奇函数的性质、奇函数的定义、函数的值求解方法和转化的方法，进而找出正确的选项。
12．（2021高一上·福州期中）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由得，故正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有，
∴在上有最大值为1，故正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；
若时，，则时，，，故正确．
故答案为：ABD．
【分析】 根据奇函数性质可判断A正误；根据奇函数对称性可判断B正误；根据奇函数单调性判断C正误；根据奇函数定义求解析式，可判断D的正误.
三、填空题
13．（2022·日照模拟）已知 是定义为R的奇函数，当 ， ，则 .
【答案】-1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】∵ 是定义为R的奇函数，∴ ．
故答案为：-1．
【分析】利用奇函数的定义求出 的值。
14．（2021高一上·福清期中）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，则 ，当时， .
【答案】7；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】设，则，
由时，，
所以，
又函数为偶函数，即，
所以.
所以.
故答案为：
【分析】根据题意，设，利用函数的奇偶性求出时的解析式，把代入求出的值。
15．（2022·宝山二模）如果函数是奇函数，则 ．
【答案】-3
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】设，.
故答案为：-3
【分析】设，由g(x)为奇函数，即可求解。
16．（2021高三上·东莞月考）已知函数，若是奇函数，且，则 .
【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】由题意知，，则，
∵是奇函数，
∴，故.
故答案为：1.
【分析】先根据 可求出，再根据是奇函数，即可得出，计算可得答案。
17．（2022高一下·嵩明期中）定义在R上的函数满足.当时，，则 .
【答案】-6
【知识点】奇函数；奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】由，所以为定义在R上的奇函数，可得，
所以，可得，
所以时，，
所以，
所以。
故答案为：-6。
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再结合奇函数的性质得出实数a的值，再利用转化的方法和奇函数的定义，进而结合代入法得出的值。
四、解答题
18．（2021高一上·玉林期中）已知函数.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）用定义证明：在区间上是单调递减函数.
【答案】（1）解：函数是偶函数，证明如下：
的定义域为，定义域关于原点对称，
对任意，都有，
所以函数是定义域上的偶函数；
（2）证明：任取，且，
则，
因为，所以，，且，，
所以，即，
所以在区间上是单调递减函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断并证明出函数f(x)为偶函数。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而证明出函数 在区间上是减函数。
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