苏教版（2019）选择性必修第一册3.3.2 抛物线的几何性质 基础过关练（Word版含解析）

3.3.2　抛物线的几何性质
基础过关练
题组一　抛物线的几何性质及其应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021江苏南通如皋教学质量调研)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则MF+NF=　(　　)
A.5　　　　B.6　　　　 C.7　　　　D.8
2.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若AB+FB=6,则抛物线的标准方程为　　　　　.
题组二　抛物线几何性质的综合应用
3.(2020江苏南通通州、海安期末)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分, 光源放在焦点F处.已知灯口直径为60 cm,光源距灯口的深度为40 cm,则光源到反射镜的顶点的距离为(　　)
A.5 cm　　　　B.10 cm　　　　
C.15 cm　　　　D.20 cm
4.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为1,则p的值为(　　)
A.1　　　　B.　　　　D.4
5.(多选)(2021江苏南京五校联合调研考试)下列判断正确的是(　　)
A.抛物线y2=x与直线x+y-=0仅有一个公共点
B.双曲线x2-y2=1与直线x+y-=0仅有一个公共点
C.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则D.若方程=1表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4
6.(2022河北沧州七校联盟期中)在①PF=x0+1,②y0=2x0=2,③当PF⊥x轴时,PF=2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线中,并解答.
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x0,y0)在抛物线C上,且　　　　.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求△ABF的面积.
能力提升练
题组　抛物线的几何性质及综合应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020江苏淮安淮阴中学期末)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为(　　)
A.=1 C.=1 　　D.=1
2.(2021江苏南京期中)过抛物线y2=16x的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆与直线x=13相切,则直线l的方程为(　　)
A.y=2或y=-2 B.y=4x-16或y=-4x+16
C.y=2x-8或y=-2x+8 D.y=x-4或y=-x+4
3.(2021江苏扬州中学期中)过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点M在直线y=2上,O为坐标原点,则△AOB的面积为(　　)
A.　　　　D.9
4.(多选)(2021江苏镇江中学期中)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点,设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t,2)与焦点F之间的距离等于3,则下列说法正确的是　(　　)
A.抛物线C的方程是x2=2y B.抛物线C的准线方程是y=-1
C.sin∠QMN的最小值是 D.线段AB长的最小值是6
5.(2020江苏南通教学质量调研)在平面直角坐标系xOy中,已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1,l2分别与抛物线交于点A,B和C,D,记线段AB的中点为M,线段CD的中点为N,则·的最小值是(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　 D.6
6.(2021江苏镇江期中)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F是圆x2+y2-2x=0的圆心,P为抛物线C在第一象限内的一点,且PF=3,则P点的坐标为　　　　.
7.(2021江苏南通如皋中学期末)已知顶点在坐标原点,对称轴为x轴的抛物线过点P(1,2),则该抛物线的标准方程为　　　　　;设F为该抛物线的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若=0,则||=　　　　.
8.(2022江苏泰州姜堰第二中学期中)在平面直角坐标系xOy中,已知圆F:(x-2)2+y2=1,动圆M与直线l:x=-1相切且与圆F外切.
(1)记圆心M的轨迹为曲线C,求曲线C的方程;
(2)已知A(-2,0),曲线C上一点P满足PA=PF,求∠PAF的大小.
答案全解全析
基础过关练
1.C　设M(x1,y1),N(x2,y2),易得直线MN的方程为y=(x+2),
将直线方程代入抛物线方程得x2-5x+4=0,则x1+x2=5,
所以MF+NF=x1+1+x2+1=7,故选C.
2.答案　y2=4x
解析　从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出,∵AB+FB=6,∴5+=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
3.A　以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,
设F(p>0),
则抛物线上一点的坐标为,代入抛物线方程得302=2p,解得p=10(负值舍去),所以=5,
所以光源到反射镜的顶点的距离为5 cm.故选A.
4.B　双曲线-x2=1的两条渐近线方程是y=±2x,∵抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-,∴A,B两点的纵坐标的差的绝对值是2p,又△AOB的面积为1,∴×2p=1,∴p=.故选B.
5.BD　对于A,联立消去x,可得y2+y-=0,因为Δ=1+4>0,所以抛物线y2=x与直线x+y-=0有两个公共点,故A错误;
对于B,双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,直线x+y-=0与渐近线y=-x平行,故双曲线x2-y2=1与直线x+y-=0仅有一个公共点,故B正确;
对于C,若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,解得1对于D,若方程=1表示焦点在y轴上的双曲线,则解得t>4,故D正确.
故选BD.
6.解析　(1)若选①:由抛物线的性质可得PF=x0+.
因为PF=x0+1,所以x0+=x0+1,解得p=2,故抛物线C的标准方程为y2=4x.
若选②:因为y0=2x0=2,所以x0=1,
因为点P(1,2)在抛物线C上,所以2p=4,解得p=2,故抛物线C的标准方程为y2=4x.
若选③:因为PF⊥x轴,所以PF==p.
又PF=2,所以p=2.故抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)可知F(1,0).
由消去x并整理,得y2-4y-8=0,
则y1+y2=4,y1y2=-8,
故|y1-y2|=,
由弦长公式,得AB=.因为点F到直线l的距离d=,
所以△ABF的面积为AB·d=.
能力提升练
1.D　双曲线的渐近线方程是y=±x,由题意可得①,抛物线y2=4x的准线方程是x=-,因此c=,即a2+b2=c2=7②,联立①②,解得所以双曲线的方程为=1.故选D.
2.B　解法一:过A,B分别作准线x=-4的垂线,垂足分别为A',B',则AF=AA',BF=BB',
所以以AB为直径的圆与直线x=-4相切,又以AB为直径的圆与直线x=13相切,
故圆的直径为17,所以AB=17.
设直线l的方程为x=my+4,与抛物线方程联立,得y2-16my-64=0.
记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16m,
∴x1+x2=16m2+8.
又AB=p+x1+x2=8+x1+x2=16m2+16=17,∴m=±,∴直线l的方程为y=4x-16或y=-4x+16.
故选B.
解法二: 当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=4,根据抛物线的对称性可得以AB为直径的圆的圆心为(4,0),由解得y=±8,
此时以AB为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=64,与直线x=13相离,故直线x=4不满足题意.
当直线l的斜率存在时,易知斜率不为0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-4)(k≠0),
联立化简得k2x2-(8k2+16)x+16k2=0,则x1+x2=8+,x1x2=16.
圆的半径为,
且圆心到直线x=13的距离为13-,解得k=±4,
故直线l的方程为y=4x-16或y=-4x+16.
3.B　易得F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
即(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).
由题意知y1+y2=4,所以=kAB=2,故直线l:y=2(x-2).
联立得y2-4y-16=0,所以y1+y2=4,y1y2=-16.
故|y1-y2|=,
所以S△AOB=OF·|y1-y2|=.故选B.
4.BC　抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线方程为y=-,
由点E(t,2)与焦点F之间的距离等于3,可得2+=3,解得p=2,
则抛物线C的方程为x2=4y,准线方程为y=-1,故A错误,B正确;
由题知直线l的斜率存在,F(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1,
联立消去y,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,所以线段AB的中点Q的坐标为(2k,2k2+1),
所以AB=y1+y2+p=4k2+2+2=4k2+4,故线段AB长的最小值是4,故D错误;
所以圆Q的半径r=2k2+2,
在等腰三角形QMN中,sin∠QMN=≥1-,
当且仅当k=0时取等号,所以sin∠QMN的最小值为,故C正确.
故选BC.
5.C　易知直线l1,l2的斜率均存在且不为0.由F是抛物线x2=4y的焦点,得F(0,1),设l1:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,得x2-4kx-4=0,
∴x1+x2=-=4k,
∴y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2=4k2+2,
∴M(2k,2k2+1),
设l2:y=-x+1,C(x3,y3),D(x4,y4),
联立消去y,得x2+x-4=0,∴x3+x4=-,∴y3+y4=-+2,
∴N,
∴·=(2k,2k2+1)·≥1+2=5,当且仅当2k2=,即k=±1时取等号.故选C.
6.答案　(2,2)
解析　由圆x2+y2-2x=0可得(x-1)2+y2=1,即圆心为(1,0),
所以F(1,0),即=1,解得p=2,所以抛物线C的标准方程为y2=4x,
设点P(xP,yP),xP>0,yP>0,由PF=3,得xP+=3,解得xP=2,代入抛物线方程可得=8,解得yP=2(负值舍去).所以点P的坐标为(2,2).
7.答案　y2=8x;12
解析　由已知条件可设抛物线的标准方程为y2=ax,将P的坐标代入,得(2)2=a×1,解得a=8,∴抛物线的标准方程为y2=8x,抛物线的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
∵=0,
∴点F是△ABC的重心,
∴=2,即x1+x2+x3=6.由抛物线的定义可得FA=x1-(-2)=x1+2,FB=x2-(-2)=x2+2,FC=x3-(-2)=x3+2,
∴||=x1+2+x2+2+x3+2=12.
8.解析　(1)设动圆M的圆心为M(x,y),半径为r.
由题意知,MF=r+1,点M到直线l的距离为r.
解法一:易知点M与点F(2,0)之间的距离等于点M到直线l:x=-2的距离,
根据抛物线的定义知,曲线C是以F(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线.
故曲线C的方程为y2=8x.
解法二:因为MF==r+1,|x+1|=r,x>-1,所以=x+2,化简得y2=8x,故曲线C的方程为y2=8x.
(2)解法一:设P(x0,y0),由PA=PF,
得(x0+2)2+]①,
又点P在曲线C上,所以=8x0,
把=8x0代入①式,解得x0=2(二重根),故P(2,±4),所以kPA=±1,从而∠PAF=.
解法二:过点P向直线x=-2作垂线,垂足为Q.
由抛物线定义知,PQ=PF,所以PA=PQ,
在△APQ中,因为∠PQA=,所以sin∠QAP=,从而∠QAP=,故∠PAF=.