苏教版（2019）选择性必修第一册3.3.1 抛物线的标准方程基础过关练（Word版含解析）

3.3　抛物线
3.3.1　抛物线的标准方程
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　抛物线的定义及其应用
1.(2021江苏南京人民中学月考)设抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上且横坐标为5,则PF等于(　　)
A.4　　　　B.6　　　　 C.8　　　　D.10
2.(2021江苏徐州铜山大许中学调研测试)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点,交抛物线于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为　(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.10
3.(2022安徽淮南第一中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,且l过点(-3,2),M在抛物线C上,若点N(2,4),则MF+MN的最小值为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
题组二　抛物线的标准方程和准线方程
4.(2021江苏泰州中学质量检测)若抛物线x2=ay的准线与椭圆+y2=1相切,则a=(　　)
A.-4或4　　　　B.4
C.-8或8　　　　D.8
5.(2020江苏南通启东中学检测)中国古代的桥梁建筑有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.有一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面宽度为　(　　)
A.2 m　　　　B.4 m
C.4 m　　　　D.12 m
6.(2021江苏镇江中学检测)若双曲线的方程为=1,则以双曲线右准线为准线的抛物线的标准方程是(　　)
A.y2=x　　　　
C.x2=y
题组三　直线与抛物线的位置关系
7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则AB=(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则　(　　)
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
9.(2021江苏南京江浦高级中学检测)过点(0,-3)的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点,则直线l的方程为　　　　　　　　.
10.(2022安徽淮北第一中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(2,m)为其上一点,且MF=4.
(1)求p与m的值;
(2)如图,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,求直线OA,OB的斜率之积.
能力提升练
题组一　抛物线的定义及其应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022河南名校联盟模拟)若点P是抛物线y2=8x上一点,且点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍,则线段PF的中点到y轴的距离等于(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
2.(2020湖南长沙长郡中学期中)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线与y轴交于点A,点M(1,y0)在抛物线C上,MF=,则tan∠FAM=(　　)
A.
3.(2021江苏南京人民中学月考)已知点A(-2,1),y2=-4x的焦点为F,P是y2=-4x上的点,则使PA+PF取得最小值的点P的坐标是　　　　.
题组二　抛物线的标准方程及其应用
4.(2022四川成都第七中学期中)A,B是抛物线x2=2y上的两点,O为坐标原点.若OA=OB,且△AOB的面积为12,则∠AOB=　(　　)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.120°
5.(2021江苏南通海安期中)已知点F(1,0),直线l:x=-1,动点P与点F间的距离等于它到直线l的距离.
(1)试判断点P的轨迹C的形状,并写出其方程;
(2)若曲线C与直线m:y=x-1相交于A、B两点,求△OAB的面积.
题组三　抛物线的综合应用
6.(2020江苏南通第一次教学质量调研)如图,已知△OAP和△ABQ均为等边三角形,它们的边长分别为m,n,抛物线y2=2px(p>0)恰好经过点P,Q,则=　　　　.
7.设抛物线y2=2x上两点A,B位于x轴的同侧,且A,B两点的横坐标之积为4,则直线AB经过的定点坐标是　　　　.
8.(2022江苏南通如皋中学月考)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,直线l过点P(0,-1)且与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A',连接A'B.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)问直线A'B是否过定点 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.C　因为抛物线方程为y2=12x,所以p=6,由抛物线的定义可得PF=xP+=8.故选C.
2.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,由题意知,p=2,则AB=x1+=x1+x2+p=6+2=8.故选C.
3.D　由题可得,准线l的方程为x=-3,则抛物线的方程为y2=12x,∴点N(2,4)在抛物线内,如图所示.
由抛物线的定义可知,MF=xM+3,
∴MN+MF=MN+xM+3≥xN+3=2+3=5.故选D.
4.A　易知抛物线x2=ay的准线方程为y=-,
因为抛物线x2=ay的准线与椭圆+y2=1相切,所以-=±1,所以a=±4,故选A.
5.答案　B　
信息提取　(1)抛物线型拱桥;(2)当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.
数学建模　本题以中国古代的桥梁建筑为背景构建抛物线模型,以拱桥顶点为原点建立平面直角坐标系,设出抛物线的标准方程,进而求解.
解析　由题意,以拱桥顶点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),
由题意知,抛物线经过点A(-4,-2)和点B(4,-2),
代入抛物线方程,解得p=4,
所以抛物线的标准方程为x2=-8y,
水面下降1 m,即y=-3,代入方程,解得x1=2,所以此时水面宽度d=2x1=4 m.
故选B.
6.B　由双曲线方程得a2=3,b2=2,
则c=,∴双曲线的右准线方程为x=,
可知抛物线的准线方程为x=,
设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),
则,故2p=,
则抛物线的标准方程是y2=-x,故选B.
7.D　由条件知,直线y=x-1过抛物线的焦点,
将y=x-1代入抛物线方程y2=4x,整理得x2-6x+1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,
∴AB=x1+x2+2=8.
8.C　因为直线方程为y=kx-k=k(x-1),
所以直线恒过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部,
所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;
当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
故选C.
9.答案　x=0或y=-3或x+3y+9=0
解析　当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,满足题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-3,与y2=4x联立,
可得k2x2-(6k+4)x+9=0,
当k=0时,直线l的方程为y=-3,
满足题意;
当k≠0时,由Δ=[-(6k+4)]2-36k2=0,解得k=-,
此时直线l的方程为x+3y+9=0.
综上,直线l的方程为x=0或y=-3或x+3y+9=0.
10.解析　(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-,
由抛物线的定义知,点M(2,m)与点F间的距离等于点M到准线的距离,
所以MF=2+=4,所以p=4,
故抛物线C的方程为y2=8x.
因为点M(2,m)在抛物线C上,所以m2=16,所以m=±4.
(2)由(1)知,抛物线C的方程为y2=8x,焦点为F(2,0),
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,将x=2代入y2=8x,可得y=±4,则A(2,4),B(2,-4),
从而kOA·kOB==-4;
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k(k≠0),则其方程为y=k(x-2),
联立消去x,得y=k,
即ky2-8y-16k=0,其中k≠0,
则Δ=64+64k2>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2==-16,
所以x1x2=·×(-16)2=4,
从而kOA·kOB==-4.
综上,直线OA,OB的斜率之积为-4.
能力提升练
1.B　根据题意,得抛物线的准线方程为x=-2,F(2,0),设P(x0,y0),
由抛物线的定义及已知条件,得x0+2=3x0,解得x0=1,
所以线段PF的中点的横坐标为,所以线段PF的中点到y轴的距离等于.
2.D　如图,过M向抛物线的准线引垂线,垂足为N,则MN=y0+,故y0=2p.
又M(1,y0)在抛物线上,∴y0=,于是2p=,解得p=(负值舍去),∴MN=,
∴tan∠FAM=tan∠AMN=.
故选D.
3.答案　
解析　如图,过P作 PK⊥l(l为抛物线的准线)于K,则PF=PK,∴PA+PF=PA+PK,∴当点P的纵坐标与点A的纵坐标相同时,PA+PK的值最小,此时点P的纵坐标为 1,把y=1代入 y2=-4x,得 x=-,
即当点P的坐标为时,PA+PF取得最小值.
4.C　如图,由OA=OB,知A,B两点关于y轴对称,设A,a>0,
则S△AOB=,解得a=2,
所以B(2,6),
设∠FOB=θ,0°<θ<90°,
则tan θ=,所以θ=30°,所以∠AOB=2θ=60°.故选C.
5.解析　(1)∵点P与点F间的距离等于它到直线l的距离,∴点P的轨迹C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立得 x2-6x+1=0,∴x1+x2=6.
∵直线m经过抛物线C的焦点F(1,0),
∴AB=x1+x2+p=6+2=8.
∵点O到直线m的距离d=,
∴S△OAB=AB·d=.
6.答案　
解析　由已知得A(m,0),B(m+n,0),则P,
因为抛物线y2=2px(p>0)恰好经过点P,Q,
所以
两式相除可得,
设=t(t>0),则t2=,解得t=(负值舍去),即.
7.答案　(-2,0)
解析　可设A,B同在第一象限,直线AB的方程为y=kx+b(k>0,b>0),将其代入抛物线方程y2=2x,可得k2x2+(2kb-2)x+b2=0,
设A,B的横坐标分别为x1,x2,则x1x2==4,即b=2k,
则直线AB的方程为y=kx+2k=k(x+2),则直线AB过定点(-2,0).
8.解析　(1)因为抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,所以=1,即p=2,
所以抛物线C的标准方程为x2=4y.
(2)易知直线l的斜率存在且不为0,故设直线l的方程为y=kx-1(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则A'(-x1,y1),
联立消去y并整理得x2-4kx+4=0,则Δ=16k2-16>0,x1x2=4,x1+x2=4k,
所以kA'B=.
于是直线A'B的方程为y-(x-x2),
所以y=,即y=x+1,因为当x=0时,y=1,
所以直线A'B过定点(0,1).