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3.3幂函数——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）
一、单选题
1．（2022高二下·嘉兴期中）已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·邵阳模拟）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022高一上·泸州期末）已知幂函数经过点，则（ ）
A． B．9 C．27 D．81
4．（2022高一上·吉林期末）若幂函数的图象过点，则函数的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．（2021高一上·宁德期中）已知函数是幂函数，且时，单调递增，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2或-1 D．2
6．（2021高一上·福清期中）已知幂函数在上单调递减，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．-1
7．（2021高一上·容县期中）如图是幂函数 的部分图象，已知α取 ，2， ， 这四个值，则与曲线 ， ， ， 相应的α依次为（ ）
A．2， ，- ，-2 B．-2，- ， ，2
C．- ，2，-2， D．2， ，-2，-
8．（2021高一上·福州期中）有四个幂函数：①；②；③；④；某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：
⑴偶函数：
⑵值域是且；
⑶在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、多选题
9．（2022高一上·宝安期末）若函数是幂函数，则一定（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增
10．（2021高一上·青岛期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则下列命题正确的是（ ）
A．函数 为增函数
B．函数 的值域为
C．函数 为奇函数
D．若 ，则
11．（2021高一上·兰山期中）关于幂函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的定义域是
B．若 ，则 是减函数
C．若 的图象经过点 ，则其解析式为
D．若 ，则对于任意的 ，都有
12．（2021高三上·茂名月考）已知函数 ，则（ ）
A．函数 过点（1，-1）.
B．若函数 过（-1，1），函数 为偶函数.
C．若函数 过（-1，-1），函数 为奇函数.
D．当 时， 使得函数 .
三、填空题
13．（2022高二下·温州期末）已知幂函数在为减函数，则 .
14．（2022高二下·宁波期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ．
15．（2022高一下·深圳期中）若幂函数 为偶函数，则 .
16．（2022高二下·双鸭山期末）已知幂函数 ，且对于 ， 满足 ，则 ．
四、解答题
17．（2021高一上·洛阳期中）已知函数（是常数）为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的表达式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
18．（2021高一上·郫都期中）已知幂函数 的图象经过点 .
（1）求函数 的解析式；
（2）用定义证明：函数 在 上是减函数
19．（2021高一上·房山期末）已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．
20．（2021高一上·河北月考）已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）设函数，求关于的不等式的解集.
21．（2021高一上·麻城期中）已知幂函数 的图像关于原点对称，且在 上函数值随 的增大而增大.
（1）求 的解析式；
（2）求满足 的 的取值范围.
22．（2020高一上·海东期末）已知幂函数 的图象经过点 ．
（1）求 的解析式．
（2）证明：函数 在区间 上单调递减．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】函数在上单调递增，则，
则“”是 “”的充要条件
故答案为：C
【分析】利用幂函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的性质
【解析】【解答】解：因为
是定义在
上的增函数，又
，
所以
，解得
，
因为由
可推出
，而由
无法推出
，
故“
”是“
”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由幂函数的单调性结合已知条件即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数，则有，可得
故，则
故答案为：C
【分析】由幂函数的解析式，代入数值计算出的取值，由此得出函数的解析式，再把数值代入打函数解析式，计算出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】二次函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】令，由题设，则，
∴，
故当时，函数最小值为.
故答案为：B.
【分析】令，由题设，则，即可求出，再结合二次函数的性质，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意是幂函数，
则，解得或，
因为在上是增函数，
而当时，符合题意；
当时，，所以在上是减函数，不符合题意，
。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义，从而求出m的值，再结合幂函数的图象的单调性，进而找出满足要求的实数m的值。
6．【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】由题意，幂函数，可得，解得或，
当时，可得，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，
综上可得，实数的值为0.
故答案为：A.
【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂力函数的性质，即可求出实数的值。
7．【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】解：根据幂函数的图象与性质，图象越靠近x轴，指数越小，则曲线 ， ， ， 相应的α依次为，
故答案为：Ａ
【分析】根据幂函数的图象与性质求解即可．
8．【答案】D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】对①，函数为奇函数，值域是且，在上是减函数，不符合；
对②，函数为奇函数，值域为，在上是增函数，不符合；
对③，函数为奇函数，值域为，在上是增函数，不符合；
对④，函数为偶函数，值域是，在上是增函数，符合．
故答案为：D．
【分析】判断各个幂函数的奇偶性，值域以及单调性，逐个进行判断可得答案。
9．【答案】B,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
所以或，
由幂函数性质知是奇函数且单调递增，
故答案为：BD.
【分析】根据幂函数的定义，求出或，从而判断函数的单调性和奇偶性即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象；幂函数的性质
【解析】【解答】设 ，因为幂函数 的图象经过点 ，
所以 ，即 ，所以 ，
易知函数 的定义域为 ，单调递增，值域为 ，是非奇非偶函数，A，B符合题意，C不符合题意；
当 时， ，
，
所以 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意由幂函数的解析式、单调性以及图象的性质，即可判断出选项A、B正确；再由函数奇偶性的定义即可判断出选项C错误；由已知条件，整理化简即可比较出大小，由此即可判断出选项D正确，从得出答案。
11．【答案】A,C,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象；幂函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 的定义域为 ，A选项正确； ， 定义域为 ，且 在 ， 单调递减，而不能说 是定义域上是减函数，B选项错误；把点 代入，此时 ，解得： ，所以 ，C符合题意；任意的 ， ， ，其中 ， ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，D符合题意
故答案为：ACD
【分析】根据题意由幂函数的解析式、性质以及图象，由此即可判断出选项A正确、B、C错误；由已知条件结合基本不等式即可得证出结论，由此即可判断出选项D正确，由此即可得出答案。
12．【答案】B,C
【知识点】幂函数的图象；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 ，则 ，A不符合题意；
函数 过（-1，1），则 ， ，即函数偶函数，B符合题意；
若 过（-1，-1），则 ， ，
即函数为奇函数，C符合题意；
当 时， 在 上单调递增，故 ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用幂函数的图象，从而推出幂函数f(x)恒过的定点坐标；再利用代入法结合已知条件，从而求出幂函数的解析式，从而结合奇函数和偶函数的定义，从而判断出函数的奇偶性，再利用幂函数的图象结合已知条件，从而判断出幂函数的单调性，从而推出当 时， 使得，从而找出正确的选项。
13．【答案】
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】为幂函数，所以，解得：或.
当时，为R上的增函数；当时，为R上的减函数.
所以，所以.
故答案为：.
【分析】由幂函数的定义结合函数的单调性，即可计算出m的取值，从而得出函数的解析式，再把数值代入计算出结果即可。
14．【答案】-1
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为幂函数为奇函数，
所以或1或3，
又因为幂函数在上单调递减，
所以，
故答案为：-1.
【分析】由已知条件结合幂函数的定义计算出a的取值，结合幂函数的单调性即可得出答案。
15．【答案】2
【知识点】偶函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】解：因为幂函数 为偶函数，
所以m2-m-1=1，
解得m=2或m=-1，
当m=2时，幂函数y=x2为偶函数，符合题意，
当m=-1时，幂函数y=x-1为奇函数，不符合题意，
所以m=2.
故答案为：2
【分析】根据幂函数的概念，求得m=2或m=-1，再结合偶函数的定义，排除m=-1，从而得解.
16．【答案】2或－1
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】解： 幂函数 ，且 对于 ， 满足 ，
则m2-m-1=1，且m<0 ，或m>1 ，
则m=2 或m=-1 ，
故答案为： 2或-1 ．
【分析】由已知可得m2-m-1=1，且m<0 ，或m>1，从而可求出m的值
17．【答案】（1）由题意可得.，.
（2），在上单调递增.
证明如下：任取，则
.
，，，，
，，即，
在上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的概念以及幂函数的单调性，即可求解出a的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由函数单调性的定义，即可得证出结论。
18．【答案】（1）设幂函数 ，则有 ，即 ， ，
所以， ；
（2）证明：任取 、 且 ，
则 ，
因为 ，故 ，即 ，所以， ，
因此，函数 在 上是减函数.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；幂函数的图象
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而求出幂函数的解析式。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而证出函数 在 上是减函数。
19．【答案】（1）解：因为幂函数的图象经过点，则有，
所以，
所以；
（2）解：因为，所以函数为偶函数，
又函数在上递增，且 ，
所以 ，
所以，
解得，
所以满足条件 的实数 的取值范围为 .
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用幂函数的图象经过点结合代入法，从而求出的值， 进而求出幂函数的解析式。
（2）利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再利用增函数的定义，从而判断出函数在上递增， 再利用偶函数的定义结合增函数的性质，进而求出满足条件 的实数的取值范围。
20．【答案】（1）因为为幂函数，
所以，解得或.
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
综上，的值为.
（2）的定义域为，且在上单调递增.
又因为函数在上单调递增，
所以的定义域为，且在上单调递增.
由，得
解得
故所求不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的定义计算出m的取值，再由函数的单调性即可求出满足题意的m的取值。
(2)由已知条件即可得出函数g(x)的单调性，然后由题意即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可，从而即可得出不等式的解集。
21．【答案】（1）由题可知，函数在 上单调递增，∴ ，解得 .又 ，∴ .
又函数图象关于原点对称，∴ 为奇数，故 .∴ .
（2）∵ ，∴ .
∵ 为奇函数，∴ .
又函数在 上单调递增，∴ .∴ .
∴ 的取值范围是 .
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】利用已知条件结合幂函数的单调性和奇偶性可以求出m的取值，从而得到f(x)的解析式；
（2）先利用奇函数的性质把不等式变形为，再结合幂函数的单调性得到 ，从而得到a的取值范围。
22．【答案】（1）解：设 ，
因为 的图象经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可知 ，
任取 ，令 ，
则 ．
因为 ，
所以 ， ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
即 ，
故 在区间 上单调递减．
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】 (1)设幂函数 ，由幂函数f (x)的图象经过点P (2， 4)，利用待定系数法能求出 的解析式；
(2) 由（1）可知 ，利用单调性的定义即可证出函数函数 在区间 上单调递减．
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3.3幂函数——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）
一、单选题
1．（2022高二下·嘉兴期中）已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】函数在上单调递增，则，
则“”是 “”的充要条件
故答案为：C
【分析】利用幂函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
2．（2022·邵阳模拟）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的性质
【解析】【解答】解：因为
是定义在
上的增函数，又
，
所以
，解得
，
因为由
可推出
，而由
无法推出
，
故“
”是“
”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由幂函数的单调性结合已知条件即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
3．（2022高一上·泸州期末）已知幂函数经过点，则（ ）
A． B．9 C．27 D．81
【答案】C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设幂函数，则有，可得
故，则
故答案为：C
【分析】由幂函数的解析式，代入数值计算出的取值，由此得出函数的解析式，再把数值代入打函数解析式，计算出结果即可。
4．（2022高一上·吉林期末）若幂函数的图象过点，则函数的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】二次函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】令，由题设，则，
∴，
故当时，函数最小值为.
故答案为：B.
【分析】令，由题设，则，即可求出，再结合二次函数的性质，即可求解.
5．（2021高一上·宁德期中）已知函数是幂函数，且时，单调递增，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2或-1 D．2
【答案】D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意是幂函数，
则，解得或，
因为在上是增函数，
而当时，符合题意；
当时，，所以在上是减函数，不符合题意，
。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义，从而求出m的值，再结合幂函数的图象的单调性，进而找出满足要求的实数m的值。
6．（2021高一上·福清期中）已知幂函数在上单调递减，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．-1
【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】由题意，幂函数，可得，解得或，
当时，可得，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，
综上可得，实数的值为0.
故答案为：A.
【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂力函数的性质，即可求出实数的值。
7．（2021高一上·容县期中）如图是幂函数 的部分图象，已知α取 ，2， ， 这四个值，则与曲线 ， ， ， 相应的α依次为（ ）
A．2， ，- ，-2 B．-2，- ， ，2
C．- ，2，-2， D．2， ，-2，-
【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】解：根据幂函数的图象与性质，图象越靠近x轴，指数越小，则曲线 ， ， ， 相应的α依次为，
故答案为：Ａ
【分析】根据幂函数的图象与性质求解即可．
8．（2021高一上·福州期中）有四个幂函数：①；②；③；④；某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：
⑴偶函数：
⑵值域是且；
⑶在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】对①，函数为奇函数，值域是且，在上是减函数，不符合；
对②，函数为奇函数，值域为，在上是增函数，不符合；
对③，函数为奇函数，值域为，在上是增函数，不符合；
对④，函数为偶函数，值域是，在上是增函数，符合．
故答案为：D．
【分析】判断各个幂函数的奇偶性，值域以及单调性，逐个进行判断可得答案。
二、多选题
9．（2022高一上·宝安期末）若函数是幂函数，则一定（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】B,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质
【解析】【解答】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
所以或，
由幂函数性质知是奇函数且单调递增，
故答案为：BD.
【分析】根据幂函数的定义，求出或，从而判断函数的单调性和奇偶性即可.
10．（2021高一上·青岛期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则下列命题正确的是（ ）
A．函数 为增函数
B．函数 的值域为
C．函数 为奇函数
D．若 ，则
【答案】A,B,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象；幂函数的性质
【解析】【解答】设 ，因为幂函数 的图象经过点 ，
所以 ，即 ，所以 ，
易知函数 的定义域为 ，单调递增，值域为 ，是非奇非偶函数，A，B符合题意，C不符合题意；
当 时， ，
，
所以 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意由幂函数的解析式、单调性以及图象的性质，即可判断出选项A、B正确；再由函数奇偶性的定义即可判断出选项C错误；由已知条件，整理化简即可比较出大小，由此即可判断出选项D正确，从得出答案。
11．（2021高一上·兰山期中）关于幂函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的定义域是
B．若 ，则 是减函数
C．若 的图象经过点 ，则其解析式为
D．若 ，则对于任意的 ，都有
【答案】A,C,D
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象；幂函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 的定义域为 ，A选项正确； ， 定义域为 ，且 在 ， 单调递减，而不能说 是定义域上是减函数，B选项错误；把点 代入，此时 ，解得： ，所以 ，C符合题意；任意的 ， ， ，其中 ， ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，D符合题意
故答案为：ACD
【分析】根据题意由幂函数的解析式、性质以及图象，由此即可判断出选项A正确、B、C错误；由已知条件结合基本不等式即可得证出结论，由此即可判断出选项D正确，由此即可得出答案。
12．（2021高三上·茂名月考）已知函数 ，则（ ）
A．函数 过点（1，-1）.
B．若函数 过（-1，1），函数 为偶函数.
C．若函数 过（-1，-1），函数 为奇函数.
D．当 时， 使得函数 .
【答案】B,C
【知识点】幂函数的图象；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 ，则 ，A不符合题意；
函数 过（-1，1），则 ， ，即函数偶函数，B符合题意；
若 过（-1，-1），则 ， ，
即函数为奇函数，C符合题意；
当 时， 在 上单调递增，故 ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用幂函数的图象，从而推出幂函数f(x)恒过的定点坐标；再利用代入法结合已知条件，从而求出幂函数的解析式，从而结合奇函数和偶函数的定义，从而判断出函数的奇偶性，再利用幂函数的图象结合已知条件，从而判断出幂函数的单调性，从而推出当 时， 使得，从而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二下·温州期末）已知幂函数在为减函数，则 .
【答案】
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】为幂函数，所以，解得：或.
当时，为R上的增函数；当时，为R上的减函数.
所以，所以.
故答案为：.
【分析】由幂函数的定义结合函数的单调性，即可计算出m的取值，从而得出函数的解析式，再把数值代入计算出结果即可。
14．（2022高二下·宁波期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ．
【答案】-1
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为幂函数为奇函数，
所以或1或3，
又因为幂函数在上单调递减，
所以，
故答案为：-1.
【分析】由已知条件结合幂函数的定义计算出a的取值，结合幂函数的单调性即可得出答案。
15．（2022高一下·深圳期中）若幂函数 为偶函数，则 .
【答案】2
【知识点】偶函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】解：因为幂函数 为偶函数，
所以m2-m-1=1，
解得m=2或m=-1，
当m=2时，幂函数y=x2为偶函数，符合题意，
当m=-1时，幂函数y=x-1为奇函数，不符合题意，
所以m=2.
故答案为：2
【分析】根据幂函数的概念，求得m=2或m=-1，再结合偶函数的定义，排除m=-1，从而得解.
16．（2022高二下·双鸭山期末）已知幂函数 ，且对于 ， 满足 ，则 ．
【答案】2或－1
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】解： 幂函数 ，且 对于 ， 满足 ，
则m2-m-1=1，且m<0 ，或m>1 ，
则m=2 或m=-1 ，
故答案为： 2或-1 ．
【分析】由已知可得m2-m-1=1，且m<0 ，或m>1，从而可求出m的值
四、解答题
17．（2021高一上·洛阳期中）已知函数（是常数）为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的表达式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
【答案】（1）由题意可得.，.
（2），在上单调递增.
证明如下：任取，则
.
，，，，
，，即，
在上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的概念以及幂函数的单调性，即可求解出a的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由函数单调性的定义，即可得证出结论。
18．（2021高一上·郫都期中）已知幂函数 的图象经过点 .
（1）求函数 的解析式；
（2）用定义证明：函数 在 上是减函数
【答案】（1）设幂函数 ，则有 ，即 ， ，
所以， ；
（2）证明：任取 、 且 ，
则 ，
因为 ，故 ，即 ，所以， ，
因此，函数 在 上是减函数.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；幂函数的图象
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而求出幂函数的解析式。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而证出函数 在 上是减函数。
19．（2021高一上·房山期末）已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为幂函数的图象经过点，则有，
所以，
所以；
（2）解：因为，所以函数为偶函数，
又函数在上递增，且 ，
所以 ，
所以，
解得，
所以满足条件 的实数 的取值范围为 .
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用幂函数的图象经过点结合代入法，从而求出的值， 进而求出幂函数的解析式。
（2）利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再利用增函数的定义，从而判断出函数在上递增， 再利用偶函数的定义结合增函数的性质，进而求出满足条件 的实数的取值范围。
20．（2021高一上·河北月考）已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）设函数，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）因为为幂函数，
所以，解得或.
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
综上，的值为.
（2）的定义域为，且在上单调递增.
又因为函数在上单调递增，
所以的定义域为，且在上单调递增.
由，得
解得
故所求不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的图象
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的定义计算出m的取值，再由函数的单调性即可求出满足题意的m的取值。
(2)由已知条件即可得出函数g(x)的单调性，然后由题意即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可，从而即可得出不等式的解集。
21．（2021高一上·麻城期中）已知幂函数 的图像关于原点对称，且在 上函数值随 的增大而增大.
（1）求 的解析式；
（2）求满足 的 的取值范围.
【答案】（1）由题可知，函数在 上单调递增，∴ ，解得 .又 ，∴ .
又函数图象关于原点对称，∴ 为奇数，故 .∴ .
（2）∵ ，∴ .
∵ 为奇函数，∴ .
又函数在 上单调递增，∴ .∴ .
∴ 的取值范围是 .
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】利用已知条件结合幂函数的单调性和奇偶性可以求出m的取值，从而得到f(x)的解析式；
（2）先利用奇函数的性质把不等式变形为，再结合幂函数的单调性得到 ，从而得到a的取值范围。
22．（2020高一上·海东期末）已知幂函数 的图象经过点 ．
（1）求 的解析式．
（2）证明：函数 在区间 上单调递减．
【答案】（1）解：设 ，
因为 的图象经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可知 ，
任取 ，令 ，
则 ．
因为 ，
所以 ， ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
即 ，
故 在区间 上单调递减．
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【分析】 (1)设幂函数 ，由幂函数f (x)的图象经过点P (2， 4)，利用待定系数法能求出 的解析式；
(2) 由（1）可知 ，利用单调性的定义即可证出函数函数 在区间 上单调递减．
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