函数模型及其应用[上学期]
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课件43张PPT。函数模型及其应用(1) 孙小凯(班级一学生,刚好早晨迟到)早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。问题1如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的
时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ）
问题2 韦老师今天从县中到二中上课，来的时候坐了
出租车。我们知道洪泽出租车的价格，凡上车起步
价为4元，行程不超过3km者均按此价收费，
行程超过3km，按1.5元/km收费。
县中到二中的路程是 4公里，问韦老师今天坐车
用了多少钱？
县中到二中的路程是 x公里，问韦老师今天坐车
会用多少钱？
实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解答 求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用
示意图表示为：数学模型例1、某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元),单位成本P(万元)、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总量x（台）的函数关系式。例2、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则 ，其中 表示
环境温度，称 h为半衰期。
现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间（结果精确到0.1)？例3、在经济学中，函数 的边际函
数 定义为 。某公司每月最多生产100台报警系统，生产x台的收入函数为 (单位：元），其成本函数为 （单位：元）,利润是收入与成本之差。
（1）求利润函数
及边际利润函数 ；
（2）利润函数 与边际利润函数 是具有相同的最大值？因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．欢迎谢谢合作作业 p88 3、4
函数模型及其应用(2)解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．解之得例2.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形的地面修建一幢公寓楼，已知EF=80m,BC=70m,BF=30m,
AF=20m,问：
如何设计才能使公
寓楼地面面积最大？
最大面积是多少？D例1：如图，有一块半径为Ｒ的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ＡＢＣＤ的形状，它的下底ＡＢ是⊙Ｏ的直径，上底ＣＤ的端点在圆周上。问：腰为多少时，梯形周长最大？解:设腰长AD=BC=x,周长为yE练习1．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为 ________m2（围墙厚度不计）．解析：设矩形宽为xm，
则矩形长为（200－4x）m，
则矩形面积为
S＝x（200－4x）
＝－4（x－25）2＋2500
（0＜x＜50），
∴x＝25时，S有最大值2500m2． 2.有甲、乙两种产品，生产这两种产品所获得利润分别为p和q（万元），它们与投入的资金x（万元）的关系分别为 , 。
今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为了获得最大利润，对甲乙两种产品的投入分别应为多少万元？此时最大利润是多少万元？3某产品的成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系
，若每台产品的售价为25万元，则生产者不“亏本”（即销售收入不小于总成本）的最低产量台数为小结：2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答.
即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解，再结合实际做出回答.1.解题四步骤：设、列、解、答.欢迎谢谢合作函数模型及其应用(3)例1、某旅社有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其它因素，旅社将房间租金提高多少时，每天客房租金总收入最高？ 点拨：由题设可知，每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数。设提高为x个2元，则依题意可算出总租金（用y表 示）的表达式，由于房间数不太多，为了帮助同学理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后再用函数的解析表达式求解。解：设客房租金每间提高x个2元，Y=(20+2x)(300-10x)=-20x2+600x-200x+6000=-20(x2-20x+100-100)+6000=-20(x-10)2+8000则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为由此得到，当x=10时，y的最大值为8000，即每间租金为20+10×2=40（元）时客房租金总收入最高，每天为8000元。总结： 通过列表的形式求解，直观性强，有助于同学理解，但运算过程比较繁琐，作为探求思路的方法还是可行的；
根据题目的条件列出函数关系式，利用二次函数求极值，是常用的方法。练习：1、将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品每个上涨1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为多少元？最大利润是多少？2、某车间最大生产能力为月生产100台机床，至少要完成40台才能保本，当生产x台时的总成本函数为G(x)=x2+10x(百元），按市场规律，价格为P=970-5x(x需求量）可以销售完，试写出利润函数，并求出生产多少台时，利润最大。3、某商场出售一种商品，（原来）每天可卖出1000件，每件可获利4元。根据经验，若单件商品的价格每减少0.1元，每天的销售量就会多出100件。从获得最好的经济效益的角度来看，该商品的单价应比现在减少_____元函数模型及其应用(4)例题、一家报刊摊点，从报社买进报纸价格是每份0.24元，卖出是每份0.40元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社，在一个月的30天里，有20天每天可卖出300份，其余10天，每天卖出200份,但这30天里,每天从报社买进的份数必须相同,这家报刊摊点应该每天从报社进多少份报纸,才能获得最大利润,一个月可赚多少钱. (2)当200 y=(0.4-0.24) ·10·200-(0.24-0.08)·10·(x-200)+
(0.4-0.24)·20·x=640+1.6x
≤640+1.6·300=1120解：设这家报刊摊点每天从报社买进x份报纸，一个月可赚y元。
（1）当x≤200时，
y=(0.4-0.24) ·30 ·x·=4.8x≤4.8·200=969.
(3)当x>300时,
y=(0.4-0.24) ·10·200-(0.24-0.08)·10·(x-200)
+(0.4-0.24)·20·300-(0.24-0.08)(x-300)·20
=2560-4.8x<2560-4.8·300=1120总结:求分段函数的最值,应先求出函数在各部分的最值,然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值.变式：如图，一动点P自边长为1的正方形的边界运动一周后再回到A点，若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，
求A，P两点间的
距离y与点P的
路程x之间的函
数关系式。2、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为当月产最的函数
（2）求每月生产多少台仪器时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？例2.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价x元之间满足一次函数关系。
如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为
（ ）
A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元c解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为 `②利润怎样产生的？销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶 1、 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，
慢车到终点站需16min，快车比慢车晚发车3min，
且行驶10min到达终点站。
试写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式。
并回答：两车何时相遇？相遇时距始发站多远？巩固练习3、用一条长为Ｌ米的钢丝折成一个矩形，该矩形长为多少时，面积最大？巩固练习
时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ）
问题2 韦老师今天从县中到二中上课，来的时候坐了
出租车。我们知道洪泽出租车的价格，凡上车起步
价为4元，行程不超过3km者均按此价收费，
行程超过3km，按1.5元/km收费。
县中到二中的路程是 4公里，问韦老师今天坐车
用了多少钱？
县中到二中的路程是 x公里，问韦老师今天坐车
会用多少钱？
实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解答 求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用
示意图表示为：数学模型例1、某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元),单位成本P(万元)、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总量x（台）的函数关系式。例2、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则 ，其中 表示
环境温度，称 h为半衰期。
现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间（结果精确到0.1)？例3、在经济学中，函数 的边际函
数 定义为 。某公司每月最多生产100台报警系统，生产x台的收入函数为 (单位：元），其成本函数为 （单位：元）,利润是收入与成本之差。
（1）求利润函数
及边际利润函数 ；
（2）利润函数 与边际利润函数 是具有相同的最大值？因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．欢迎谢谢合作作业 p88 3、4
函数模型及其应用(2)解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．解之得例2.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形的地面修建一幢公寓楼，已知EF=80m,BC=70m,BF=30m,
AF=20m,问：
如何设计才能使公
寓楼地面面积最大？
最大面积是多少？D例1：如图，有一块半径为Ｒ的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ＡＢＣＤ的形状，它的下底ＡＢ是⊙Ｏ的直径，上底ＣＤ的端点在圆周上。问：腰为多少时，梯形周长最大？解:设腰长AD=BC=x,周长为yE练习1．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为 ________m2（围墙厚度不计）．解析：设矩形宽为xm，
则矩形长为（200－4x）m，
则矩形面积为
S＝x（200－4x）
＝－4（x－25）2＋2500
（0＜x＜50），
∴x＝25时，S有最大值2500m2． 2.有甲、乙两种产品，生产这两种产品所获得利润分别为p和q（万元），它们与投入的资金x（万元）的关系分别为 , 。
今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为了获得最大利润，对甲乙两种产品的投入分别应为多少万元？此时最大利润是多少万元？3某产品的成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系
，若每台产品的售价为25万元，则生产者不“亏本”（即销售收入不小于总成本）的最低产量台数为小结：2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答.
即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解，再结合实际做出回答.1.解题四步骤：设、列、解、答.欢迎谢谢合作函数模型及其应用(3)例1、某旅社有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其它因素，旅社将房间租金提高多少时，每天客房租金总收入最高？ 点拨：由题设可知，每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数。设提高为x个2元，则依题意可算出总租金（用y表 示）的表达式，由于房间数不太多，为了帮助同学理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后再用函数的解析表达式求解。解：设客房租金每间提高x个2元，Y=(20+2x)(300-10x)=-20x2+600x-200x+6000=-20(x2-20x+100-100)+6000=-20(x-10)2+8000则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为由此得到，当x=10时，y的最大值为8000，即每间租金为20+10×2=40（元）时客房租金总收入最高，每天为8000元。总结： 通过列表的形式求解，直观性强，有助于同学理解，但运算过程比较繁琐，作为探求思路的方法还是可行的；
根据题目的条件列出函数关系式，利用二次函数求极值，是常用的方法。练习：1、将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品每个上涨1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为多少元？最大利润是多少？2、某车间最大生产能力为月生产100台机床，至少要完成40台才能保本，当生产x台时的总成本函数为G(x)=x2+10x(百元），按市场规律，价格为P=970-5x(x需求量）可以销售完，试写出利润函数，并求出生产多少台时，利润最大。3、某商场出售一种商品，（原来）每天可卖出1000件，每件可获利4元。根据经验，若单件商品的价格每减少0.1元，每天的销售量就会多出100件。从获得最好的经济效益的角度来看，该商品的单价应比现在减少_____元函数模型及其应用(4)例题、一家报刊摊点，从报社买进报纸价格是每份0.24元，卖出是每份0.40元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社，在一个月的30天里，有20天每天可卖出300份，其余10天，每天卖出200份,但这30天里,每天从报社买进的份数必须相同,这家报刊摊点应该每天从报社进多少份报纸,才能获得最大利润,一个月可赚多少钱. (2)当200
(0.4-0.24)·20·x=640+1.6x
≤640+1.6·300=1120解：设这家报刊摊点每天从报社买进x份报纸，一个月可赚y元。
（1）当x≤200时，
y=(0.4-0.24) ·30 ·x·=4.8x≤4.8·200=969.
(3)当x>300时,
y=(0.4-0.24) ·10·200-(0.24-0.08)·10·(x-200)
+(0.4-0.24)·20·300-(0.24-0.08)(x-300)·20
=2560-4.8x<2560-4.8·300=1120总结:求分段函数的最值,应先求出函数在各部分的最值,然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值.变式：如图，一动点P自边长为1的正方形的边界运动一周后再回到A点，若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，
求A，P两点间的
距离y与点P的
路程x之间的函
数关系式。2、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为当月产最的函数
（2）求每月生产多少台仪器时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？例2.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价x元之间满足一次函数关系。
如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为
（ ）
A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元c解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为 `②利润怎样产生的？销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶 1、 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，
慢车到终点站需16min，快车比慢车晚发车3min，
且行驶10min到达终点站。
试写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式。
并回答：两车何时相遇？相遇时距始发站多远？巩固练习3、用一条长为Ｌ米的钢丝折成一个矩形，该矩形长为多少时，面积最大？巩固练习