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专题08 圆心角与圆周角
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用弧、弦、圆心角求解
1．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
2．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
3．如图，中，，．则的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
5．如图，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
考查题型二 理解圆心角的概念
6．下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
7．下图中是圆心角的是( )
A． B． C． D．
8．下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和② B．①和③
C．①和④ D．①、②、③、④
9．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．如图，计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)，下列描述正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
考查题型三 求圆弧度数
11．如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE=DE，∠B=40°，则∠A的度数是
A．20° B．30° C．40° D．80°
12．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是（ ）
A．60° B．75° C．80° D．90°
13．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是( )
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
14．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．圆心到这两条弦的距离相等 D．以上答案都不对
15．如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（ ）
A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°
考查题型四 理解圆周角的概念
16．下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是( )
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
18．如图，图中共有圆周角（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
19．如图，其中圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图，图中的圆周角有( )
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
考查题型五 圆周角定理
21．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
22．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
23．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
25．如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
27．如图，点在上，，垂足为E．若，，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
考查题型六 同弧或等弧所对的圆周角相等
28．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )
A．15° B．35° C．25° D．45°
30．如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
31．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
32．如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
考查题型七 半圆所对的圆周角是直角
33．如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ）
A． B． C．1 D．2
34．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
35．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
36．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
37．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
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专题08 圆心角与圆周角
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用弧、弦、圆心角求解
1．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【详解】
解：如图，在⊙ O中，
∵，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A=
故选A．
2．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
【详解】
，
．
，
，
，
故选：D．
3．如图，中，，．则的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
【详解】
解：∵，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-70°×2=40°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°，
故选C．
4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
【详解】
∵OM=ON，
∴∠M=∠N=52°，
∴∠MON=180°-2×52°=76°．
故选C．
5．如图，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
【详解】
解：连接OC、OD，
∵BC=CD=DA，
∴∠COB=∠COD=∠DOA，
∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，
∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，
∵OB=OC=OD，
∴△COD、△BOC是等边三角形，
∴∠OCD=∠OCB=60°，
∴∠BCD=∠OCD+∠OCB=120°，
故选：C．
考查题型二 理解圆心角的概念
6．下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：顶点在圆心的角叫做圆心角，4个选项中只有B符合要求．
故选：B．
7．下图中是圆心角的是( )
A． B． C． D．
【详解】
顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.
如图，∠AOB的顶点O是圆O的圆心，OA、OB交圆O于A、B两点，则∠AOB是圆心角.
故选B.
8．下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和② B．①和③
C．①和④ D．①、②、③、④
【详解】
解：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故①正确．
②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误．
③在圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误．
④根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，若圆心角相等，则弦相等，所以圆心角不等，弦也不等；故④正确．
故选C．
9．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【详解】
解：.
故选：B.
10．如图，计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)，下列描述正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
【详解】
解：如图，当x=25%时，∠MON=90°；当x=50%时，∠MON=180°；OM=ON=1；
A、d（25%）=＞1，本选项不符合题意；
B、当x＞50%时，0≤d（x）＜4，本选项不符合题意；
C、当x1＞x2时，d（x1）与d（x2）可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
D、当x1+x2=100%时，d（x1）=d（x2），本选项符合题意；
故选：D．
考查题型三 求圆弧度数
11．如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE=DE，∠B=40°，则∠A的度数是
A．20° B．30° C．40° D．80°
【详解】
∵BE=DE，∠B=40°，
∴∠D＝∠B＝40°，
又∵∠A和∠D是弧BC所对的圆周角，
∴∠A＝∠D＝40°；
故选C．
12．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是（ ）
A．60° B．75° C．80° D．90°
【详解】
作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，
∴点Q为这条圆弧所在圆的圆心，
∴QC＝AQ＝，连接AC，且AC＝，
∴在△AQC中，
∴△AQC是等腰直角三角形，
∴∠AQC＝90°，
故本题正确答案为选项D．
13．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是( )
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
【详解】
详解：因为正六边形的中心角是360°÷6＝60°，所以圆内接正六边形的一边所对的圆周角为30°或150°.
14．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．圆心到这两条弦的距离相等 D．以上答案都不对
【详解】
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的弧相等，所对的圆心角相等，圆心到两条弦的距离（弦心距）相等，
即选项A、B、C都不对．
故选D．
15．如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（ ）
A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°
【详解】
试题解析：∵将旋转n°得到，
∴=，
∴∠DOC=∠AOB=25°
故选A．
考查题型四 理解圆周角的概念
16．下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
试题分析：根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，因此，∠x是圆周角的为C．故选C．
17．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是( )
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
【详解】
解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE
故选：C
18．如图，图中共有圆周角（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【详解】
图中的圆周角有：∠FAE，∠AEF，∠AFE，∠AED，∠FED共5个
故选C
19．如图，其中圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】
解：根据题意，，是圆周角，共2个．
故选：B．
20．如图，图中的圆周角有( )
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
【详解】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，两边和圆相交，则可以得出四边形ABEC的顶点处都有3个圆周角，一共有12个．故选C．
考查题型五 圆周角定理
21．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【详解】
解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E=∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于：．
故选C．
22．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【详解】
解：由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD==，
∴tan∠1=，
∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
23．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【详解】
解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【详解】
∵OB＝OC，∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．
故选：B．
25．如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
26．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【详解】
解：过点作，交于点，
是的外接圆，，
，
又，，
，，
在中，，
，，
，
故选：．
27．如图，点在上，，垂足为E．若，，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【详解】
解：连接OC，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵，垂足为E，
∴，
故选：D．
考查题型六 同弧或等弧所对的圆周角相等
28．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
【详解】
解：∵直径CD⊥弦AB，
∴弧AD =弧BD，
∴∠C=∠BOD．
故选B．
29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )
A．15° B．35° C．25° D．45°
【详解】
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，
∵DC//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，
故选A.
30．如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
31．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【详解】
解：连接OA，OB，OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴∠ABC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故选B.
32．如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵与都是所对的圆周角，
∴．
故选D．
考查题型七 半圆所对的圆周角是直角
33．如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ）
A． B． C．1 D．2
【详解】
解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE=
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
则（x+）2=32+x2，解得x=
∴AB=+=2
故填：2．
34．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【详解】
解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
35．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
【详解】
解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
36．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
【详解】
解：由AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=90°-∠ABD=32°，
∴∠BCD=∠A=32°．
故选B．
37．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【详解】
解：∵AB是的直径，
故选C．
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