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专题10 直线与圆的位置关系
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 判断直线与圆的位置关系
1．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切、相交均有可能
【详解】
∵若直线l与⊙O只有一个交点，即为点P，则直线l与⊙O的位置关系为：相切；
若直线l与⊙O有两个交点，其中一个为点P，则直线l与⊙O的位置关系为：相交；
∴直线l与⊙O的位置关系为：相交或相切，
故选D．
2．已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【详解】
解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
【详解】
当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选：D．
4．已知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【详解】
∵的解为x=4或x=-1，
∴r=4，
∵4＜6，即r＜d，
∴直线和⊙O的位置关系是相离.
故选A.
5．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离
【详解】
∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选B．
考查题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围
6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
【详解】
解：如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；
由勾股定理，得：AB2=32+42=25，
∴AB=5；
又∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴CD=r；
∵S△ABC=AC BC=AB r；
∴r=2.4cm，
故选B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是( )
A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，
当圆A的半径0＜r＜3或r＞5时，圆A与线段BC没有公共点；
故选D．
8．如图，平面直角坐标系中，与轴分别交于、两点，点的坐标为，．将沿着与轴平行的方向平移多少距离时与轴相切 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【详解】
连接，作于点，由垂径定理得：
，
在直角中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴的半径是2．
将向上平移，当与轴相切时，平移的距离；
将向下平移，当与轴相切时，平移的距离．
故选D．
9．在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【详解】
如图，过点作于点．
，．
①如果以点为圆心，为半径的圆与斜边相切，则．此时．
②当时，圆与边也只有一个公共点．
综上，或．
故选D．
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC
【详解】
作DE⊥BC于E，如图所示：
则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，
∴CE＝4＝DE，
当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；
当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，
设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝；
∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤；
故选B．
考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
11．已知的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（ ）
A．5 B．5.5 C．4.5 D．1
【详解】
∵直线与有公共点
∴直线与应是相交或相切的位置关系
∴圆心距小于等于半径
∵5.5>5
∴B选项错误
故选B．
12．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，那么点O到直线l的距离是( )
A．2.5 B．3 C．5 D．10
【详解】
解∶⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，那么点O到直线l的距离是5．
故选：C
13．设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的关系是( )
A．d=m B．d>m C．d> D．d<
【详解】
∵⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离
∴d>
故选C.
14．已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．0 B．3 C．3.5 D．4
【详解】
解：∵直线m与⊙O公共点的个数为2个
∴直线与圆相交
∴d＜r＝3，则d可取0，
故选：A．
15．已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（ ）
A．OP＝5 B．OE＝OF
C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF
【详解】
∵点 P 在⊙O 上，∴只需要 OP⊥EF 即可， 故选D．
考查题型四 切线的判定定理
16．如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
【详解】
解：于，
以为圆心，为半径的圆与直线相切，
故选：D．
17．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【详解】
连接OD，∵CA，CD是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
∴∠OAC=∠ODC=90°，
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，
∵OB=OD，
∴∠DBA=∠ODB=∠AOD=75°．
故选D．
18．如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（ ）
A． B．
C．AC是直径 D．且
【详解】
解：A.当，则AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切；
B.AC不一定是的直径，所以不能判断EF直线EF与相切；
C. AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切；
D. 当，则AC为的直径，且，所以EF直线EF与相切.
故选D.
19．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【详解】
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
20．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【详解】
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选D．
考查题型五 切线的性质定理
21．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
【详解】
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360° 90° 90° 110°＝70°．
故选B．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是( )
A．23° B．44° C．46° D．57°
【详解】
连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠COD=2∠A=46°，
∴∠D=90°﹣46°=44°，
故选B．
23．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【详解】
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3+=，
故选A．
25．如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】
因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.
考查题型六 应用切线长定理求解
26．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【详解】
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选C．
27．如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【详解】
解：∵是的切线，切点分别是．
∴，
∴，
∵，
∴．
故选D．
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专题10 直线与圆的位置关系
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 判断直线与圆的位置关系
1．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切、相交均有可能
2．已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
4．已知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
5．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离
考查题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围
6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是( )
A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5
8．如图，平面直角坐标系中，与轴分别交于、两点，点的坐标为，．将沿着与轴平行的方向平移多少距离时与轴相切 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
9．在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC
考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
11．已知的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（ ）
A．5 B．5.5 C．4.5 D．1
12．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，那么点O到直线l的距离是( )
A．2.5 B．3 C．5 D．10
13．设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的关系是( )
A．d=m B．d>m C．d> D．d<
14．已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．0 B．3 C．3.5 D．4
15．已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（ ）
A．OP＝5 B．OE＝OF
C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF
考查题型四 切线的判定定理
16．如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
17．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
18．如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（ ）
A． B．
C．AC是直径 D．且
19．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
20．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
考查题型五 切线的性质定理
21．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
22．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是( )
A．23° B．44° C．46° D．57°
23．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考查题型六 应用切线长定理求解
26．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
27．如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
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