第23章 解直角三角形单元测试卷（困难）（含答案）

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沪科版初中数学九年级上册第23章《解直角三角形》单元测试卷
考试范围：第23章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上．连接，交于点，交于点给出以下结论：
；
；
和的面积相等；
当点与点重合时，，
其中正确的结论共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点若，的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，，，平分，与对角线相交于点，是线段的中点，则下列结论中正确的有个．( )
；；；．
A. B. C. D.
如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是( )
A. B. C. D.
如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．下面结论中正确的个数为( )
是的中点；；；当时，．
A. B. C. D.
如图，正方形的对角线，相交于点，点是上一点，交于点，连接，交于点，连接则下列结论：；；；若：：，则；四边形的面积是正方形面积的其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
如图，已知矩形中，点是边上的点，，，，，垂足为下列结论：≌；；平分；其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，中，，是中点，点在上，，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则以下结论中：；；；∽，正确的是( )
A. B. C. D.
如图，在正方形中，，分别为、的中点，连接，交于点，将沿对折，得到，延长交延长线于点，下列结论：；；；；，其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，是正方形的边上一点，连接，，则的值可能是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在中，，，，是边上一点连接，将沿直线折叠，点落在处，当点在的内部不含边界时，长度的取值范围是_____．
如图，在由个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则______．
如图，在锐角三角形中，，，于点，于点，连接，则面积的最大值是______．
如图，在矩形中，为边上一点，，且，，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，在 中，，分别是，的中点．
求证：≌．
当，且的面积为，求证：四边形是菱形．
在中，，点是的中点，点是上的一个动点点不与点，，重合过点，点作直线的垂线，垂足分别为点和点，连接，．
如图，请写出线段与的数量关系；
如图，当时，请判断线段与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
若，，当为等腰三角形时，请写出线段的长．
如图，是斜边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连结．
求证：四边形为菱形．
若，，求菱形的面积．
直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图所示那样折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．
在等腰直角中，，是线段上一动点与点、不重合，连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点．
若，求的大小用含的式子表示．
用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
已知，，．
如图，若，求的长；
如图，试确定四边形，满足，且尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．
如图，在某次斯诺克比赛中，白球位于点处，在点正北方向的点处有一颗红球，在点正东方向处有一颗黑球，在正中间的点处有一颗篮球，其中点在点的南偏东方向上，选手将白球沿正北方想推进到达点处时，测得点在点的北偏东方向上，求此时白球与红球的距离有多远？参考数据：，，
如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正东方向，有一艘小船在点处，从测得小船在北偏西的方向，从测得小船在北偏东的方向．
求点到海岸线的距离结果保留根号；
小船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．结果精确到，，
如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接，，．
求抛物线的表达式；
求证：平分；
抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．连接，过点作轴于点，过点作轴于点，通过角的计算找出，结合，可得出∽，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，可得出的值，进而得到的值．
【解答】
解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
由反比例函数的对称性可知、点关于点对称，
．
又，
．
，，
，
又，，
∽，
，
，
，．
又，
，
．
点在第二象限，
，
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．连接，设与交于点，由折叠的性质可得垂直平分，可判断；由“”可证≌，可得，可判断；通过证明四边形是菱形，可得，由角的直角三角形的结论可求，可得，可判断，由题意无法证明和的面积相等，即可求解．
【解答】
解：如图，连接，设与交于点，
将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，
垂直平分，
，，，，故正确，
，
，
又，
，
，
，故正确，
，
四边形是菱形，
，
当点与点重合时，则，
，
易证，
，故正确，
过点作于点，
四边形是菱形，
平分，
，
在中，，
又，，
和的面积不相等，故错误；
故选C．
3.【答案】
【解析】解：连接，
是斜边上的中线，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，即得，在中，求出，证明，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
，，
，
四边形是矩形，
，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
是线段的中点，，
，
故正确；
，
，
，
，
，，
故正确；
，
，
，
，
故正确；
，，
，
，
故错误，
故选：．
利用面积法可求的长，由三角形的中位线定理可求的长，可判断；由平行线分线段成比例可求的长，可判断；由面积关系可求，可判断；由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求的值，可判断，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，过点作于，
将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，
，，，，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
由折叠的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6.【答案】
【解析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角比，掌握折叠的性质是解题的关键．
由折叠的性质可得，判定；根据折叠性质和平角可得，判定；根据平行线的性质和折叠性质可判定；先判断四边形是平行四边形，再利用其性质和锐角比即可判定．
【解答】
解：将，分别沿，折叠，
，，，，，
点是的中点，故正确；
，
，
，故正确；
，
，故正确；
，
，
由折叠的性质可得：，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，故正确．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，．
，
，
．
．
在和中，
，
≌，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
．
．
的结论正确；
，，
点，，，四点共圆，
，
的结论正确；
过点作，交于点，如图，
，，
，
．
，
，
，
．
．
，，，，
．
在和中，
，
≌，
．
．
的结论正确；
：：，
设，则，
，
过点作于点，如图，
，
，
，
在中，
，
．
的结论不正确；
四边形是正方形，
，，
≌≌≌．
．
．
由知：≌，
，
．
即四边形的面积是正方形面积的．
的结论正确．
综上，的结论正确．
故选：．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
≌，
，，故正确，
不妨设平分，则是等腰直角三角形，这个显然不可能，故错误，
，，
，
，
，故错误，
正确的结论有共个．
故选：．
根据矩形的性质证明≌，，利用勾股定理求出，然后逐一进行判断即可解决问题．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识．证明∽是解题的关键．先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出，，再证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，求出，然后在中利用余弦函数定义求出的值．
【解答】
解：中，，，
，，
是中点，，
，
，
，
，
，
，
设，则，．
在与中，，，
∽，
，
即，
解得负值舍去，
，
在中，，
．
故选C．
10.【答案】
【解析】解：正方形的边长为，点是的中点，
，，，
，
，
，
在与中，，
≌，
，
，
∽，
，
；故正确；
由勾股定理可知：，
，
，
，，
，故正确，
作于．
，
，
，
，
，
，，
，故正确，
，
，
与不相似，故错误．
故选：．
正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．
正确．作于，求出，即可解决问题．
正确．求出，即可判断．
错误．证明即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】
【解析】解：将沿对折，得到，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，故正确；
四边形是正方形，
，，
，分别为、的中点，
，
≌，
，
，
，
，
；故正确；
设正方形边长为，则，
，
，
，故正确；
，，在中，设，
，
，
，
，故错误；
，，
∽，
，
，
，
，即，故正确，
正确的结论有共个，
故选：．
根据将沿对折，得到，得，而，即可得，判断正确；证明≌，得，即可证，判断正确；设正方形边长为，则，可得，即可判断正确；在中，设，由勾股定理可得，可求得，判断错误；由∽，有，，可判断正确．
本题考查正方形中的翻折变换，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理应用等，解题的关键是掌握翻折的性质．
12.【答案】
【解析】解：点在正方形边上运动，
当与点或点重合时，最小，此时的值也最小，
此时；
当运动到中点时，最大，此时的值也最大，
如图，取中点，连接，，过点作于点，
设正方形的边长为，则，
，
同理，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
的值可能是，
故选B．
点在正方形边上运动，当与点或点重合时，最小，此时的值也最小，此时；当运动到中点时，最大，此时的值也最大，取中点，连接，，过点作于点，证明∽，然后得到，进而可以进行判断．
本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点落在和上时的值是本题的关键．
由勾股定理可而且的长，分别求出当点落在上时和当点落在上时，的长，即可求解．
【解析】
解：，，，
，
当点落在上时，如图，
将沿折叠，点落在处，
，
，
，
当点落在上时，如图，过点作于，
将沿折叠，点落在处，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当点在内部不含边界时，长度的取值范围为．
14.【答案】
【解析】解：给图中各点标上字母，连接，如图所示．
在中，，，
．
同理，可得出：．
又，
．
设等边三角形的边长为，则，，
，
．
故答案为：．
给图中各点标上字母，连接，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理，可得出：，由结合可得出，设等边三角形的边长为，则，，利用勾股定理可得出的长，再结合余弦的定义即可求出的值．
本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：画出的外接圆，连接，
，，
点在优弧上运动，
当时，的面积最大，
，
，
，，
，，
最大为，
由勾股定理得，，
，
，
，
同理，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
画出的外接圆，连接，利用定角对定边可知点在优弧上运动，当时，的面积最大，求出的最大面积，再利用三角函数求出的长度，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，等于三角形的性质，利用定边对定角确定隐圆是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，
在矩形中，
，
，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设，，
则，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作延长线于点，过点作于点，根据矩形的性质证明≌，可得，根据，设，，则，设，，，，所以，可得，求出，根据勾股定理可得，所以，可得，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，分别是，中点，
，，
，
，，
≌．
解法一、过作于，
，且的面积为，
，，
，
，
，
，
，分别是，中点，
，
≌，
，
，
四边形是菱形．
解法二、过作于，
，且的面积为，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，分别是，中点，
，
≌，
，
，
四边形是菱形
【解析】根据平行四边形的性质得到，，，推出，根据即可推出答案；
过作于，根据三角形的面积求出，根据锐角三角函数求出，得出等边三角形，推出，推出即可．
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
18.【答案】解：．
如图中，延长交于．
，，
，
，
在和中，
≌，
，
是直角三角形，
．
，理由如下：
如图中，延长交于．
，
，，
，
在和中，
≌，
，．
，，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，．
如图中，当点在线段上时，延长交于作于．
，，，
，
在中，，
，，
，，
是等腰三角形，观察图形可知，只有，
在中，，，，
．
如图中，当点在线段上时，作于．
同法可得：，，，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【解析】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，属于中考压轴题．
如图中，延长交于首先证明≌，推出即可解决问题；
如图中，延长交于由≌，推出，，由≌，推出，，推出，可得是等腰直角三角形，即可解决问题；
分两种情形分别求解即可解决问题．
19.【答案】证明：，
，．
是的中点，
，
≌，
．
是边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：，
设，，则，
，
，
，
，．
连，
由可知：，，
四边形是平行四边形，
，

【解析】此题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，掌握好相关知识是解题的关键．
先证明≌，得出，判定四边形是平行四边形，利用，即可得出结果；
设，，则，利用， 求出，进而求出和，然后证明出四边形是平行四边形，可得，利用，即可得出结果．
20.【答案】解：，，
由勾股定理得，
由折叠可得，，
设，则，
所以，
解得，
．
【解析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折变换，勾股定理的计算，根据已知及翻折变换，勾股定理的计算，求出的值．
21.【答案】解：；理由如下：
，是等腰直角三角形，
，，
，
，
；
；理由如下：
连接，作，如图所示：
，，
，
又，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
又易知是等腰直角三角形，
又，，
在中，，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由等腰直角三角形的性质得出，，由直角三角形的性质即可得出结论；
连接，作，由证明≌，得出，由是等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数即可求解．
22.【答案】解：过作于，如图：
，，
，，
，
，
，
在中，
，
答：的长为；
如图：
四边形即为所求四边形．
【解析】过作于，由，，得，，根据，可得，，用勾股定理得的长为；
作的外接圆，再以为圆心，为半径作弧与外接圆交点即为．
本题考查直角三角形的边角关系及尺规作图，解题的关键是掌握基本的尺规作图方法．
23.【答案】解：由题意可知，，，
如图，过点作于点，则，
设，
在中，，即，则，
在中，，即，
，
点是中点，且，
，
即，
解得，
．
故此时白球与红球的距离有远．
【解析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
考查了解直角三角形的应用方向角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
24.【答案】解：如图，过点作于点设．
在中，，，
．
在中，，，
．
，
，
，
点到海岸线的距离为；
如图，过点作于点．
根据题意得：，
在中，，，
．
在中，．
在中，，，
，
点与点之间的距离大约为．
【解析】过点作于点，设，先解，用含的代数式表示，再解，用含的代数式表示，然后根据，列出关于的方程，解方程即可；
过点作于点，先解，得出，再解，得出．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
25.【答案】解：将，代入得：，
解得：，．
抛物线的解析式为．
，，
．
取，则．
可知．
，，
．
．
在和中，，，，
≌，
，
平分；
如图所示：抛物线的对称轴交轴与点，交与点．
抛物线的对称轴为，则．
，，
．
．
，
．
，
．
同理：．
又，
，
．
点的坐标为或．
【解析】将，代入抛物线的解析式得到关于、的方程组，从而可求得、的值；
先求得的长，然后取，则，连接，接下来，证明，然后依据可证明≌，接下来，依据全等三角形的性质可得到；
作抛物线的对称轴交轴与点，交与点，作点作，作，分别交抛物线的对称轴与、，依据点和点的坐标可得到，从而可得到或，从而可得到和的长，故此可得到点和点的坐标．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得和的长是解题的关键．
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