第23章 解直角三角形单元测试卷（标准难度）（含答案）

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沪科版初中数学九年级上册第23章《解直角三角形》单元测试卷
考试范围：第23章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，点，，在正方形网格的格点上，则( )
A.
B.
C.
D.
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点、、、均在格点上，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在平面直角坐标系中，，，，是正方形边上的线段，点在其中某条线段上，若射线与轴正半轴的夹角为，且，则点所在的线段可以是( )
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
如图，在中，，，，作等腰三角形，使，，且点不在射线上过点作，垂足为则的值为．( )
A. B. C. D.
如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知折痕，且，那么矩形的周长为 ( )
A.
B.
C.
D.
已知，则下列结论正确的是．( )
A. B.
C. D.
如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，则的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
小明去爬山，在山脚看山顶的仰角，小明在坡比为：的山坡上走米到达处，此时小明看山顶的仰角，则山高为米．( )
A. B. C. D.
如图是某区域的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里观测站到的距离是( )
A. B. C. D.
如图，是菱形边上一点，连接，若，，点是的中点，点在上，则下列结论错误的是( )
A. 菱形的面积是
B. 若是的中点，则
C.
D. 若，则
如图，在中，，，平分，交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
如图，线杆的高度为，两根拉线与互相垂直，，若、、在同一条直线上，则拉线的长度为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在矩形中，是对角线，，垂足为，连接若，则的值为______．
如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______．
如图，在矩形中，，，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，连接，那么的正切值是______．
如图，已知平行四边形，，为上一点，将沿折叠，得到，且交于点，交于点，则图中阴影部分四边形的面和为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
先化简，再求值：，其中．
先化简，再求值：，其中．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数为常数，的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点．点的坐标为，点与点关于成轴对称，．
求的值；
直接写出点的坐标，并求直线的解析式；
是轴上一点，且，求点的坐标．
如图，在梯形中，，，，，
求的长；
若的平分线交于点，连接，求的正切值．
如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为．
求证：四边形是平行四边形；
若平分，，，求和的长．
某市为了加快网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点测得发射塔顶端点的仰角是，向前走米到达点测得点的仰角是，测得发射塔底部点的仰角是请你帮小军计算出信号发射塔的高度．结果精确到米，
安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，如图是悬挂着巨大匾额的琅琊阁，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角，且米，求匾额悬挂的高度的长．结果精确到米，参考数据：，，
如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是米秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道处测得白塔底部的仰角约为，测得白塔顶部的仰角约为，索道车从处运行到处所用时间约为分钟．
索道车从处运行到处的距离约为______米；
请你利用小明测量的数据，求白塔的高度．结果取整数
参考数据．，，，
如图，小李同学想测自己居住楼的高度，他起先站在点从处张望向自己家的阳台时，测得仰角恰为，接着他向楼的方向前进了，从处仰望楼顶时，测得仰角恰为，已知小李同学身高为，，设参考数据：
求他起先站立位置与楼的距离结果保留根号；
求楼高结果保留一位小数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出是解决问题的关键．
作于，根据勾股定理求出、，利用三角形的面积求出，最后在直角中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作于，
由勾股定理得，，，
，
，
．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：由图可得，
，，，
，
是直角三角形，
，
，故A错误；
由图可知，显然和不全等，故选项B错误；
，，
，故选项C错误；
，，
，故选项D正确；
故选：．
根据勾股定理可以得到、、的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到的形状，利用特殊角的三角函数值可判定的度数；根据图形，很容易判断与不全等和不成立；再根据锐角三角函数可以得到和的关系．
本题考查锐角三角函数，勾股定理与勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】
【解析】解：如图，当点在线段上时，连接．
，，，
，
同法可证，点在上时，，
如图，当点在上时，作于．
，，，
，
同法可证，点在上时，，
故选：．
本题考查正方形的性质，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
当点在线段上时，连接根据正弦函数，余弦函数的定义判断，的大小．当点在上时，作于，判断，的大小即可解决问题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据勾股定理求出，再证明≌，得出，，从而根据勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义即可得到答案．
【解答】
解：，，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
．
5.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
设，则，
由勾股定理得，
，
，，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
解得：，
矩形的周长，
故选：．
根据，设，在中可得，，由，由三角函数的知识求出，在中由勾股定理求出，代入可得出答案．
此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了锐角的余弦，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．
【解答】
解：，，，
又，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图，过作于，
四边形是菱形，且，，
，，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：．
过作于，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长，即可解决问题．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：：：，
，
：：：：，
米，
米，
米，
设米，
，
米．
又，
．
即：，
解得，
米，
米．
故选：．
构造两个直角三角形与，分别求解可得与的值，再利用图形关系，进而可求出答案．
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
分别计算、、的度数，证出是等腰直角三角形，得出，求出，由题意得出，据此求即可．
【解答】
解：由题意得：，，
；
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
根据勾股定理得，，
菱形的面积是，故选项A正确；
在中，，，
，
，
，
，故选项C错误；
在中，，
，
，
点是的中点，
，
在中，，
，故选项D正确；
如图，过点作于，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
点为的中点，
，
，
在中，根据勾股定理得，，故选项B正确，
即错误的是选项C，
故选：．
过点作于，进而求出，根据勾股定理得，，即可判断出选项A正确；
先求出，进而得出，即可判断出选项C错误；
先求出，进而求出，最后用三角函数即可求出，判断出选项D正确；
过点作于，求出，进而求出，进而求出，最后用勾股定理求出，即可判断出选项B正确．
此题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，菱形的面积，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，过作于，
设，
，，
，
平分交于点，
，
，
，，
∽，
：：，
即，
，，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
过作于，设，证∽，得：：，再证，然后证点是线段的黄金分割点，求出，即可解决问题．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明点为线段的黄金分割点是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
在中，，
，
故选：．
根据同角的余角相等得，由，即可求出的长度．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，设，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，设，易证≌，从而可求出，，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握含角直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：连接，
在正方形、中，
，
，
设，，
，，
，
故答案为：．
根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
15.【答案】
【解析】解：如图，过点作，垂足为，
是的中点，，
，
由翻折的性质可知，，，，
，
，
，
，，
，
在中，
，
即的正切值是，
故答案为：．
根据翻折的性质及中点的定义可知，，，进而得到，在中求出的值即可．
本题考查翻折的性质，矩形以及解直角三角形，掌握翻折的性质，矩形以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
16.【答案】
【解析】解：过作于，如图：
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得负值已舍去，
，
将沿折叠，得到，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
设，则，
，
，即，
，
，
，
故答案为：．
过作于，由，，设，则，得，解得，根据将沿折叠，得到，可得，又四边形是平行四边形，可得，，从而可得是等腰直角三角形，，设，则，可得，即得，故．
本题考查平行四边形中的翻折问题，涉及锐角三角函数，等腰直角三角形等知识，解题的关键是掌握翻折的性质及作辅助线构造直角三角形．
17.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和特殊交点三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】解：作轴于，
点的坐标为，
，
．
，即，
，
，
在反比例函数为常数，的图象上，
；
点与点关于成轴对称，
，
、在一次函数的图象上，
，解得，
直线的解析式为；
连接，
由直线为可知，，
，
是轴上一点，
设，
，
，
，
或，
点的坐标为或
【解析】作轴于，根据正切函数，可得的长，得到的坐标，根据待定系数法，可得的值；
根据题意即可求得点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
先根据求得的面积为，然后设，得出，由列出关于的方程，解得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，利用待定系数法是解题关键．
20.【答案】过点作垂足为，
由题意得，，分
，，分
在中解得，分
设，由，，，
得≌，
，分
，在中，，得分
分
【解析】过点作垂足为，求得的长后在中解得的长后即可得到答案；
证得≌后，在中利用勾股定理求得的长后利用锐角三角函数的定义可以求的正切值．
本题考查了梯形的性质、勾股定理及锐角三角函数的知识，解题的关键是利用梯形的性质得到进一步解题的条件．
21.【答案】证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，，
，
，
平分，，，
，
由得：四边形是平行四边形，
．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
证，再由，即可得出结论；
先由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出，然后由角平分线的性质得，最后由平行四边形的性质求解即可．
22.【答案】解：设米．
在直角中，，
则米；
在直角中，米，
米，
则，
解得：，
则米．
在中，米．
米．
答：电线杆的高度约是米．
【解析】设米，在直角和直角中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在直角中利用三角函数求得的长，则的长度即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角的问题，仰角的定义，以及三角函数，正确求得的长度是关键．
23.【答案】解：过点作，，垂足为、，如图所示：
在中，
米，
米，
在中，
，
，
，
，
即：，
解得，米
答：匾额悬挂的高度的长约为米．
【解析】通过作垂线构造直角三角形，在中，求出、，在中用的代数式表示，再根据得出，列方程求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：由题意得：
分钟秒，
米，
索道车从处运行到处的距离约为米，
故答案为：；
在中，，
米，
米，
在中，，
米，
米，
白塔的高度约为米．
根据路程速度时间，进行计算即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：设，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
他起先站立位置与楼的距离为；
由题意得：
，
由得：，
，
楼高约为．
【解析】设，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答；
根据题意得：，再利用的结论可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
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