沪科版九年级上册期末测试数学卷（标准难度）（含答案）

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沪科版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
对于反比例函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 随的增大而增大 B. 图象位于第一、三象限
C. 图象关于直线对称 D. 图象经过点
已知点，，，都在双曲线上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
如图，函数和的图象分别是和设点在上，轴交于点，轴，交于点，的面积为( )
A.
B.
C.
D.
如图，位于第一象限，，，直角顶点在直线上，其中点的横坐标为，且两条直角边、分别平行于轴、轴，若函数的图象与有交点，则的最大值是( )
B. C. D.
如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在等腰三角形中，，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为，的面积为，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点，交于点，点，，，在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，则树的高度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至，连结，若满足，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
如图，在菱形中，，，点在上，且，交于点，连接现给出以下结论：
≌；
：：；
；
正确的是( )
A. B. C. D.
如图，在四边形中，，，，点、分别是，边上的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是( )
A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，则实数的取值范围是______．
如图，菱形的对角线，把它沿对角线方向平移得到菱形，则图中阴影部分图形的面积与四边形的面积之比为______ ．
将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接，探究的值为______．
我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为，“边长正度值”为，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，．
求的表达式；
求当时，的值．
受疫情影响，小林为了生计摆地摊，到批发市场进一批单价元的小商品，在夜市营销中统计该批商品的销售单价元与日销售量个之间有如下关系：
猜测并确定与之间的函数关系式；
设经营此小商品的销售利润为元，求出与之间的函数关系式．若物价局规定此小商品的售价最高不能超过元个，请你求出当日销售单价定为多少时，才能获得最大日销售利润？
销售单价元
日销售量个
掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
求关于的函数表达式；
根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准女生，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
图来源：年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
网格中的形状是______；
在图中确定一点，连结、，使与全等；
在图中的边上确定一点，连结，使∽；
在图中的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使∽，且相似比为：．
在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
画出关于轴成轴对称的；
画出以点为位似中心，位似比为：的．
如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，连接交于点．
求证：；
若，，，求的长．
灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河渭河上游上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥图，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图，点为桥拱梁顶部最高点，在地面上选取，两处分别测得和的度数在同一条直线上，河边处测得地面到水面的距离在同一条直线上，，，．
数据收集：实地测量地面上，两点的距离为，地面到水面的距离，，．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部到水面的距离结果保留一位小数．
参考数据：，，，，，．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
如图，已知直线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在处的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为海里．参考数据：
求灯塔到航线的距离；
在航线上有一点，且，已知一轮船的航速为海里时，求该轮船沿航行路线从处航行到处所用的时间．结果保留小数点后一位
如图，在中，，，点从点出发，以每秒个单位
长度的速度沿方向运动，过点作于点，当点和点重合时，点停止运动，以和为边作 设点的运动时间为秒
线段的长为______用含的代数式表示
当点落在边上时，求的值．
当 与的重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式．
过点作直线于点，当直线将 分成两部分图形的面积比为：时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
反比例函数图象经过第二，四象限，在每个象限内随增大而增大，函数图象关于原点成中心对称，关于直线成轴对称，
故选：．
由反比例函数解析式可得函数图象经过象限及对称关系．
本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，注意：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
首先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征分别计算出、、的值，然后比较大小即可．
【解答】
解：在双曲线上，
，
双曲线的解析式为，
、、都在双曲线上，
，，，
，
．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：设点，
是反比例函数图象上的点，
，
点；
轴，
点的纵坐标为，
将点的纵坐标代入反比例函数的解析式得：，
，同理可得：；
，，
．
故选：．
将点代入反比例函数用表示出即可表示出点的坐标，然后根据轴，得到点的纵坐标为，然后将点的纵坐标带人反比例函数的解析式即可得到点的坐标，同理得到点的坐标；根据，，利用即可得到答案．
本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
则函数的解析式为：，
根据题意，得，
即，
，
解得，
故的最大值为，
故选：．
根据题意得出点，点和点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数的解析式，根据得出的取值，即可得出的最大值．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质及利用判别式求的取值是解题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．由平行于的直线把分成面积相等的两部分，可知与相似，且面积比为，则相似比为，从而求出的值．
【解答】
解：，
∽，
，
，
，
．
故选D．
6.【答案】
【解析】如图所示，
根据题意得∽，
，
设，则，
，解得．
．
四边形的面积为．
易错警示：本题易忽略相似三角形性质的适用条件而致错．
7.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
∽，
，，
，
设，，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
或舍去，
，，
，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
正方形的面积的面积的面积
，
正方形的面积的面积
，
，
故选：．
根据正方形的性质可得，，，，，，，从而可得，进而利用平行线的性质可得，然后可得，从而证明∽，利用相似三角形的性质可得，再设，，从而可得，再证明≌，然后利用全等三角形的性质可得，从而根据，求出的值，进而求出，，的长，最后证明一线三等角模型相似∽，从而利用相似三角形的性质求出的长，然后根据正方形的面积的面积的面积，正方形的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．
延长交延长线于点，则即为的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【解答】
解：延长交延长线于点，
则，作于，
在中，，，
米，米，
在中，
同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，米，：：，
米，
米
在中，米．
故选A．

9.【答案】
【解析】解：过点作轴，垂足为，则，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
故选：．
过点作轴，垂足为，通过解直角三角形可求得，根据已知易证∽，从而可得，然后在中求出与的长，最后证明∽，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
≌，故正确；
四边形是菱形，
，
∽，
，故正确；
，
，
，
是等边三角形，
，
，
同理可得，≌，
，
，
，故正确；
连接交于，
：：，
设，则，
，，
，
，
，
，
，故错误．
故选：．
根据菱形的性质，利用证明≌，故正确；由，得∽，可知，故正确；首先证明是等边三角形，从而得出面积，再利用等高的两个三角形面积之比等于底之比可判断正确；连接交于，设，则，得，，利用含角的直角三角形的性质得的长，再利用勾股定理可得的长，从而可判断错误．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接，交于点，过点作于点，
，点、分别是，边上的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
≌，
，，
设，则，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
故选：．
如图，连接，交于点，过点作于点，先证明是等边三角形，得，再证明≌，得，，设，则，，分别计算和的长，并根据三角函数定义可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等知识；有一定难度，正确作辅助线是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接，
由题意得：，，，，，
，
，
，
，
，
即处在处的北偏东方向，
故选：．
连接，由锐角三角函数定义得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出的长是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：把关于的一元二次方程的两根分别为，，转化为抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，
抛物线经过点，，，
抛物线开口向上，即，如图，
时，，即，解得；
时，，即，解得；
时，，即，解得；
实数的取值范围为．
故答案为．
把关于的一元二次方程的两根分别为，，转化为抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，画出大致图象，由于时，，即；时，，即；时，，即，然后解不等式得到实数的取值范围．
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，把方程的两根转化为抛物线与轴交点的横坐标是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出是解题关键，首先得出∽，则，进而得出，即可得出答案．
【解答】
解：，
∽，
，
菱形的对角线，把它沿着对角线方向平移得到菱形，
，，
，
，
图中阴影部分图形的面积与四边形的面积之比为：．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：过点作，交的延长线于点，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作，交的延长线于点，利用平角定义可求出，从而可得是等腰直角三角形，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后证明，从而利用平行线的性质可得，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．
根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．
【解答】
解：设等腰三角形的底边长为，
，
解得，或，
当时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，
当时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，
故答案为或．
17.【答案】解：与成正比例，与成反比例，
设，，
，
当时，，当时，．
，
，，
；
当时，．
【解析】本题考查的是待定系数法求反比例函数及正比例函数的解析式，能根据题意得出与的函数关系式是解答此题的关键．
先根据题意得出，，根据，当时，，当时，得到关于，的方程组，进而得出的表达式；
把代入中的函数关系式，求出的值即可．
18.【答案】解：由表中数据可知，销售单价与日销售量的乘积为定值，
与之间的函数关系为反比例函数，
设与之间的函数关系式为为常数且，
把代入解析式得，，
解得：，
与之间的函数关系式为；
由题意得：，
，
当时，最大，最大值为，
与之间的函数关系式为，当日销售单价定为元时，才能获得最大日销售利润．
【解析】要确定与之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现与的乘积是相同的，都是，所以可知与成反比例，用待定系数法求解即可；
首先要知道纯利润销售单价日销售数量，这样就可以确定与的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过元个，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价．
本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
19.【答案】解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得：，
解得：，
关于的函数表达式为；
该女生在此项考试中是得满分，理由：
令，则，
解得：，舍去，
，
该女生在此项考试中是得满分．
【解析】根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
20.【答案】直角三角形
【解析】解：，，，
，
，
是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
如图中，点，点即为所求；
如图中，点即为所求；
如图，点，点即为所求．
利用勾股定理的逆定理证明即可；
根据全等三角形的判定，作出图形即可；
根据相似三角形的判定作出图形即可；
作出，的中点，即可．
本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：由题意知：的三个顶点的坐标分别是，，，
则关于轴成轴对称的的坐标为，，，
连接，，
得到．
如图所示为所求；
由题意知：位似中心是原点，
所以，，，
连接各点，得．
如图所示为所求，

【解析】将的各个点关于轴的对称点描出，连接即可．
在同侧和对侧分别找到，，所对应的，，的坐标，连接即可．
本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
，，
，
，，
∽，
，
设，，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
的长为．
【解析】利用平行四边形的性质可得，，，然后根据角平分线和平行可证是等腰三角形，从而可得，即可解答；
先证明字模型相似三角形∽，然后利用相似三角形的性质可得，从而可设，，最后在中，利用勾股定理列出方程，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：设，
由题意得：
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
灞陵桥拱梁顶部到水面的距离约为．
【解析】设，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：
，
在中，海里，
海里，
灯塔到航线的距离为海里；
在中，海里，，
海里，
，
，
在中，海里，
海里，
海里，
该轮船沿航行路线从处航行到处所用的时间小时，
该轮船沿航行路线从处航行到处所用的时间约为小时．
【解析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】；
如图中，当点落在上时．
，
，
，
．
如图中，当时，重叠部分是四边形．
如图中，当时，重叠部分是四边形，
如图中，：：，，
是的中位线．
，
，
，
，
，
，
，
．
如图中，当：：时，是的中位线．
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或
【解析】解：如图中，
在中，，，，
，
，，
，
，．
故答案为．
见答案；
见答案；
见答案；
利用勾股定理求出，再根据，构建方程即可解决问题；
如图中，因为，可得，由此构建方程即可解决问题；
飞两种情形分别求解：如图中，当时，重叠部分是四边形如图中，当时，重叠部分是四边形；
飞两种情形画出图形分别利用三角形的中位线定理求解即可；
本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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