沪科版九年级上册期末测试数学卷（困难）（含答案）

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沪科版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，已知，点在线段上，且，以为一边向上作等边，再以为直角边向右作，使，为斜边的中点，连接，随着边长的变化，长也在改变，则长的最小值为( )
A. B. C. D.
已知二次函数图象如图所示，下列结论：
；；；点，都在抛物线上，则有．
其中正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
某宾馆共有间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年月份，每天的房间空闲数间与定价元间之间满足若宾馆每天的日常运营成本为元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为( )
A. 元间 B. 元间 C. 元间 D. 元间
如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将在直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
如图在平面直角坐标系中，点、在第一象限内且点，点，点，，点到射线的最小值是( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，，相交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点交于点，连接，有下列结论：四边形为平行四边形；；为等边三角形；当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
如图，中，点在上，过点作交于点，过点作交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是( )
A. B.
C. D.
以为斜边作等腰直角，再以为斜边在外侧作等腰直角，如此继续，得到个等腰直角三角形如图，则图中与的面积比值是( )
A. B. C. D.
我们定义：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：
等边三角形一定是奇异三角形；在中，，，，，且，若是奇异三角形，则：：：：；如图，是的直径，是上一点不与点、重合，是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点，使，则是奇异三角形；在的条件下，当是直角三角形时，其中，说法正确的有( )
A. B. C. D.
四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为( )
A. B. C. D.
在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，分别交、于、两点，连接、、，下列正确的是( )
；
；
；
．
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点，恰好分别落在函数，的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，已知抛物线过点和点，与轴的正半轴交于点，点是抛物线上一点且，两点到直线的距离相等，点的横坐标为______．
如图，是等边三角形，是外角平分线，点在上，连接并延长与交于点若，，_____．
如图，点在的边上，若要使与相似，可添加的一个条件是______只需写出一个．
如图，在菱形中，，，分别在边，上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
某商场将进货单价为元的某种商品按零售价元一个售出时，每星期能卖出个，商家决定降价促销，根据市场调查，每件商品每降低元，每星期可多卖件．
求商家降价前每星期的利润是多少？
降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为每件多少元？每星期的最大销售利润是多少？
二次函数为常数，且中的与的部分对应值如表．
求二次函数解析式；
若此抛物线与轴交于点，点为抛物线上一个动点，当此抛物线在点与点之间部分含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若此抛物线与轴交于点、在的左边，经过点的直线与抛物线位于第四象限的图象交于点，若线段、、围成的区域不含边界内有个整点，直接写出的取值范围．
定义：如果两个函数，，存在取同一个值，使得，那么称，为“合作函数”，称对应的值为，的“合作点”；如果两个函数为，为“合作函数”，那么的最大值称为，的“共赢值”．
判断函数与是否为“合作函数”，如果是，请求出时它们的合作点；如果不是，请说明理由；
判断函数与是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；
已知函数与是“合作函数”，且有唯一合作点．
求出的取值范围；若它们的“共赢值”为，试求出的值．
已知正方形的边、、上分别有点、、，且，求证：；
已知矩形中，，点在边上，动点、分别在边、上，且，求的值；
已知：矩形中，点、、、分别在边、，、上．，四边形的面积为，直接写出的范围______．
如图，在 中，，分别为，的中点，连接，，且与交于点，的延长线与的延长线交于点若，，试用含的式子表示线段的长．
已知：如图，在梯形中，，，是的中点，点是边上的动点不与点重合，与相交于点．
当点在边上运动时，求证：∽；
设中的相似比为，若：：请探究：当为下列三种情况时，四边形是什么四边形？当时，是______；当时，是______；当时，是______并证明时的结论．
日照间距系数反映了房屋日照情况．如图，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数：，其中为楼间水平距离，为南侧楼房高度，为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图，山坡朝北，长为，坡度为：，山坡顶部平地上有一高为的楼房，底部到点的距离为．
求山坡的水平宽度；
欲在楼正北侧山脚的平地上建一楼房，已知该楼底层窗台处至地面处的高度为，要使该楼的日照间距系数不低于，底部距处至少多远？
冬天的阳光在这样寒冷的季节深受人们的喜爱，繁华的城市里高楼林立，小丽家住在一楼太阳很少能光顾她家．如图所示，小明家住在高为米楼里，小丽家住在楼，楼坐落在楼的正北面，当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．
如果，两楼相距，冬至中午时住在楼的人多少米以上才能晒到太阳？
为了打造更舒适的小区环境，让住在一楼的小丽在冬至中午时也正好能晒到太阳，两楼的距离至少应是多少米？结果保留根号
在梯形中，已知，，，，，点在射线上，过点作，交射线于点，设．
当时，直线与交于点如图，求的长
当时，直线与射线交于点．
当时，动点与点、不重合在边上运动，且，联结交于点如图，随着动点的运动，试问的值有没有变化，如果有变化，请说明你的理由如果没有变化，请你求出的值
联结，如果，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，
，为斜边的中点，，
，
设，则，
是等边三角形，
，
，
，，
，，
，，
即，
，
对称轴，
当时，有最小值为，
．
故选：．
过点作，垂足为，交于点，作，垂足为，根据三角形的中位线定理可得，设，则，再根据题意可得，进而得出，，根据线段的和差关系可得，，可得，，，再根据勾股定理和二次函数的性质解答即可．
本题考查了直角三角形，中位线定理，等边三角形的性质以及二次函数的应用，正确作出辅助线，表示出相关的线段的长度是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．
观察图象判断出、、的符号，即可得出结论正确，利用对称轴位置得到，可得结论错误；利用平方差公式，可得结论正确，利用图象法可以判断出正确；
【解答】
解：抛物线开口向上，
，
，
，
抛物线交轴于负半轴，
，
，故正确，
，，
，
，故错误，
时，，
，
时，，
，
，
，故正确，
点，都在抛物线上，
观察图象可知，故正确．
故选B．
3.【答案】
【解析】分析
根据：总利润每个房间的利润入住房间的数量每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
详解
解：设每天的利润为元，根据题意，得：
，
当时，，不是整数，
舍去，
当或时，函数取得最大值，最大值为元，
又想让客人得到实惠，
舍去
宾馆应将房间定价确定为元时，才能获得最大利润，最大利润为元．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：如图所示：当时，过点作于．
和均为等边三角形，
为等边三角形．
，
．
当时，，且抛物线的开口向上．
如图所示：时，过点作于．
同理，为等边三角形．
而，
，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：．
分为、两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得与的函数关系式，于是可求得问题的答案．
本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法；首先根据点的坐标确定点所在直线的解析式，把点的坐标代入到点所在直线的解析式中，得出点在点所在的直线上，设直线交轴于，射线交轴于，过点作于，过点作于，设，用含的代数式表示出、的长，根据得到关于的方程，解这个方程求出的值，得出的长，再证明，根据相似三角形的性质求出的长，即可求解．
【解答】
解：点的横坐标为，，
，，
点是直线上的一点，
把点的坐标代入到中，左边，右边，左边右边，所以点在直线上，即直线的解析式为，令，得，
直线与轴的交点坐标为，
设直线交轴于，射线交轴于，过点作于，过点作于，如图：
则，
，
，
，
在中，，
，
设，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，解得，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
点到射线的最小值是．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，故正确，
≌，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，，
，故正确，
若是等边三角形，则，，
这个与题目条件不符合，故错误，
四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；故正确．
故选：．
正确．想办法证明，，可得结论．
正确．证明∽，推出，再证明，，可得结论．
错误．用反证法证明即可．
正确．证明，可得结论．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、，
∽，
，错误，故本选项符合题意；
B、，
∽，
，正确，故本选项不符合题意；
C、，
∽，
，正确，故本选项不符合题意；
D、，
，
，
，
，正确，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据相似三角形的判定得出相似三角形，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
与都是等腰直角三角形，因而这两个三角形一定相似，面积的比等于相似比的平方，设的面积是，则的面积是，的面积是，以此类推则的面积是本题主要考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【解答】
解：由题可知所有的三角形相似，且相邻的两个三角形的相似比为：，
所以相邻两个三角形的面积比为：，
与的面积比值是，即．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，即可判断；根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得与，用表示出与，即可判断；由是的直径，即可求得，然后利用勾股定理与圆的性质，即可判断；分别从：：：：与：：：：去分析，即可判断．
【解答】
解：设等边三角形的一边为，则，
符合奇异三角形”的定义．
正确；
如图，
，
则，
是奇异三角形，且，
，
由得：，，
：：：：；则错误
是的直径，
，
在中，，
在中，，
点是半圆的中点，
，
，
，
，
又，，
，
是奇异三角形；则正确
由可得是奇异三角形，
，
当是直角三角形时，
由得：：：：：或：：：：，
当：：：：时，：：，即：：，
，
，
当：：：：时，：：，即：：，
，
，
，
综上可知：或则错误．
10.【答案】
【解析】解：如图中，设，则，，
，，
，
故选：．
如图中，设，则，，求出，，可得结论．
本题考查解直角三角形，七巧板，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会利用参数解决问题．
11.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
，点是边的中点，
，
，
，
，
，，
，正确；
，，
，，
≌
，
，
，，，
≌，
，故正确；
，，
，
在和中，，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，故错误；
由上述可知：，，
，
，
，故正确，
故选：．
利用三角函数求得正确；证明≌得，再证≌，得正确；由三角形全等，勾股定理得错误；，，由三角函数，得正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形，掌握全等三角形的判定、、的判定定理是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出的值．
过点、分别作轴，轴，垂足为、，点，落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】
解：过点、分别作轴，轴，垂足为、，
点在反比例函数上，点在上，
，，
又，
，
，
，
∽，
，
设，则，，
在中，
故选：．
13.【答案】或
【解析】解：抛物线过点，
，
，
抛物线的解析式为，
令，则，解得或，
，
把代入，得，
，
连接，设的中点为，
当直线经过的中点时，满足条件．
，，，
，
，
直线的解析式为，
由得或
；
时，满足条件，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
由得或，
，
综上所述，满足条件的点的横坐标为或．
利用待定系数法求解二次函数的解析式，进而得、点坐标，连接，设的中点为分两种情形：当直线经过的中点时，满足条件．时，满足条件．根据方程组求出点的坐标即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是分情况讨论．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点 作 于点；
是等边三角形，
，；
，而 是外角平分线，
，，
，
∽，
，而，，
；
而，
，，，
；
由勾股定理得：，
．
15.【答案】
【解析】解：要使与相似，还需具备的一个条件是或等，
故答案为：．
两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可
此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
16.【答案】
【解析】解：
延长与交于点，
，
，
，，，
，
，
，
设，，，
，，
，
则，
，
，
，
，
，
．
首先延长与交于点，进而利用翻折变换的性质得出，再利用边角关系得出，的长进而得出答案．
此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出的长是解题关键．
17.【答案】解：商家降价前每星期的利润是：元；
根据题意知，；
，
当时，即售价为元时，取得最大值，
答：将售价定为每件元，每星期的最大销售利润是．
【解析】根据总利润每个商品利润销售量即可得；
根据中相等关系即可得，将函数解析式配方成顶点式即可解决问题；
本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系列出函数解析式并配方是解题的关键．
18.【答案】解：由题意得：
，
解得：．
二次函数解析式为．
令，则，
．
，
抛物线的顶点坐标为．
当点在对称轴的左侧时，
此抛物线在点与点之间部分含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为，
此时点是最低点，点是最高点，
点的纵坐标为，
令，则．
解得：正数不合题意舍去．
．
．
当点在对称轴的右侧时，
此抛物线在点与点之间部分含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为，
此时顶点是最低点，点是最高点，
点的纵坐标为，
令，则．
解得：负数不合题意舍去．
．
．
综上，当此抛物线在点与点之间部分含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为时，的值为或．
由题意得：线段、、围成的区域不含边界内有个整点，
则这个整点为，，，
直线必经过点或经过与之间的点，不包括，
直线必经过点时，
，
解得：．
．
直线必经过点时，
，
解得：．
．
综上，的取值范围为．
【解析】利用待定系数法解得即可；
利用分类讨论的方法分两种情况解答：当点在对称轴的左侧时，和当点在对称轴的右侧时，利用已知条件求得点的纵坐标，代入抛物线解析式即可求得横坐标的值；
通过分析找出个整点，并确定直线经过点的临界点，利用待定系数法求得对应的值，结合图形即可求得的取值范围．
本题主要考查了待定系数法求得函数的解析式，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，配方法求抛物线的顶点坐标，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：若时，则，
．
此时，
方程总有两个不等实根，
函数和是“合作函数”．
当时，由，则
解得：，
所以，当时它们的合作点为和；
若时，则，
解得，．
，
．
解得，．
所以当时，函数和是“合作函数”，合作点为．
当或时，函数和不是“合作函数”．
由得，
即，
，．
又且有唯一合作点，
或
解得，或．
当取最大值时，
解得，舍去，．
当取最大值时，，
解得，舍去，．
综上，的值为或．
【解析】联立解析式消去，得到关于的方程，若方程有实根则这两个函数为“合作函数”；把代入函数，联立解析式求出的值即为合作点；
联立解析式求出的值即为合作点，的值还需要满足条件，从而得到关于的不等式，求出答案即可；
联立解析式求出的值，根据条件“”和有唯一合作点列出关于的不等式求解即可；
共赢点即为的最大值，而是二次函数且开口向上，所以最大值在端点求得，分别将或代入解析式求出最大值等于，得到关于的方程求解即可．
本题考查了二次函数性质和一元二次方程根的情况，联立解析式组成方程组，将合作点问题转化为方程是否有解得问题是解决此题的关键．
20.【答案】
【解析】证明：如图，过作于，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
；
解：如图，作于点，与交于点，
，
四边形为矩形，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，作交于，交于，交于点，设交于点，
四边形为矩形，
，，
，
四边形和为矩形，
，，，
设中边上的高为，
，
由垂线段最短可知，，，
，
所以时，最小，即，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
由垂线段最短及平行线间的距离相等可知，
时，最短，且，
，
，
，，即四边形的最小面积为，
当、、、与矩形的四个顶点重合时，四边形的面积最大，等于矩形的面积，即：四边形的最大面积为，
所以，四边形的面积的范围为．
故答案为：．
过作于，则可得到≌，从而得到；
作于点，与交于点，证明∽，所以，由，得到，所以，因为，得到，再计算矩形面积，勾股定理求出、，即可求解；
作交于，交于，交于点，设交于点，设中边上的高为，因为，由垂线段最短可知，，，所以，时，最小，即，易证∽，，所以，再由垂线段最短及平行线间的距离相等可知，时，最短，且，，所以，计算得到，，即四边形的最小面积为，当、、、与矩形的四个顶点重合时，四边形的面积最大，等于矩形的面积，从而得解．
本题是四边形综合题，考查的是全等三角形和相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，掌握全等三角形和相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．主要考查学生的推理能力，难度较大，属于中考常考题型．
21.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌，
，．
，
∽，
，
又，
，
，为 中点，，
，
，解得，
．

【解析】见答案
22.【答案】平行四边形 直角梯形 等腰梯形
【解析】证明：
．
又，
∽；有两个角对应相等的两三角形相似；
解：平行四边形；
直角梯形；
等腰梯形；
证明：当时，，
又：：，即，
，
又，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形
又在直角梯形中
，与不平行
，与不平行
四边形是直角梯形．
和中，已知的条件有：对顶角；根据，可得出内错角，由此可判定两个三角形相似；
由于是中点，且：：，得；
当时，和全等，则，又由，则四边形的对边平行且相等，由此得出四边形是平行四边形；
当时，，此时，易证得四边形是矩形，则四边形是直角梯形；
当时，，此时、重合，可过、分别作的垂线，设垂足为、；根据的解题过程易知，可证≌，得出即，由此可证得四边形是等腰梯形．
此题主要考查了梯形的性质及相似三角形的判定和性质．在证明四边形是梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的步骤．
23.【答案】解：在中，，
：，
设，则，
，
，
，，
．
即山坡的水平宽度为；
，
，，
日照间距系数：，
该楼的日照间距系数不低于，
，
．
答：要使该楼的日照间距系数不低于，底部距处远．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
在中，根据坡度的定义得出：，设，则，由勾股定理求出，那么，求出，即可得到山坡的水平宽度为；
根据该楼的日照间距系数不低于，列出不等式，解不等式即可．
24.【答案】解：如图，过作于，
，，
．
故DF．
楼的影子刚好不落在楼上，

【解析】此题可根据楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解．
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
25.【答案】解：，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
；
的值没有变化，理由如下：
过点作，垂足为，
由题意可知，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
∽，
，
，
；
当时，由得，
，
在中，，
在中，，
，
，
；
当时，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
综上所述：的值是或．
【解析】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识．
由可得，说明四边形是平行四边形，进而可得，即可求解；
过点作，垂足为，可得是等腰直角三角形，进而可得，说明四边形是平行四边形，可得，于是∽，利用相似三角形的性质即可求解；
分当时， 当时，两种情况讨论，根据和的正切求解即可．
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