沪科版初中数学九年级上册期中测试卷（标准难度）（含答案）

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沪科版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第21.22章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是( )
A. B.
C. 或 D. 或
如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：
；
方程的两个根是，；
；
当时，随增大而增大．
其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知二次函数的图象，与轴正半轴的交点在的下方，与轴交点为、且，则下列结论：；；；则其中一定成立的个数是( )
A. B. C. D.
二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是( )
A.
B.
C.
D. 关于的方程无实数根
已知反比例函数，当时，，则的值是( )
A. B. C. D.
如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，作一个与相似的，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的最大面积是( )
A. B. C. D.
如图，中，，于点，，为斜边的中点，则( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，，以为边向内作正方形，连接交于点，连接若，则的面积是( )
A. B. C. D.
如图是一个边长为的正方形组成的网络，与都是格点三角形顶点在网格交点处，并且∽，则与的周长之比是( )
：
B. ：
C. ：
D. ：
如图，的顶点在函数的图象上，，过边的三等分点、分别作轴的平行线交于点、若四边形的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，平行四边形中，对角线、相交于点，且，，是对角线上任意一点，过点作，与平行四边形的两条边分别交于点、设，，则能大致表示与之间关系的图象为( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，菱形顶点在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点、两点，若，，则______．
如图，矩形的顶点的坐标，，，将矩形向下平移个单位，使矩形的两个顶点恰好同时落在某个反比例函数的图象上，则 ．
如图，在矩形中，，，的顶点在边上，且，，，则 ．
如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点，若，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，轴，垂足为，连接．
求反比例函数的表达式；
求的面积；
若点是反比例函数图象上的一点，与面积相等，请直接写出点的坐标．
通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间分变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
点的注意力指标数是______．
当时，求注意力指标数随时间分的函数解析式；
张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由．
如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，且．
求点坐标；
若点在轴上，使得的面积为，求的坐标．
某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨据统计，淡季该公司平均每天有辆货车未出租，日租金总收入为元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为元．
该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨元，每天租出去的货车就会减少辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
月日，崇川区进行了一次全民核酸检测，某小区上午点开始检测，居民陆续到采集点排队，点排队完毕，秀秀就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：
时间分钟
人数人
秀秀把数据在平面直角坐标系里描点连线，得到如图所示函数图象：
当，是的二次函数；当，是的一次函数．
如果是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式；
若排队人数在人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态持续的时间多长？
如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，．
求证：；
．
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
直接写出的度数，______；
先取格点，使，若与交于点，则______；
在线段上画点，使．
已知：如图，在菱形中，为对角线，是上的点，分别连结，并延长交于点，交于点．
求证：；
若，，，求的长．
如图，在中，点，，分别在，，边上，，．
求证：∽；
设，，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
【解答】
解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知，
根据二次函数的图象确知，，
函数的大致图象经过二、三、四象限，
故选：．
2.【答案】
【解析】分析
根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集即可得解．
本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
详解
解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数为常数且的图象上方时，
的取值范围是：或，
不等式的解集是或，
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．利用抛物线与轴的交点个数可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为可得到，则可对进行判断；根据二次函数的性质对进行判断．
【解答】
解：抛物线与轴有个交点，
，即，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
方程的两个根是，，所以正确；
，即，
而时，，即，
，所以错误；
抛物线的对称轴为直线，
当时，随增大而增大，所以正确．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：二次函数的图象，与轴正半轴的交点在的下方，
，
抛物线与轴交点为、且，
抛物线开口向下，即，
，
，
，
，不正确．
当时，，
，不正确．
时，，
，
，
，正确．
，，
，
，
，正确．
故选：．
由抛物线与轴交点位置可得，由抛物线与的两交点坐标可得抛物线开口向下及，从而判断，由时可判断，由时可得，从而可得，进而判断，由，，可得，由可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
5.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故A正确；
B.抛物线与轴有两个交点，
，即，
故B正确；
C.抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，
时，，
即，
，
，
故C错误；
D.抛物线开口向下，顶点为，
函数有最大值，
抛物线与直线无交点，
一元二次方程无实数根，
故D正确．
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线与轴的交点情况可对进行判断；时，，可对进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
6.【答案】
【解析】解：时，，
，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
，，
，．
故选：．
根据反比例函数的性质求解
本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是求解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：从图中可以看出的三边分别是，，，
要让的相似三角形最大，尝试让为网格最大的对角线，即是，
所以这两个相似三角形的相似比是，
则另外两边长为，可得在第二列第三行的交点处符合题意。
的面积为，
所以的最大面积是故选A．
要让的相似三角形最大，就要让为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答．
本题的关键是先求出最大的相似三角形，然后再利用面积比等于相似比的平方．
8.【答案】
【解析】解：，，
，．
，，
∽，
．
，为斜边的中点，
．
，
，
，
．
设，则，
，
，
．
故选：．
利用相似三角形的判定与性质得到，利用三角形的外角的性质得到，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，设，则，，代入化简即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
四边形是正方形，，
，，
四边形是矩形，
，
设，则，
，
，，
∽，
，即，
，
，
故选：．
由矩形及正方形的性质得出，，设，则，证明∽，由相似三角形的性质得出，利用三角形面积公式代入计算，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由网格图可知：，，
．
∽，
与的周长之比．
故选：．
利用网格求得与的长，再利用相似三角形的性质解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用网格图求得相似三角形的相似比是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数的几何意义，正确的求出是解题的关键．易证∽∽，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出的面积，进而可求出的面积，则的值也可求出．
【解答】
解：，
∽∽，
、是的三等分点，
，，
，
四边形的面积为，
，
，
，
，
图象在第一象限，，
，
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象．关键是根据图形，利用相似三角形的性质得出分段函数关系式．
由平行四边形的性质可知为的中线，又，可知为的中线，且可证∽，利用相似三角形对应边上中线的比等于相似比，得出函数关系式，即可判断函数图象．
【解答】
解：当时，
为的中线，，
为的中线，∽，
，即，解得，
同理可得，当时，．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例图象上点的坐标特征，菱形的性质，含度角的直角三角形，关键是确定点在第一象限的角平分线上．
连接，，过作轴于点，延长与轴交于点，过点作轴于点，得、、在第一象限的角平分线上，求得点坐标，进而求得点坐标，便可求得结果．
【解答】
解：连接，，过作轴于点，延长与轴交于点，过点作轴于点，
函数的图象关于直线对称，
、、三点在同一直线上，且，
，
不妨设，则，
点在反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
，
，
又，，
中，，，
，，
，，
，
，
则．
故答案为：．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论：
矩形的两个顶点、落在反比例函数的图象上，设矩形平移后的坐标是，的坐标是，得出，解方程即可求出的值；
矩形的两个顶点、落在反比例函数的图象上，同理可求出的值．
此题考查反比例函数图象上点的坐标，关键是分两种情况：矩形的两个顶点、落在反比例函数的图象上；矩形的两个顶点、落在反比例函数的图象上，进行分析．
【解答】
解：在矩形中，，由得：，，
分两种情况：
矩形的两个顶点、落在反比例函数的图象上，
设矩形平移后的坐标是，的坐标是，
、落在反比例函数的图象上，
，
解得；
矩形的两个顶点、落在反比例函数的图象上，
设矩形平移后的坐标是，的坐标是，
、落在反比例函数的图象上，
，
解得
故答案为或 ．
15.【答案】
【解析】解：如图所示，过作，交的延长线于，则，
四边形是矩形，
，，
又，
，
，
又，
∽，
，即，
，，
，
设，则，，
中，，
，
解得，即，
中，．
故答案为：．
过作，交的延长线于，依据相似三角形的性质，即可得到，；设，则，，再根据勾股定理，即可得到，最后依据勾股定理进行计算，即可得出的长．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
16.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，
，，
．
，
，
．
，
．
又，
∽，
，即，
，
．
，，
∽，
，即，
．
故答案为：．
利用同角的余角相等可得出，结合可得出∽，利用相似三角形的性质可求出的长，进而可得出的长，由，可得出∽，再利用相似三角形的性质可求出的长．
本题考查了相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出∽及∽是解题的关键．
17.【答案】解：把代入中，得，
点坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
，
，
、关于原点对称，
点坐标为，
到的距离为，
，
，
，
设点坐标为，则到的距离为，
，解得或，
点坐标为或．
【解析】把点横坐标代入正比例函数可求得点坐标，代入反比例函数解析式可求得，可求得反比例函数解析式；
根据反比例函数的对称性得出点的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可；
由得的面积，再结合与的面积相等求得点坐标．
本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，
18.【答案】解：设段：，由得，
，
由图可知：点的注意力指标数是．
当时，的解析式为，
．
张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于．
理由：当时，，解之得；
当时，反比例函数解析为：．
当时，，解之得．
当时，注意力指标数都不低于．
而，
张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于．
【解析】根据的坐标求曲线的解析式，再求的坐标，从而得的坐标；
待定系数法求解即可；
利用函数和不等式的关系求解．
本题考查了反比例函数、一次函数在生活中的应用，熟练掌握各种函数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：直线与反比例函数的图象交于点，
，，
，
反比例函数，
点是反比例函数图象上一点，
，且，，
，，
；
延长交轴于，连接，
设直线的解析式，
解得：
直线解析式为，
直线交轴于，
，
设且的面积为，
，
或，
的坐标或．
【解析】将，代入解析式可求点坐标．
延长交轴于，连接，可得可得坐标．
本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，关键根据可得方程，求得坐标．
20.【答案】解：该出租公司这批对外出租的货车共有辆，
根据题意得，，
解得：，
经检验：是分式方程的根，
元，
答：该出租公司这批对外出租的货车共有辆，淡季每辆货车的日租金元；
设每辆货车的日租金上涨元时，该出租公司的日租金总收入为元，
根据题意得，，
，
，
当时，有最大值，
答：每辆货车的日租金上涨元时，该出租公司的日租金总收入最高．
【解析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
根据题意可以列出方程，进而求得结论；
根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．
21.【答案】解：设二次函数解析式为：，
将代入得，
二次函数解析式为：；
设的解析式为：，
将，代入，
得：，
解得：，
的解析式为：，
将代入中，
得：，
解得：或舍去，
将代入中，
得：，
解得：，
，
满负荷状态的时间为分．
【解析】将，点的坐标代入二次函数解析式中即可；
利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将分别代入两个函数求出，相减即可得出答案．
本题考查了二次函数图象与性质，一次函数图象与性质的实际应用，解题的关键是正确提取图象信息，正确求解解析式，理解问题中给出的限制条件，属于中考必考题．
22.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即．
【解析】根据等腰三角形的性质得到，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解；
利用全等三角形的性质，结合题意证明∽，∽，根据相似三角形的性质即可得解．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：如图，取点，，连接，，，则，，设与交于点，
，，
∽，
，
，
，
解得，，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，取格点，连接，
则∽，
，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，点即为所求．
取点，，连接，，，使，，设与交于点，可证∽，则，即，解得，，则，即，进而可得出答案．
取格点，连接，则∽，可得，由，可得，则，即可得出答案．
利用三角形相似的判定与性质找到点的位置即可．
本题考查作图应用与设计作图、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
24.【答案】证明：如图，
四边形是菱形，
，，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，，
，，，，
，
是等边三角形，
，，，
，
，
．
【解析】由菱形的性质得出，，结合，证明≌，得出，再证明≌，即可得出；
连接交于点，由菱形的性质得出，，，，结合，证明是等边三角形，继而得出，，，由直角三角形斜边上中线的性质得出，即可求出的长度．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
25.【答案】证明：，，
，，
∽；
解：，
，
即，
，
，，
∽，
，
，
．
【解析】利用平行线的性质，得到两个三角形两对角相等，进而证明两三角形相似；
利用三角形相似的性质，得到对应线段成比例，进而求解即可．
本题考查的是三角形相似及其性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，以及三角形相似的对应边成比例．
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